山东省滨州市滨城区2023-2024学年八年级上学期期中考试数学试卷(含答案)

2023-2024学年山东省滨州市滨城区八年级第一学期期中数学试卷一、选择题。本大题共10个小题，在每小题的四个选项中只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，用2B验笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，每小题涂对得3分，满分30分。1．2023年9.23﹣10.8日，19届亚运会在杭州如火如荼地进行，运动健儿们摘金夺银，全国人民感受到一波强烈的民族自豪感．下列图案表示的运动项目标志中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．解：A、不是轴对称图形，不符合题意；B、是轴对称图形，符合题意；C、不是轴对称图形，不符合题意；D、不是轴对称图形，不符合题意；故选：B．2．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝48°，CD平分∠ACB交AB于点D，则∠BDC的大小为（）A．72° B．90° C．96° D．108°解：∵∠A＝60°，∠B＝48°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝72°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠ACB＝36°，∵∠BDC是△ACD的外角，∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝96°．故选：C．3．已知三角形的两边长分别为3、7，则第三边a的取值范围是（）A．4＜a＜10 B．4≤a≤10 C．a＞4 D．a＜10解：∵三角形的两边长分别为3、7，∴第三边a的取值范围是则4＜a＜10．故选：A．4．下列推理中，不能判断△ABC是等边三角形的是（）A．∠A＝∠B＝∠C B．AB＝AC，∠B＝60° C．∠A＝60°，∠B＝60° D．AB＝AC，且∠B＝∠C解：A、由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意．B、由“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意．C、由“∠A＝60°，∠B＝60°”可以得到“∠A＝∠B＝∠C＝60°”，则由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意．D、由“AB＝AC，且∠B＝∠C”只能判定△ABC是等腰三角形，故本选项符合题意．故选：D．5．如图，长方形ABCD沿着AE折叠，使D点落在BC边上的F点处．如果∠BAF＝60°，AB＝3，则长方形ABCD的面积是（）A．12 B．16 C．18 D．20解：在长方形ABCD中，∠B＝90°，∵∠BAF＝60°，AB＝3，∴AF＝2AB＝6，∵长方形ABCD沿着AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，∴AD＝AF＝6，∴长方形ABCD的面积是AB×AD＝3×6＝18．故选：C．6．在下列条件：①∠A：∠B：∠C＝1：2：3；②∠A＝∠B＝2∠C；③∠A+∠B＝∠C；④；中，能确定△ABC为直角三角形的条件有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个解：①∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∴设∠A＝x°，则∠B＝2x°，∠C＝3x°．由于∠A+∠B+∠C＝180°，∴x+2x+3x＝180°，∴x＝30．∴3x＝90°．∴∠C＝90°．故条件①能判断△ABC为直角三角形．②∵∠A＝∠B＝2∠C，∴设∠C＝x°，则∠A＝∠B＝2x°．由于∠A+∠B+∠C＝180°，∴x+2x+2x＝180°，∴x＝36．∴2x＝72°．∴∠A＝∠B＝72°．故条件②不能判断△ABC为直角三角形．③∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°．故条件③能判断△ABC为直角三角形．④∵，∴设∠A＝x°，则∠B＝2x°，∠C＝3x°．由于∠A+∠B+∠C＝180°，∴x+2x+3x＝180°，∴x＝30．∴3x＝90°．∴∠C＝90°．故条件④能判断△ABC为直角三角形．故选：B．7．下列说法中，正确的有（）个．①两个全等的三角形一定关于某直线对称；②关于某条直线对称的两个图形，对称点所连线段被对称轴垂直平分；③等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；④到三角形三个顶点距离相等的点是这个三角形三边垂直平分线的交点；⑤△ABC的三边为a，b，c，且满足关系（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＝0，则△ABC为等边三角形．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解：①两个全等三角形不一定关于某条直线对称，故①错误；②关于某条直线对称的两个图形，对称点所连线段被对称轴垂直平分，故②正确；③等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的角平分线互相重合，故③错误；④到三角形三个顶点距离相等的点是这个三角形三边垂直平分线的交点，故④正确；⑤△ABC的三边为a，b，c，且满足关系（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＝0，则△ABC为等腰三角形，故⑤错误；∴正确的有2个．故选：B．8．如图所示，C，D是直线l上任意两点，AC＝BC，AD＝BD，则下列结论错误的是（）A．∠ACD＝∠BCD B．CD平分AB但不垂直AB C．CD垂直平分AB D．S△ACD＝S△BCD解：A、在△ACD和△BCD中，，∴△ACD≌△BCD（SAS），∴∠ACD＝∠BCD，本选项结论正确，不符合题意；B、∵AC＝BC，AD＝BD，∴CD是线段AB的垂直平分线，故本选项结论错误，符合题意；C、∵AC＝BC，AD＝BD，∴CD是线段AB的垂直平分线，本选项结论正确，不符合题意；D、由（A）可知：S△ACD＝S△BCD，本选项结论正确，不符合题意；故选：B．9．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的负半轴上，点B在第三象限，△ABO是等边三角形，点E在线段OA上，且AE＝2，点F是线段AB上的动点，点P是y轴负半轴上的动点，当EP+FP的值最小时，AF＝7，则点A的坐标是（）A．（﹣7，0） B．（﹣8，0） C．（﹣9，0） D．（﹣10，0）解：作点E关于y轴的对称点E′，过点E′作E′F⊥AB交y轴于点P，如图：则此时EP+FP的值最小，∵△ABO是等边三角形，∴∠A＝60°，∵∠AFE′＝90°，∴∠E′＝30°，∴AE′＝2AF＝2×7＝14，∵AE＝2，∴，∴OA＝8，∴点A的坐标为（﹣8，0），故选：B．10．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，点E，F分别是△ABC的边AB、AC的中点，边BC分别与DE、DF相交于点H，G，且DE⊥AB，DF⊥AC，连接AD、AG、AH，现在下列四个结论：①∠EDF＝60°，②AD平分∠GAH，③∠B＝∠ADF，④GD＝GH．则其中正确的结论有（）A．①②③④ B．②③④ C．①②③ D．①②④解：∵DE⊥AB，∴∠DEA＝90°，∵DF⊥AC，∴∠DFA＝90°，∵∠BAC＝120°，∴∠EDF＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°，故①符合题意；连接BD，CD，∵E是AB的中点，ED⊥AB，∴DE是AB的垂直平分线，∵F是AC的中点，DF⊥AC，∴DF是AC的垂直平分线，∴AD＝BD＝CD，BH＝AH，AG＝CG，∴∠DBA＝∠DAB，∠HBA＝∠HAB，∠DAC＝∠DCA，∠GAC＝∠GCA，∴∠DBH＝∠DAH，∠DAG＝∠DCG，∵BD＝CD，∴∠DBC＝∠DCB，∴∠DAH＝∠DAG，∴AD平分∠HAG，故②符合题意；∵BH＝HA，∴∠HBA＝∠HAB，∵∠GAC＝∠GCA，∴∠B+∠C＝∠HAB+∠GAC，∵∠BAC＝120°，∴∠B+∠C＝∠HAB+∠GAC＝60°，∵AD平分∠HAG，∴∠HAD＝∠DAG＝30°，∴∠DAF＝30°+60°﹣∠B＝90°﹣∠B，∵∠DFA＝90°，∴∠ADF＝90°﹣∠DAF＝∠B，故③符合题意；∵ED⊥AB，DF⊥BC，∴∠DHG＝∠BHE＝90°﹣∠B，∠DGH＝∠CGF＝90°﹣∠C，当AB≠AC时，∠B≠∠C，∠DHG≠∠DGH，∴DH≠DG，∵∠HDG＝60°，∴△DHG不是等边三角形，∴GD≠GH，故④不符合题意；故选：C．二、填空题。（共6小题，每小题3分，满分18分）11．如图，把手机放在一个支架上面，就可以非常方便地使用，这是因为手机支架利用了三角形的稳定性．解：三角形的支架很牢固，这是利用了三角形的稳定性，故答案为：稳定．12．点P（3，﹣4）关于x轴的对称点P'的坐标是（3，4）．解：点P（3，﹣4）关于x轴的对称点P'的坐标是（3，4），故答案为：（3，4）．13．在△ABC中，若∠B＝∠A+20°，∠C＝50°，则∠B＝75°．解：∵∠B＝∠A+20°，∠C＝50°，又∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A+∠A+20°+50°＝180°，∴∠A＝55°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣55°﹣50°＝75°．故答案为：75°．14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为7个．解：如图：可以画出7个等腰三角形；故答案为7．15．如图，△ABC中，AB＝3，AC＝2，AD是△ABC的角平分线，则BD：DC＝3：2．解：过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，过点A作AM⊥BC于点M，∵AD是△ABC的角平分线，∴DE＝DF，∵AB＝3，AC＝2，∴＝，∵，∴．故答案为：3：2．16．如图，已知点B是AC边上的动点（不与A，C重合），在AC的同侧作等边△ABD和等边△BCE，连接AE，CD，下列结论正确的是①②③④⑤⑥⑦⑧⑨．（填序号）①△ABE≌△DBC；②∠CBE＝60°；③GF∥AC；④△BFG是等边三角形；⑤HB平分∠AHC；⑥AH＝DH+BH；⑦CH＝BH+EH；⑧∠HGF＝∠HBF；⑨∠HFG＝∠GBH；⑩图中共有2对全等三角形．解：∵△ABD、△BCE为等边三角形，∴AB＝DB，∠ABD＝∠CBE＝60°，BE＝BC，∴∠DBE＝60°，∴∠ABE＝∠DBC，在△ABE和△DBC中，，∴△ABE≌△DBC（SAS），故①②正确；∴∠BAE＝∠BDC，∠BCD＝∠BEA，在△AGB和△DFB中，，∴△AGB≌△DFB（ASA），∴BG＝BF，又∵∠DBF＝60°，∴△BFG是等边三角形，故④正确，∴∠BGF＝60°＝∠ABD，∴GF∥AC，故③正确，∵△ABE≌△DBC，∴AE和DC边上的高相等，即B点到AE和DC的距离相等，∴BH平分∠AHC，所以⑤正确；如图，在AE上截取AN＝DH，连接BN，如图，在AE上截取AN＝DH，连接BN，在△ABN和△DBH中，，∴△ABN≌△DBH（SAS），∴BN＝BH，∠ABN＝∠DBH，∴∠ABN+∠DBN＝∠DBH+∠DBN＝∠NBH＝∠ABD＝60°，∴△BNH是等边三角形，∴BH＝NH，∴AH＝AN+NH＝DH+BH，故⑥正确，在△ABN和△DBH中，，∴△ABN≌△DBH（SAS），∴BN＝BH，∠ABN＝∠DBH，∴∠ABN+∠DBN＝∠DBH+∠DBN＝∠NBH＝∠ABD＝60°，∴△BNH是等边三角形，∴BH＝NH，∴AH＝AN+NH＝DH+BH，故⑥正确，如图，在CD上截取CM＝BH，连接EM，∵∠BAE＝∠BDC，∵∠CHE＝∠BAE+∠BCD，∴∠CHE＝∠BDC+∠BCD＝∠ABD＝60°，∵BH平分∠AHC，∴∠BHG＝∠BHF＝60°，∴∠BEH+∠EBH＝∠BCH+∠ECM＝60°，∵∠BCD＝∠BEA，∴∠EBH＝∠ECM，同理得△EBH≌△ECM（SAS），∴EM＝MH，∠CEM＝∠BEH，∴∠BEH+∠BEM＝∠CEM+∠BEM＝∠BEC＝60°，∴△EMH是等边三角形，∴EH＝MH，∴CH＝CM+MH＝BH+EH，故⑦正确，∵∠BHG＝∠BFG＝60°，∴∠BEH+∠HBF＝∠BEH+∠HGF＝60°，∴∠HGF＝∠HBF，故⑧正确；∴∠EHC＝∠HFG+∠HGF＝∠GBH+∠HBF＝60°，∴∠HFG＝∠GBH，故⑨正确；⑩在△ABG和△DBF中，，∴△ABG≌△DBF（SAS），在△BCF和△BEG中，，∴△BCF≌△BEG（ASA），∵△ABE≌△DBC，∴图中不只有2对全等三角形，故⑩错误．故答案为：①②③④⑤⑥⑦⑧⑨．三、解答题。（本大题共11个小题，满分65分。解答时请写出必要的演推过程）17．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．（1）△ABC的面积为5.5．（2）在图中作出△ABC关于直线MN的对称图形△A'B′C′．（3）在MN上找一点P，使得PB+PC的距离最短，在图中作出P点的位置．解：（1）S△ABC＝3×4﹣×3×2﹣×1×4﹣×1×3＝12﹣3﹣2﹣1.5＝5.5．故答案为：5.5；（2）如图，△A′B′C′即为所求；（3）如图，点P即为所求．18．如图，AB＝AE，∠1＝∠2，∠C＝∠D．求证：（1）△ABC≌△AED；（2）∠1＝∠DEC．证明：（1）∵∠1＝∠2，∴∠1+∠EAC＝∠2+∠EAC，即∠BAC＝∠EAD，在△ABC和△AED中，，∴△ABC≌△AED（AAS）；（2）∵△ABC≌△AED，∴∠B＝∠AED，∵∠1+∠B＝∠AEC＝∠DEC+∠AED，∴∠1＝∠DEC．19．下面是证明三角形内角和定理推论1的方法，选择其中一种，完成证明．三角形内角和定理推论1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．已知：如图，△ABC，点D是BC延长线上一点．求证：∠ACD＝∠A+∠B．方法一：利用三角形的内角和定理进行证明证明：方法二：构造平行线进行证明证明：证明：方法一：∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，∴∠ACB＝180°﹣（∠A+∠B）．又∵∠ACB+∠ACD＝180°，∴∠ACB＝180°﹣∠ACD．∴180°﹣（∠A+∠B）＝180°﹣∠ACD，∴∠ACD＝∠A+∠B．方法二：过点C作CE∥AB．∴∠ACE＝∠A，∠ECD＝∠B，∴∠ACD＝∠ACE+∠ECD＝∠A+∠B．20．如图，在△ABC中，AD与CE是△ABC的高．（1）若AB＝7cm，BC＝10cm，CE＝8cm，求AD；（2）若AB＝2，BC＝3，△ABC的高AD与CE的比是多少？解：（1）∵，∴，∴；（2）∵，∴，∴．21．如图所示，将两个含30°角的三角尺摆放在一起，可以证得△ABD是等边三角形，于是我们得到：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半，交换命题的条件和结论，会得到一个新命题：在直角三角形中，一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30°，．请判断此命题的真假，若为真命题，请给出证明：若为假命题，请说明理由．解：在直角三角形中，一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30°，故答案为：一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30°；此命题是真命题，理由如下：已知：在△ABC中，，求证：∠A＝30°．证明：延长BC至点D，使CD＝BC，连接AD，∵∠ACB＝90°，CD＝BC，∴AC是线段BD的垂直平分线，∴AB＝AD∵，∴BD＝AB，∴△ABD是等边三角形，∴∠BAD＝60°，∵AC⊥BD，∴．故答案为：一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30°．22．如图，已知直角△ABC，∠B＝90°，AB＜BC，请用尺规作图法，在AC边上求作一点P，使BP⊥AC．（保留作图痕迹，不写作法）解：以B为圆心，大于B到AC的距离为半径作圆交AC于D，E，作DE的垂直平分线交AC于P，如图：点P即为所求．23．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，求：（1）图中有哪些等腰三角形？（2）△ABC各角的度数．解：（1）图中的等腰三角形有：△ABC，△ABD，△BCD，∵AB＝AC，BD＝BC＝AD，∴△ABC，△ABD，△BCD都是等腰三角形；（2）设∠A＝x°，∵AD＝DB，∴∠A＝∠ABD＝x°，∵∠BDC是△ABD的一个外角，∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝2x°，∵BD＝BC，∴∠BDC＝∠C＝2x°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝2x°，∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴x+2x+2x＝180，解得：x＝36，∴∠A＝36°，∠ABC＝∠C＝72°，∴△ABC各角的度数分别为36°，72°，72°．24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，DE是AB的垂直平分线，交AB、BC于点D、E连接CD、AE．求证：（1）△ADC是等边三角形；（2）点E在线段CD的垂直平分线上．（1）证明：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠BAC＝60°，，∵DE是AB的垂直平分线，∴，∴AD＝AC，∴△ADC是等边三角形；（2）证明：DE是AB的垂直平分线，∴AE＝BE，DE⊥AB，∴∠EAB＝∠B＝30°，则∠EAC＝∠BAC﹣∠EAB＝30°，∴∠BAE＝∠CAE，∴AE平分∠BAC，∵DE⊥AB，AC⊥BC，∴DE＝EC，∵△ADC是等边三角形，∴AD＝AC，∴点E在线段CD的垂直平分线上．25．在平面直角坐标系中，点A（0，a），B（b，0），a、b满足（a﹣2）2+|b﹣4|＝0，点P在第一象限，PA＝PB，且PA⊥PB．（1）如图1，点P的坐标为（3，3）；（2）如