福建省宁德市福安第十中学高三数学文上学期期末试题含解析

/福建省宁德市福安第十中学高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的图象大致是

参考答案：D函数为奇函数，所以图象关于原点对称，排除A,B.当时，，排除C,选D.2.若、为空间两条不同的直线，、为空间两个不同的平面，则的一个充分条件是（）A．且

B．且C．且 D．且参考答案：D3.各项互不相等的有限正项数列，集合，集合,则集合中的元素至多有（

）个.Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．参考答案：A略4.一只船自西向东匀速航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75°距灯塔64海里的M处，下午2时到达这座灯塔东南方向的N处，则这只船航行的速度（单位：海里/小时）（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】解三角形的实际应用．【分析】根据题意可求得∠MPN和，∠PNM进而利用正弦定理求得MN的值，进而求得船航行的时间，最后利用里程除以时间即可求得问题的答案．【解答】解：由题意知∠MPN=75°+45°=120°，∠PNM=45°．在△PMN中，由正弦定理，得∴MN=64×=32．又由M到N所用时间为14﹣10=4（小时），∴船的航行速度v=8（海里/时）；故选B．5.下列命题中，真命题是(

)A．存在 B．是的充分条件C．任意 D．的充要条件是参考答案：B略6.若直线与曲线有公共点，则m所的

取值范围是A．

Ｂ．Ｃ．

Ｄ．参考答案：B略7.函数在区间内的零点个数是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B8.是展开式的常数项为（）A．120 B．40 C．﹣40 D．80参考答案：B【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】化=，利用展开式公式求出展开式的常数项．【解答】解：==?（x2+1）?（32x10﹣80x8+80x6﹣40x4+10x2﹣1），所以其展开式的常数项为?1?80x6+?x2?（﹣40x4）=80﹣40=40．故选：B．9.函数的单调递增区间是

A．

B．

C．

D．参考答案：D略10.若实数x,y满足条件,则z=x+3y的最大值为

A9

B.11

C.12

D．16参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图：为的切线，为切点，割线过圆心，，则长为

.参考答案：试题分析：由切割线定理得，即，，易得，则，所以，又，所以．考点：切割线定理，相似三角形的判断与性质．12.对大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23，33，43，…仿此，若m3的“分裂”数中有一个是73，则m的值为．参考答案：9考点：等差数列的通项公式；数列的函数特性．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得a3﹣a2=7﹣3=4=2×2，a4﹣a3=13﹣7=6=2×3，…am﹣am﹣1=2（m﹣1），累加由等差数列的求和公式可得am，验证可得．解答：解：由题意可得m3的“分裂”数为m个连续奇数，设m3的“分裂”数中第一个数为am，则由题意可得a3﹣a2=7﹣3=4=2×2，a4﹣a3=13﹣7=6=2×3，…am﹣am﹣1=2（m﹣1），以上m﹣2个式子相加可得am﹣a2==（m+1）（m﹣2），∴am=a2+（m+1）（m﹣2）=m2﹣m+1，∴当m=9时，am=73，即73是93的“分裂”数中的第一个故答案为：9点评：本题考查等差数列的通项公式和求和公式，涉及累加法求数列的通项公式，属中档题．13.已知离心率是的双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点与抛物线y2=20x的焦点重合，则该双曲线的标准方程为．参考答案：【考点】KI：圆锥曲线的综合．【分析】利用抛物线方程求出双曲线的焦点坐标，通过离心率求出a，然后求解b，即可求解双曲线方程．【解答】解：离心率是的双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点与抛物线y2=20x的焦点重合，可得c=5，=，可得a=，则b==2．所求的双曲线方程为：．故答案为：．【点评】本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力．14.根据下面一组等式 S1=1 S2=2+3=5 S3=4+5+6=15 S4=7+8+9+10=34 S5=11+12+13+14+15=65 S6=16+17+18+19+20+21=111 S7=22+23+24+25+26+27+28=175,可得S1+S2+…+S99=

参考答案：18145略15.①三角形纸片内有1个点，连同三角形的顶点共4个点，其中任意三点都不共线，以这4个点为顶点作三角形，并把纸片剪成小三角形，可得小三角形个数为3个；②三角形纸片内有2个点，连同三角形的顶点共5个点，其中任意三点都不共线，以这5个点为顶点作三角形，并把纸片剪成小三角形，可得小三角形个数为5个，…………

以此类推，三角形纸片内有2012个点，连同三角形的顶点共2015个点，其其中任意三点都不共线，以这些点为顶点作三角形，并把纸片剪成小三角形，则这样的小三角形个数为

个（用数字作答）参考答案：4025略16.设变量、满足约束条件则目标函数的最大值为_______．

参考答案：17.设G是三角形的重心，且=0，若存在实数λ，使得，，依次成等差数列，则实数λ为．参考答案：【考点】8L：数列与向量的综合；9R：平面向量数量积的运算．【分析】利用G点为△ABC的重心，且=0，进一步得到用、表示，得到三边关系，将所求转化为三角的弦函数表示整理即得可．【解答】解：G为三角形ABC的重心，且=0，∴?=0，即?=0，∴b2﹣2c2﹣2bc?cosA=0．又+=，即+=，∴2λ=（+）?=?=?===，故λ=，故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB//CD，.在梯形ACEF中，EF//AC，且AC=2EF，平面ABCD.（I）求证：；（II）若二面角为45°，求CE的长.参考答案：19.设，其中.（1）求证：曲线在点处的切线过定点；（2）若函数在(－1,1)上存在唯一极值，求正数的取值范围.参考答案：证明：（1）因为所以，又，所以曲线在点处的切线方程为，即，所以曲线在处的切线过定点.（2）因为，当，函数与在上都是增函数，所以在上是增函数，因为函数在上存在唯一极值，所以即所以所以正数的取值范围是.20.已知Sn为等比数列{an}的前n项和，其公比为q，且，，成等差数列．(1)求q的值；(2)若数列{bn}为递增数列，，且，又，数列{cn}的前n项和为Tn，求Tn．参考答案：（1）1；（2）.【分析】（1）由，，成等差数列，可以得出，可以求出的值；（2）由，这样可以求出数列的通项公式，用裂项相消法可以求出数列的前项和为.【详解】解：（1）∴（2）由已知条件，∴，∴，又，∴．【点睛】本题考查了等差中项性质、由递推公式求数列的通项公式、用裂项相消法求数列项和问题.考查了运算能力.21.如图所示，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P．（Ⅰ）求证：AD∥EC；（Ⅱ）若AD是⊙O2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长．参考答案：考点：圆的切线的性质定理的证明；直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系；与圆有关的比例线段．专题：计算题；证明题．分析：（I）连接AB，根据弦切角等于所夹弧所对的圆周角得到∠BAC=∠D，又根据同弧所对的圆周角相等得到∠BAC=∠E，等量代换得到∠D=∠E，根据内错角相等得到两直线平行即可；（II）根据切割线定理得到PA2=PB?PD，求出PB的长，然后再根据相交弦定理得PA?PC=BP?PE，求出PE，再根据切割线定理得AD2=DB?DE=DB?（PB+PE），代入求出即可．解答：解：（I）证明：连接AB，∵AC是⊙O1的切线，∴∠BAC=∠D，又∵∠BAC=∠E，∴∠D=∠E，∴AD∥EC．（II）∵PA是⊙O1的切线，PD是⊙O1的割线，∴PA2=PB?PD，∴62=PB?（PB+9）∴PB=3，在⊙O2中由相交弦定理，得PA?PC=BP?PE，∴PE=4，∵AD是⊙O2的切线，DE是⊙O2的割线，∴AD2=DB?DE=9×16，∴AD=12点评：此题是一道综合题，要求学生灵活运用直线与圆相切和相交时的性质解决实际问题．本题的突破点是辅助线的连接．22.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点（2，0），且椭圆C的离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若动点P在直线x=﹣1上，过P作直线交椭圆C于M，N两点，且P为线段MN中点，再过P：作直线l⊥MN．求直线l是否恒过定点，如果是则求出该定点的坐标，不是请说明理由．参考答案：考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）由已知条件推导出a2=4，，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）设P（﹣1，y0），，当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y﹣y0=k（x+1），由，得，由韦达定理结合已知条件推导出直线l恒过定点；当直线MN的斜率不存在时，直线l也过点．所以直线l恒过定点．解答：解：（Ⅰ）因为点（2，0）在椭圆C上，所以，所以a2=4，（1分）因为椭圆C的离心率为，所以，即，（2分）解得b2=3，所以椭圆C的方程为．（4分）（Ⅱ）设P（﹣1，y0），，①当直线MN的斜率存在时，设直