福建省宁德市东桥经济开发区中学2021-2022学年高二数学理上学期期末试卷含解析

/福建省宁德市东桥经济开发区中学2021-2022学年高二数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c成等比数列，则的取值范围是(

)A．（0，+∞） B．（0，） C．（，+∞） D．（，）参考答案：D【考点】正弦定理；等比数列的性质．【分析】首先对三角关系式进行恒等变换，然后利用等比中项代入三角形的三边关系式，利用换元法解不等式，求的结果．【解答】解：====设∵△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c成等比数列∴b2=ac即：c=把c=代入a+b＞c得到：a2+ab＞b2两边同除以a2得到：t2﹣t﹣1＜0解得：（1）同理：把c=代入a+c＞b和b+c＞a解得：或（2）综合（1）（2）得：【点评】本题考查的知识点：三角函数的恒等变换，等比中项，三角形的三边关系，换元法在不等式中的应用2.圆（x﹣1）2+y2=1与直线的位置关系是(

)A．相交 B．相切 C．相离 D．直线过圆心参考答案：A【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题．【分析】要判断圆与直线的位置关系，方法是利用点到直线的距离公式求出圆心到此直线的距离d，和圆的半径r比较大小，即可得到此圆与直线的位置关系．【解答】解：由圆的方程得到圆心坐标为（1，0），半径r=1，所以（1，0）到直线y=x的距离d==＜1=r，则圆与直线的位置关系为相交．故选A【点评】考查学生灵活运用点到直线的距离公式化简求值，掌握直线与圆位置关系的判别方法．3.下列结论正确的是A．若，则

B．若，则

C．若，，则

D．若，则（原创题）参考答案：D4.关于x的不等式x2﹣2ax﹣8a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），且：x2﹣x1=15，则a=（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】一元二次不等式的解法．【分析】利用不等式的解集以及韦达定理得到两根关系式，然后与已知条件化简求解a的值即可．【解答】解：因为关于x的不等式x2﹣2ax﹣8a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），所以x1+x2=2a…①，x1?x2=﹣8a2…②，又x2﹣x1=15…③，①2﹣4×②可得（x2﹣x1）2=36a2，代入③可得，152=36a2，解得a==，因为a＞0，所以a=．故选：A．5.已知双曲线与圆交于A、B、C、D四点，若四边形ABCD是正方形，则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【分析】联立双曲线方程和圆方程，求得交点，由于四边形ABCD是正方形，则有x2=y2，运用双曲线的a，b，c的关系和离心率公式，即可得到结论．【解答】解：联立双曲线方程和圆x2+y2=c2，解得，x2=c2﹣，y2=，由于四边形ABCD是正方形，则有x2=y2，即为c2﹣=，即c4=2b4，即c2=b2=（c2﹣a2），则e===．故选：A．6.关于正态曲线性质的描述，正确的是（

）①曲线关于直线对称，并且曲线在轴上方；②曲线关于轴对称，且曲线的最高点的坐标是；③曲线最高点的纵坐标是，且曲线没有最低点；④当越大，曲线越“高瘦”，当越小，曲线越“矮胖”。A．①②

B．①③

C．②③

D．③④

参考答案：B略7.已知向量a=(2，-1，3)，b=(-4，2，x)，且(a+b)⊥a，则x=(

)A．

B．

C．

D．参考答案：A略8.已知集合，则（

）A、

B、

C、

D、参考答案：C略9.下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是A. B. C. D.参考答案：D试题分析：在区间上为增函数；在区间上先增后减；在区间上为增函数；在区间上为减函数，选D.考点：函数增减性10.抛物线上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为（

）A．2

B．3

C．4

D．5参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若焦点在x轴上的椭圆

(b＞0)上存在一点，它与两焦点的连线互相垂直，则b的取值范围是

.参考答案：

∵椭圆的焦点在x轴上，故b2＜45，即b∈（-3，3）且b不为0①设椭圆的焦距为2c，则以原点为圆心，两焦点为端点的线段为直径的圆O的方程为x2+y2=c2要使椭圆上有一点，使它与两焦点的连线互相垂直，只需圆O与椭圆有交点，由椭圆几何性质，只需半径c≥|b|即c2≥b2，即45-b2≥b2，b2≤②由①②解得：且。故b的取值范围是.

12.如图，半径是的⊙中，是直径，是过点的⊙的切线，相交于点，且，，又，则线段的长为

．参考答案：613.已知F1、F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2=，则椭圆和双曲线的离心率的平方和的最小值为__________．参考答案：解：设椭圆和双曲线的长半轴长和十半轴长分别为，，焦半径为，设，则有，，解得，，由余弦定理得，整理得，，当时成立等号，故结果为．14.．双曲线+=1的离心率，则的值为

参考答案：略15.直三棱柱ABC-A1B1C1中，若，则异面直线BA1与AC1所成的角等于

.参考答案：

16.已知点P在圆x2+y2=1运动，点M的坐标为M（2，0），Q为线段PM的中点，则点Q的轨迹方程为

．参考答案：（x﹣1）2+y2=

【考点】轨迹方程．【分析】本题宜用代入法求轨迹方程，设Q（x，y），P（a，b），由中点坐标公式得到a=2x﹣2，b=2y，代入x2+y2=16到Q（x，y）点的坐标所满足的方程，整理即得点Q的轨迹方程．【解答】解：设Q（x，y），P（a，b）由M（2，0），Q为线段PM的中点故有a=2x﹣2，b=2y又P为圆x2+y2=1上一动点，∴（2x﹣2）2+（2y）2=16，整理得（x﹣1）2+y2=，故Q的轨迹方程是（x﹣1）2+y2=．故答案为：（x﹣1）2+y2=．【点评】本题的考点是轨迹方程，考查用代入法求支点的轨迹方程，代入法适合求动点与另外已知轨迹方程的点有固定关系的点的轨迹方程，用要求轨迹方程的点的坐标表示出已知轨迹方程的点的坐标，再代入已知的轨迹方程，从而求出动点的坐标所满足的方程．17.复数(为虚数单位)的虚部是▲

参考答案：1三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知等差数列{an}的首项a1=1,公差d>0，且第二项，第五项，第十四项分别是等比数列{bn}的第二项，第三项，第四项．

（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；

（2）设数列{cn}对任意自然数n，均有，求通项公式Cn

及c1+c2+c3+……+c2006值参考答案：（2）当n=1时，c1=3当n≥2时，

，

19.（1）已知函数的定义域为R，对任意，均有，试证明：函数是奇函数.（2）已知函数是定义在R上的奇函数，满足条件，试求的值.参考答案：（1）证明

已知对任意均有，令，则，所以.再令，可得，因为，所以，故是奇函数.

…………6分（2）解

因为函数是定义在R上的奇函数，所以.令，则有，即.又，则有…………12分

略20.（本题满分14分）已知命题p：函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数；命题q：关于x的方程x2－2ax＋4＝0有实数根．若p∧q为真，求实数a的取值范围．参考答案：解：当p为真命题时，a＞1．

……………3分当q为真命题时，△＝4a2－16≥0．解得a≤－2或a≥2．

…………6分因为p∧q为真，所以p和q都是真命题．

…………………10分所以实数a的取值范围是[2，＋∞)．

………14分略21.先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：已知，，求证，

证明：构造函数

因为对一切x?R，恒有≥0，所以≤0,

从而得，

（1）若，，请写出上述结论的推广式；

（2）参考上述解法，对你推广的结论加以证明。参考答案：解析：（1）若，，求证：…………………6分（2）证明：构造函数…8分

………………10分

……………12分因为对一切x?R，都有≥0，所以△=≤0,

从而证得：.

……………14分

略22.如图：⊙O为△ABC的外接圆，AB=AC，过点A的直线交⊙O于D，交BC延长线于F，DE是BD的延长线，连接CD。

①求证：∠EDF=∠CDF；

②求证：AB2=AF·AD。参考答案：证明：(1)∵

∴

(2分)

∵四边