2024-2025学年北京市海淀区第一零一中学高三上学期统考三数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京市海淀区第一○一中学高三上学期统考三数学试题一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知命题p:∃x∈R,x2−x+1<0，则¬p为A.∃x∈R,x2−x+1≥0 B.∃x∉R,x2−x+1≥02.下列函数中，既是奇函数又在(0,+∞)上单调递增的是(

)A.y=x12 B.y=1x 3.不等式x−2x>x−2xA.(0,2) B.(−∞,0)

C.(2,+∞) D.(−∞,0)∪(0,+∞)4.在▵ABC中，若a=2,∠A=π6A.33 B.23 C.85.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第三天走的路程为(

)A.12里 B.24里 C.48里 D.96里6.十字歇山顶是中国古代建筑屋顶的经典样式之一，图1中的故宫角楼的顶部即为十字歇山顶.其上部可视为由两个相同的直三棱枓交叠而成的几何体(图2).这两个直三棱柱有一个公共侧面ABCD.在底面BCE中，若BE=CE=3,∠BEC=120∘，则该几何体的体积为(

)

A.272 B.2732 C.7.已知A(−1,0),B(1,0)，若点P满足PA⊥PB，则点P到直线l:m(x−3)+n(y−1)=0的距离的最大值为A.1 B.2 C.3 D.48.已知函数f(x)=sinωx+π6(ω>0)，“存在m,n∈0,π2，函数f(x)的图象既关于直线x=mA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件：9.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，c是双曲线C的半焦距，点A是圆x2+y2=c2上一点，线段FA与双曲线A.72 B.332 10.函数f(x)是定义域为R的奇函数，且它的最小正周期是T，已知fx=(1)对于给定的正整数n，存在a∈R，使得n(2)当a=T4时，对于给定的正整数n，存在：k∈R(k≠1)，使得(3)当a=kT4(k∈Z)(4)当a=kT4(k∈Z)时，g(x)+f(x)的值只有0其中正确判断的有(

)A.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.若复数z满足z1+i=2+i.则在复平面内，z对应的点的坐标是

．12.若x−2xn的展开式的二项式系数和为32，则展开式中x3的系数为13.有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为5%，第2，3台加工的次品率均为4%，加工出来的零件混放在一起；已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.现任取一个零件，则该零件是次品的概率为

．14.已知点A,B,C在圆x2+y2=4上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为1,0，则PA15.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC上的动点((1)平面A1DF⊥平面(2)存在E，F，使直线A1F,C(3)存在唯一的点E，使三棱锥E−A1BF(4)二面角D−EF−D1正切值的取值范围是其中所有正确结论的序号是

．三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题12分)已知函数f(x)=3sinx+2cos2x(1)求∠C的大小；(2)若c=5，且▵ABC的面积为23，求▵ABC17.(本小题12分)如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，Q为棱PD的中点．

(1)求证：PB/​/平面ACQ；(2)若BA⊥PD，再从条件①､条件②､条件③中选择若干个作为已知，使四棱锥P−ABCD唯一确定，并求：(i)直线PC与平面ACQ所成角的正弦值；(ii)点P到平面ACQ的距离．条件①：二面角P−CD−A的大小为45条件②：PD=条件③：AQ⊥PC．18.(本小题12分)某学校有初中部和高中部两个学部，其中初中部有1800名学生．为了解全校学生两个月以来的课外阅读时间，学校采用分层抽样方法，从中抽取了100名学生进行问卷调查，将样本中的“初中学生”和“高中学生”按学生的课外阅读时间(单位：小时)各分为5组：[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50]，得到初中生组的频率分布直方图(图1)和高中生组的频数分布表(表1)．表1高中生组分组区间频数0,10210,201020,301430,401240,502(1)求高中部的学生人数并估计全校学生中课外阅读时间在30,40小时内的总人数；(2)从课外阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，记ξ为3人中初中生的人数，求ξ的分布列和数学期望；(3)若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该校高中部抽取10名学生进行调查，其中有k名学生的阅读时间在30,40的概率为Pk(k=0,1,2,⋯,10)，请直接写出k为何值时Pk取得最大值．(19.(本小题12分)已知椭圆C:x2a2+(1)求椭圆C的方程；(2)设O为坐标原点，直线l是圆x2+y2=1的一条切线，且直线l与椭圆C交于M,N两点，若平行四边形OMPN的顶点P恰好在椭圆20.(本小题12分)已知函数f(x)=aln(1)求f(x)的单调区间；(2)若−1<a<2ln2−1，求证：函数f(x)只有一个零点x0(3)当a=−45时，记函数f(x)的零点为x0，若对任意x1,x2∈[0,x0]21.(本小题12分)已知Q:a1,a2,⋯,ak为有穷正整数数列，且a1≤a2≤⋯≤ak(1)若k=10,ai=2i−1,i=1,2,⋯,k，判定(2)若1,2,⋯,n⊆T，证明：n≤(3)设ai=3i−1,i=1,2,⋯,k，若1,2,⋯,2024参考答案1.C

2.D

3.A

4.D

5.C

6.C

7.C

8.B

9.A

10.C

11.1,3

12.−10

13.4.25%

/0.0425

14.[1,5]

15.(1)(3)(4)

16.解：(1)解：由函数f(x)=因为f(A)=f(B)，可得sin(A+在▵ABC中，因为A,B∈(0,π)，所以A+π又因为a≠b，所以A≠B，所以(A+π6)+(B+因为A+B+C=π，所以C=π(2)解：由(1)知C=π3，因为▵ABC的面积为S▵ABC在▵ABC中，由余弦定理得c2=a整理得a2+b即(a+b)2=25+3ab=49所以▵ABC的周长为a+b+c=12．

17.(1)

(1)连接BD，交AC于O，连接OQ，底面ABCD是正方形，故O是BD的中点，又因为Q为棱PD的中点，所以，在▵PBD中OQ//PB，而OQ⊂平面ACQ,PB⊄平面ACQ，所以PB/​/平面ACQ．(2)选①②：因为四边形ABCD是正方形，所以BA⊥AD,AD⊥CD,BA//CD，又因为BA⊥PD，所以CD⊥PD，因为二面角P−CD−A的大小为45∘，平面PAD∩平面ABCD=CD,AD⊥CD,PD⊥CD，所以在▵PAD中，PA所以PA故PA⊥AD，又因为BA⊥AD,BA⊥PD,AD∩PD=D,AD､PD⊂平面PAD，所以BA⊥平面PAD，选①③：因为四边形ABCD是正方形，所以BA⊥AD,AD⊥CD,BA//CD，又因为BA⊥PD，所以CD⊥PD，因为二面角P−CD−A的大小为45∘，平面PAD∩平面所以∠ADP=45因为CD⊥PD,CD⊥AD,AD∩PD=D,AD､PD⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD，又因为AQ⊂平面PAD，所以CD⊥AQ，又因为AQ⊥PC,PC∩CD=C,PC､CD⊂平面PCD，所以AQ⊥平面PCD，因为PD⊂平面PCD，所以AQ⊥PD，又因为Q为PD中点，所以PA=AD，所以∠APD=∠ADP=45所以∠PAD=90∘，即因为BA//CD,CD⊥平面PAD，所以BA⊥平面PAD，选②③：因为四边形ABCD是正方形，所以AD⊥CD,BA//CD，因为CD⊥PD,CD⊥AD,AD∩PD=D,AD､PD⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD，又因为AQ⊂平面PAD，所以CD⊥AQ，又因为AQ⊥PC,PC∩CD=C,PC､CD⊂平面PCD，所以AQ⊥平面PCD，因为PD⊂平面PCD，所以AQ⊥PD，又因为Q为PD中点，所以PA=AD=1，在▵PAD中，PA故PA⊥AD，因为BA//CD,CD⊥平面PAD，所以BA⊥平面PAD，选①②③同上．以A为原点，AB,AD,AP为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则A0,0,0故AQ=令m=x,y,z为面ACQ令x=1，则m=(i)因为cosm所以直线PC与平面ACQ所成角的正弦值为13(ii)由(i)知点P到平面ACQ的距离13

18.(1)100名学生中高中生有2+10+14+12+2=40人，初中生有100−40=60人，设高中部的学生人数为x，则有x1800设100名学生中初中生在30,40小时内的人数为y，则有0.005×10+0.03×10+0.04×10+y100名学生中高中生在30,40小时内的人数为12人，因此全校学生中课外阅读时间在30,40小时内的总人数估计为：1200×12(2)课外阅读时间不足10个小时的样本中，初中学生人数为0.005×10×60=3人，高中学生人数为2人，所以ξ=1,2,3，因此有P(ξ=1)=C31⋅C所以ξ的分布列如下：P123ξ331ξ的数学期望为Eξ(3)由(1)高中部的学生人数为1200，其中阅读时间在30,40的人数为1200×12所以每个人被抽到30,40内的概率为3601200因此Pk假设Pk为最大项，则有解得：2.3≤k≤3.3，因为k=0,1,2,⋯,10，所以当k=3时，Pk

19.解：(1)由题意可得

2b=23ca=所以椭圆

C

的方程为

x26(2)当圆的切线斜率不存在时，切线方程为

x=±1

，当切线方程为

x=1

时，由椭圆的对称性可得

P2,0

因为

46+03=2当切线方程为

x=−1

时，由椭圆的对称性可得

P−2,0

因为

46+03=2所以切线的斜率存在，设切线方程为

y=kx+m

，

则

mk2+1=1

，所以联立

y=kx+mx26+y23=1

，整理得故设

Mx1,y1,Nx2故

y1+所以线段

MN

的中点坐标为

−2km2因为四边形

OMPN

为平行四边形，

所以

P−4km又因为点

P在椭圆

C上，所以

16k2m将①代入②得

8k2k2+132k所以

m=±6所以

|MN|=1+=32⋅所以

S▱OMPN=2

20.(1)函数fx的定义域为a,+∞，f′x令f′x=0，则x=0或当a+1=0，即a=−1时，f′x=−所以函数fx在−1,+∞当a+1>0，即−1<a<0时，a<x<0或x>a+1时，f’(x)<0，所以函数fx在a,0,a+1,+∞当a+1<0，即a<−1时，a<x<a+1或x>0时，f’(x)<0，所以函数fx在a,a+1,0,+∞综上所述，当a=−1时，函数fx的增区间为−1,+∞当−1<a<0时，函数fx的减区间为a,0,a+1,+∞当a<−1时，函数fx的减区间为a,a+1,0,+∞(2)证明：当−1<a<2ln2−1时，因为所以由(1)知，f(x)的极小值为f(0)，极大值为f(a+1)，因为f0=aln且f(x)在(a+1,+∞)上是减函数，所以f(x)至多有一个零点．又因为−1<a<2所以f(a+2)=aln即由数形结合可得，函数f(x)只有一个零点x0，且a+1<(3)因为ln2≈0.7，所以−1<−所以任意x1,x由(2)可知x1∈0,a+1因为函数f(x)在0,a+1上是增函数，在(a+1,+∞)上是减函数，所以f(x1)≥f(0)所以f(x当a=−45时，因为ln9所以fx所以f(x2)−f(所以使得f(x2)−f(x1

21.解：(1)31是，1024不是，理由如下：由题意可知x1当ai=2显然若x1=−1,x而t≤2故31是k−可表数，1024不是k−可表数；(2)由题意可知若xi=0⇒t=0，即设s∈T，即∃xi∈所以−x1a1+所以若1,2,⋯,n⊆T