广东深圳南山第二外国语海德学校2020-2021学年九上期末试卷（解析版）

广东省深圳市南山第二外国语海德学校2020-2021学年九年级上学期期末数学试题一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列几何体中，从左面看到的图形是圆的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分别得出各个选项中几何体的左视图，进行判断即可．【详解】解：选项A中，几何体中的左视图为三角形，不是圆，故错误；选项B中，几何体的左视图为三角形，不是圆，故错误；选项C中，几何体左视图为长方形，不是圆，故错误；选项D中，几何体的左视图为圆，故正确．故：选D．【点睛】本题考查的是简单几何体的三视图，理解三视图的意义和画法，是解题的关键．2.据统计，深圳户籍人口约为人，将用科学记数法表示为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于3700000人有7位，所以可以确定n=7-1=6．【详解】解：，故选：C．【点睛】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．3.如图，AB∥CD，AB＝6，CD＝9，AD＝10，则OD的长为（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】C【解析】【分析】根据相似三角形的判定和性质列比例式即可得到结论．【详解】解：∵AB∥CD，∴△AOB∽△DOC，∴，∵AB＝6，CD＝9，AD＝10，∴，∴OD＝6，故选C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．4.如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】【详解】由格点可得∠ABC所在的直角三角形的两条直角边为2，4，∴斜边为．∴cos∠ABC=．故选B．5.如图，在△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C，使得△A'B'C的边长是△ABC的边长的2倍．设点B的横坐标是﹣3，则点B'的横坐标是（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】作BD⊥x轴于D，B′E⊥x轴于E，根据位似图形的性质得到B′C＝2BC，再利用相似三角形的判定和性质计算即可．【详解】解：作BD⊥x轴于D，B′E⊥x轴于E，则BD∥B′E，由题意得CD＝2，B′C＝2BC，∵BD∥B′E，∴△BDC∽△B′EC，∴，∴CE＝4，则OE＝CE−OC＝3，∴点B'横坐标是3，故选B．【点睛】本题考查的是位似变换、相似三角形的判定和性质，掌握位似变换的概念是解题的关键．6.在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图像（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意中的函数解析式和分类讨论的方法，可以判断哪个选项中的图象是正确的．【详解】解：当时，函数的图象在第一、三象限，函数在第一、三、四象限，故选项A、D错误，选项B正确，当时，函数的图象在第二、四象限，函数在第一、二、四象限，故选项C错误，故选B．【点睛】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．7.下列说法正确的是（）A.若点C是线段AB的黄金分割点，AB=2，则AC=B.平面内，经过矩形对角线交点的直线，一定能平分它的面积C.两个正六边形一定位似D.菱形的两条对角线互相垂直且相等【答案】B【解析】【分析】A.根据黄金分割点的定义，AC可能是较长线段，也可能是较短线段,分情况讨论即可；B.矩形是中心对称图形，根据中心对称图形的性质，经过对称中心的任意一条直线都把它分成两个全等形，面积当然相等；C.按照相似与位似关系判断即可；D.利用菱形的性质判断即可.【详解】A.解：根据题意得：

当AC是较长线段时，,当AC是较短线段时，,，故此项错误；B.平面内，经过矩形对角线交点的直线，一定能平分它的面积，如图：，故此项正确；C.位似图形一定相似，相似图形不一定位似，两个正六边形一定相似，但不一定位似，故此项错误；D.菱形的两条对角线互相垂直，但不一定相等，对角线一定相等的是矩形,故此项错误.故选B.【点睛】此题考查了黄金分割、位似与相似的关系、矩形菱形的性质是解题的关键，特别注意A中应分类讨论，这里的AC可能是较长线段，也可能是较短线段．8.如图，路灯OP距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点O）20米的点A处，沿OA所在的直线行走14米到点B处时，人影的长度（）A.变长了1.5米 B.变短了2.5米 C.变长了3.5米 D.变短了3.5米【答案】D【解析】【分析】小明在不同的位置时，均可构成两个相似三角形，可利用相似比求人影长度的变化．【详解】设小明在A处时影长为x，B处时影长为y．∵AD∥OP，BC∥OP，∴△ADM∽△OPM，△BCN∽△OPN，∴，，∴AD•MO=MA•OP，BC•ON=BN•OP，则1.6，1.6，∴，，∴，故变短了3.5米．故选：D．【点睛】本题是相似三角形的应用题，考查了相似三角形的判定和性质，相似三角形的对应边成比例，应注意题中三角形的变化．9.如图，等腰直角三角形以的速度沿直线向右移动，直到与重合时停止．设时，三角形与正方形重叠部分的面积为，则下列各图中，能大致表示出与之间的函数关系的是（）

A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分别求出时与时的函数解析式，然后根据相应的函数图象找出符合条件的选项即可．【详解】解：如图，当时，重叠部分为三角形，面积，如图，当时，重叠部分为梯形，面积，所以，图象为两段二次函数图象，纵观各选项，只有选项符合．故选A.【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，判断出重叠部分的形状并求出相应的函数关系式是解题的关键．10.如图，在矩形ABCD中，AB=12，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，得到△PGC，边CG交AD于点E，连接BE，∠BEC=90°，BE交PC于点F，那么下列选项正确的有（）①BP=BF；②若点E是AD的中点，则△AEB≌△DEC；③当AD=25，且AE＜DE时，则DE=16；④在③的条件下，可得sin∠PCB=；⑤当BP=9时，BE•EF=108．A.5个 B.4个 C.3个 D.2个【答案】B【解析】【分析】①利用折叠的性质，得出∠PGC=∠PBC=90°，∠BPC=∠GPC，进而判断出∠GPF=∠PFB即可得出结论；②先判断出∠A=∠D=90°，AB=DC再判断出AE=DE，即可得出结论；③判断出△ABE∽△DEC，得出比例式建立方程求解即可得出AE=9，DE=16；④再判断出△ECF∽△GCP，进而求出PC，即可得出结论；⑤判断出四边形BPGF是菱形，即可得出结论．【详解】①在矩形ABCD，∠ABC=90°，∵△BPC沿PC折叠得到△GPC，∴∠PGC=∠PBC=90°，∠BPC=∠GPC，∵BE⊥CG，∴BE∥PG，∴∠GPF=∠PFB，∴∠BPF=∠BFP，∴BP=BF；故①正确；②在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，AB=DC，∵E是AD中点，∴AE=DE，在△ABE和△DCE中，，∴△ABE≌△DCE（SAS）；故②正确；③当AD=25时，∵∠BEC=90°，∴∠AEB+∠CED=90°，∵∠AEB+∠ABE=90°，∴∠CED=∠ABE，∵∠A=∠D=90°，∴△ABE∽△DEC，∴，设AE=，∴DE=，∴∴或，∵AE＜DE，∴AE=9，DE=16；故③正确；④由③知：CE=，BE=，由折叠得，BP=PG，∴BP=BF=PG，∵BE∥PG，∴△ECF∽△GCP，∴，设BP=BF=PG=y，∴，∴，∴BP，在Rt△PBC中，PC=，∴sin∠PCB=，故④不正确；⑤如图，连接FG，由①知BF∥PG，∵BF=PG=PB，∴▱BPGF是菱形，∴BP∥GF，GF=PB=9，∴∠GFE=∠ABE，∴Rt△GEF∽Rt△EAB，∴，∴BE•EF=AB•GF=12×9=108；故⑤正确，所以本题正确的有①②③⑤，共4个，故选：B．【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，利用方程的思想解决问题是解本题的关键．二、填空题（每题3分，满分15分，将答案填在答题纸上）11.若，那么的形状是_____．【答案】锐角三角形【解析】【分析】根据二次根式和绝对值的非负数性质及特殊角的三角函数值可求出∠A和∠B的度数，然后根据三角形内角和求出∠C的度数，即可得到答案．【详解】∵，∴cos2A-=0，tan-=0，∴cosA=（负值舍去），tanB=，∴∠A=45°，∠B=60°，∴∠C=180°-45°-60°=75°，∴△ABC是锐角三角形，故答案为：锐角三角形【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值及非负数性质的应用，熟练掌握非负数的性质，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．12.若关于x的一元二次方程（a+3）x2+2x+a2﹣9＝0有一个根为0，则a的值为_____．【答案】3【解析】【分析】将x＝0代入原方程，结合一元二次方程的定义即可求得a的值．【详解】解：根据题意，将x＝0代入方程可得a2﹣9＝0，解得：a＝3或a＝﹣3，∵a+3≠0，即a≠﹣3，∴a＝3．故答案为：3．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．13.已知二次函数y＝2x2+bx+4顶点在x轴上，则b＝_____．【答案】【解析】【分析】根据题意可知一元二次方程只有一个解．再利用根的判别式即可得出b的值．【详解】根据二次函数的顶点在x轴上，说明该二次函数与x轴只有一个交点，即一元二次方程只有一个解．即，解得．故答案为：．【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点问题，理解二次函数与一元二次方程的关系是解答本题的关键．14.有两个全等矩形纸条，长与宽分别为11和7，按如图所示的方式交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形的周长为_______________．【答案】【解析】【分析】先证四边形BGDH为平行四边形，再证BG=BH，然后由勾股定理求BＧ，四边形BGDH的周长=4BH即可．【详解】由题意得矩形矩形，，∴四边形是平行四边形，∴平行四边形的面积，，∴四边形是菱形，．设，则．在中，由勾股定理得，解得，∴四边形的周长．【点睛】本题考查四边形的周长问题，关键是证四边形BGDH为菱形，用勾股定理求BH，掌握矩形的性质，菱形的性质与判定，会用勾股定理解决问题．15.如图，已知，在矩形AOBC中，OB=4，OA=3，分别以OB、OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F是边BC上的一个动点(不与B、C重合)，过F点的反比例函数y(k＞0)的图象与AC边交于点E，将△CEF沿E对折后，C点恰好落在OB上的点D处，则k的值为____．【答案】．【解析】【分析】先证明Rt△MED∽Rt△BDF，则，而EM：DB=ED：DF=4：3，求出DB，在Rt△DBF中，利用勾股定理即可求解．详解】如图，过点E作EM⊥x轴于点M，∵将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上的D点处，∴∠EDF=∠C=90°，EC=ED，CF=DF，∴∠MDE+∠FDB=90°，而EM⊥OB，∴∠MDE+∠MED=90°，∴∠MED=∠FDB，∴Rt△MED∽Rt△BDF，又∵EC=AC﹣AE=4，CF=BC﹣BF=3，∴ED=4，DF=3，∴，∵EM：DB=ED：DF=4：3，而EM=3，∴DB，在Rt△DBF中，DF2=DB2+BF2，即(3)2=()2+()2，解得：k，故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数与矩形的综合，涉及到图形折叠的性质、勾股定理以及三角形相似的判定与性质，综合性强，难度适中．三、解答题（本大题共7小题，共55分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.计算：|1﹣|﹣（）﹣1+（2020﹣π）0﹣2cos45°．【答案】-3【解析】【分析】直接利用绝对值的性质以及负整数指数幂的性质、零指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．【详解】解：原式＝﹣1﹣3+1﹣2×＝﹣1﹣3+1﹣＝﹣3．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数、以及实数运算，正确化简各数是解题关键．17.先化简，再求值：，其中a=2．【答案】，1．【解析】【分析】先计算括号中的异分母分式加法，再将除法化为乘法，约分得到化简结果后将a=2代入计算.【详解】解：原式====，当a=2时，原式==1.【点睛】此题考查分式的混合运算，分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算的顺序及法则是解题的关键.18.抚顺某中学为了解八年级学生的体能状况，从八年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A，B，C，D四个等级．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：（1）本次抽样调查共抽取了多少名学生？（2）求测试结果为C等级的学生数，并补全条形图；（3）若该中学八年级共有700名学生，请你估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有多少名？（4）若从体能为A等级的2名男生2名女生中随机的抽取2名学生，做为该校培养运动员的重点对象，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率．【答案】（1）50；（2）16；（3）56（4）见解析【解析】【分析】（1）用A等级的频数除以它所占的百分比即可得到样本容量；

（2）用总人数分别减去A、B、D等级的人数得到C等级的人数，然后补全条形图；（3）用700乘以D等级的百分比可估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生数；

（4）画树状图展示12种等可能的结果数，再找出抽取的两人恰好都是男生的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】（1）10÷20%=50（名）答：本次抽样调查共抽取了50名学生.（2）50-10-20-4=16（名）答：测试结果为C等级的学生有16名.图形统计图补充完整如下图所示：（3）700×=56（名）答：估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有56名.（4）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好都是男生的结果数为2，

所以抽取的两人恰好都是男生的概率=．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．19.如图是一矩形广告牌，米，为测量其高度，某同学在处测得点仰角为，该同学沿方向后退6米到处，此时测得广告牌上部灯杆顶端点仰角为．若该同学眼睛离地面的垂直距离为1.7米，灯杆的高为2.25米，求广告牌的高度(或的长)．(精确到1米，参考数据：，)【答案】广告牌的高度为17米【解析】【分析】首先延长DH交于,交于,构造直角三角形,可得到,设,表示出PM,在中得到,,在中运用勾股定理求解即可.【详解】依题意：米,米,米,如图设直线交于,交于,则.设m则,在中,∵,∴,∵,则,在中,∵∴,解得,∴(米),∴广告牌的高度为17米.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角的问题,准确构造直角三角形和找准角度是解题的关键.20.在2020年新冠肺炎抗疫期间，小明决定在淘宝上销售一批口罩．经市场调研：某类型口罩进价每袋为20元，当售价为每袋25元时，销售量为250袋，若销售单价每提高1元，销售量就会减少10袋．（1）直接写出小明销售该类型口罩销售量y（袋）与销售单价x（元）之间的函数关系式；每天所得销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式．（2）若小明想每天获得该类型口罩的销售利润2000元时，则销售单价应定为多少元？（3）若每天销售量不少于100袋，且每袋口罩的销售利润至少为17元，则销售单价定位多少元时，此时利润最大，最大利润是多少？【答案】（1）；（2）30元或40元；（3）销售单价定位元时，此时利润最大，最大利润是元．【解析】【分析】（1）根据“若销售单价每提高1元，销售量就会减少10袋，当销售单价为元时，销售量为袋”，即可得出y关于x的函数关系式，然后再根据销售利润w（元）等于销售数量乘以每袋利润可得销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）代入w=2000，建立一元二次方程，解方程求出x的值，由此即可得出结论；（3）根据题意先求解销售单价的范围，利用配方法将w关于x的函数关系式变形为：，根据二次函数的性质即可解决最值问题．【详解】解：（1）根据题意得，；则，故答案为：（2）∵w=2000，∴，解得：答：销售单价应定为30元或40元，小明每天获得该类型口罩的销售利润2000元；（3）根据题意得，，∴x的取值范围为：，∵函数，对称轴为x=35，＜当，随的增大而减小，∴当x=37时，w最大值=2210．答：销售单价定位每袋37元时，此时利润最大，最大利润是2210元．【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，一元一次不等式组的应用，一元二次方程的解法，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，掌握利用二次函数的性质求最值是解题的关键．21.在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处．（1）如图1，若BC=2BA，求∠CBE的度数；（2）如图2，当AB=5，且AF•FD=10时，求BC的长；（3）如图3，延长EF，与∠ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF=AN+FD时，求的值．【答案】（1）15°；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）由折叠的性质得出BC=BF，∠FBE=∠EBC，根据直角三角形的性质得出∠AFB=30°，可求出答案；（2）证明△FAB∽△EDF，由相似三角形的性质得出，可求出DE=2，求出EF=3，由勾股定理求出DF=，则可求出AF，即可求出BC的长；（3）过点N作NG⊥BF于点G，证明△NFG∽△BFA，，设AN=x，设FG=y，则AF=2y，由勾股定理得出(2x)2+(2y)2=(2x+y)2，解出，则可求出答案．【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=90°，∵将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，∴BC=BF，∠FBE=∠EBC，∠C=∠BFE=90°，∵BC=2AB，∴BF=2AB，∴∠AFB=30°，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AFB=∠CBF=30°，∴∠CBE∠FBC=15°；（2）∵将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，∴∠BFE=∠C=90°，CE=EF，又∵矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，∴∠AFB+∠DFE=90°，∠DEF+∠DFE=90°，∴∠AFB=∠DEF，∴△FAB∽△EDF，∴，∴AF•DF=AB•DE，∵AF•DF=10，AB=5，∴DE=2，∴CE=DC-DE=5-2=3，∴EF=3，∴DF=，∴AF=，∴BC=AD=AF+DF=；（3）过点N作NG⊥BF于点G，∵NF=AN+FD，∴NF=AD=BC，∵BC=BF，∴NF=BF，∵∠NFG=∠AFB，∠NGF=∠BAF=90°，∴△NFG∽△BFA，∴，设AN=x，∵BN平分∠A