人教A版（2019）高中数学必修第二册9.2.4总体离散程度的估计【课件】

9.2.4 总体离散程度的估计主讲人：索云旺

学

校：北京市第八十中学学 科：数学（人教版） 年 级：高一下学期高中数学

9.2.4 总体离散程度的估计

本小节学习任务与指导通过实例，理解极差、方差、标准差等离散程度参数的统计意义；生成个人用样本的离散程度参数估计总体的离散程度的方法.知道极差、方差、标准差可以刻画数据离散程度，反映数据的稳定性；能用平均数、中位数、众数和极差、方差、标准差对数据进行比较和评价；能用平均数和标准差描述数据的取值范围．知道多数数据在平均数减去两倍标准差与平均数加两倍标准差的范围内．对于通过试验、简单随机抽样等途径获得的样本数据，会计算样本方差和样本标准差；对于两组数据汇总得到的数据，能通过两组数据各自的样本量、平均数和标准差（或方差）计算两组数据合并后所有数据的平均数和标准差（或方差）；能用样本数据的方差和标准差估计总体的方差和标准差，在此过程中体会样本估计总体的思想．高中数学

9.2.4 总体离散程度的估计

本小节学习任务与指导本小节的学习，希望同学们有整体的思考意识，明白人类是为了解决什么问题而创造的本小节的知识、方法，又是如何运用这些知识解决实际问题的，能在理解人类创造的基础上，实施你们自己的再创造，能针对具体问题提出你们个人的想法，并在实际问题的求解过程中验证你们的想法，从而生成你们自己的统计知识、方法，并纳入、更新自己的知识方法体系，提升自己的智慧!高中数学一、刻画数据离散程度的探索发现、创造过程情境与问题

1（教材问题

3）

有两位射击运动员在一次射击测试中各射击

10

次，每次命中的环数如下：甲78795491074乙9578768677如果你是教练，你如何对两位运动员的射击情况做出评价？如果这是一次选拔性考核，你应当如何做出选择？通过你们的计算、思考可以发现：要想对本问题给出回答，仅考虑两位运动员射击成绩的集中趋势（平均数、中位数和众数）是不够的.

因为甲、乙两名运动员射击成绩的平均数、中位数和众数均为

7.从这个角度看，两名运动员之间没有差别.高中数学一、刻画数据离散程度的探索发现、创造过程但我们画出这两组数据的频率分布条形图后，可以看出，甲的成绩离散程度大，乙的成绩离散程度小，即甲的成绩波动幅度比较大，而乙的成绩比较稳定.可见，他们的射击成绩是存在差异的.高中数学一、刻画数据离散程度的探索发现、创造过程情境与问题1（教材问题3）那么，我们如何度量或刻画成绩的这种差异呢？想法一（极差法）极差是数据的最大值与最小值的差．根据甲、乙运动员的

10

次射击成绩可以得到甲命中环数的极差=10-4=6. 乙命中环数的极差=9-5=4.可以发现，甲的成绩波动范围比乙大.极差在一定程度上刻画了数据的离散程度.极差越大，数据的离散程度越大；极差越小，数据的离散程度越小．但因为极差只用到了数据中的最大值和最小值，对其他的数据没有涉及，所以极差包含的信息量很少．高中数学一、刻画数据离散程度的探索发现、创造过程情境与问题1（教材问题3）想法二：我们知道，如果射击的成绩很稳定，那么大多数的射击成绩离平均成绩不会太远；相反，如果射击的成绩波动幅度很大，那么大多数的射击成绩离平均成绩会比较远.因此，我们可以通过两组射击成绩与它们的平均成绩的“平均距离”来度量成绩的这种差异.高中数学一、刻画数据离散程度的探索发现、创造过程假设一组数据是

x1,x2

,

,xn

,

用

x

表示这组数据的平均数.我们用每个数据与平均数的差的绝对值作为“距离”，即xi

x (i

1,2,

,n)作为

xi

到

x

的距离.这样，我们可以得到这组数据

x

,x

,

,x 到

x

的“平均距离”为1 2 nx1

x

x2

x

xn

xn=ini

1x

x

.n1

高中数学一、刻画数据离散程度的探索发现、创造过程我们可以用这个“平均距离”刻画数据的离散程度．“平均距离”越大，数据的离散程度越大；“平均距离”越小，数据的离散程度越小．但是，这个“平均距离”计算公式中含有绝对值，计算不方便．为了避免式中含有绝对值通常改用平方来代替，即

2ini

1n1

x

x .（1）我们称（1）式为这组数据的方差，这个公式我们在初中已经学过了.2n2ix1n

i

1x .高中数学一、刻画数据离散程度的探索发现、创造过程有时为了计算方便，我们还把方差写成以下形式是因为：

2ii inni

1i

1

x

x

2x

2x

x

x

2

n1

n

1

iix2x2nni

1i

1

2x

2

x

2xn

1

n

1

高中数学一、刻画数据离散程度的探索发现、创造过程追问：方差的单位是什么？我们说，方差的单位是原始数据单位的平方，与原始数据不一致，给使用带来不便，为了使二者的单位一致，可以用方差的算术平方根，即

2ini

1n1

x

x .（2）我们称（2）式为这组数据的标准差．高中数学一、刻画数据离散程度的探索发现、创造过程这样，我们从定义一组数据的“距离”出发，经历了两次改进的创造过程，获得了刻画了一组数据的离散程度的标准差，即iiiinnni

1i

1i

1x

xx

x

x

x

2

n

1

n

1

n1

x

x

2

.(i

1,2,

,n)高中数学一、刻画数据离散程度的探索发现、创造过程总体方差：如果总体中所有个体的变量值分别为Y1,Y2

,

,YN

,总体的平均数为Y

，则称

22Ni1Ni

1S

Y

Y

2为总体方差，

S

S

为总体标准差.样本方差：如果一个样本中个体的变量值分别为

y

,

y

,

,

y

,样本的平均数记1 2 n为

y

，则称is2

yni

1n

1

y

2

样本方差，

s

s2

样本标准差.高中数学一、刻画数据离散程度的探索发现、创造过程标准差与方差一样，刻画了一组数据的离散程度．标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小．但是在解决实际问题中，一般多采用标准差．由于计算复杂，我们可以借助计算器或者计算机帮助计算．高中数学计算可得s

=2

,s

1.095.甲 乙由

s

s甲 乙可知，甲的成绩离散程度大，乙的成绩离散程度小，说明乙比甲的射击成绩稳定．（这是我们对两位运动员的射击情况做出评价的回答）.一、刻画数据离散程度的探索发现、创造过程情境与问题

1（教材问题

3）

有两位射击运动员在一次射击测试中各射击

10

次，每次命中的环数如下：甲78795491074乙9578768677如果你是教练，你如何对两位运动员的射击情况做出评价？如果这是一次选拔性考核，你应当如何做出选择？至此，我们可以用标准差求解情境与问题

1

了.

即用标准差来判断两名运动员成绩的离散程度高中数学一、刻画数据离散程度的探索发现、创造过程作为一次选拔性考核，我们做出的选择（或决策）为：如果从这两名选手中选择一名参加比赛，要比较他们的平均成绩在所有参赛选手中的位置，如果两人都排在前面，越稳定越好，所以可以选择成绩稳定的乙选手；如果两人的成绩排在后面，希望比赛时有突出表现的，建议选成绩标准差大的甲．高中数学一、刻画数据离散程度的探索发现、创造过程反思概括：上面的学习，我们始终坚持解决问题的方法来自问题本身、来自问题的本质或问题的变化规律的原则，探索发现与创造了刻画数据的离散程度的方法——标准差方法.在实际问题中，总体平均数和总体标准差是未知的.就像用样本的平均数估计总体平均数一样，通常我们用样本标准差去估计总体标准差.面对实际问题的解决，为了做出“有效决策”，需要我们综合考虑数据的集中趋势信息（平均数、中位数、众数）与数据的离散程度信息（方差、标准差）.高中数学品种第

1年第

2年第

3年第

4年第

5年第

6年甲/kg900920900850910920乙/kg890960950850860890二、刻画数据离散程度方法的验证、体验过程情境与问题

2

农场种植的甲、乙两种水稻，在面积相等的两块稻田中连续

6

年的产量如下：问：哪种水稻的产量比较稳定？答：甲、乙两种水稻

6

年产量的平均数都是

900，但甲种水稻产量的标准差约等于

23.8乙种水稻产量的标准差约等于

41.6，所以甲种水稻的产量比较稳定.

高中数学二、刻画数据离散程度方法的验证、体验过程情境与问题

3 （教材例

6）在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生

23

人，样本的平均数和方差分别为

170.6

和

12.59，抽取了女生

27

人，样本的平均数和方差分别为

160.6

和

38.62．你能由这些数据计算出样本的方差吗？并对高一年级全体学生的身高方差作出估计吗？分析：本例中的问题是：给出了两组数据的观测个数、平均数和方差，将两组数据合为一组数据，求合并后数据的方差，以此为依据对总体方差作出估计.面对较为复杂的问题时，我们始终坚持分析综合的方法来探索寻找解决问题的思路，即问题的目标是什么？要求出目标需要什么？

问题的条件是什么？由条件能推出什么？来实施条件与目标的沟通，俗称“两头凑”的方法.高中数学二、刻画数据离散程度方法的验证、体验过程解：把抽取的男生样本记为

x

,x

,

,x ,样本的平均数记为

x

，方差记为

s2；1 2 23 x把抽取的女生样本记为

y

,

y

,

,

y ,样本的平均数记为

y

，方差记为

s2；1 2 27 y把总样本数据的平均数记为

z

，方差记为

s2

．由已知条件可得到：

x

170.6,s2

12.59,

y

160.6,s2

38.62.x y根据按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系，可得总样本平均数为50z

x

23

27 23

2723 27 y

23

170.6

27

160.6

165.2.高中数学二、刻画数据离散程度方法的验证、体验过程根据方差的定义，我们还知道23xixs

2i

1

231

23

x

x

2

x

x

2

23s

2

,i

i

127yiys

2i

127

1

27

y

y

2

y

y

2i

i

1

27s2

.高中数学

2723

2

22150iii

1

x

z

j

1s

[y

z

].二、刻画数据离散程度方法的验证、体验过程根据方差的定义，总样本方差（问题的目标）为要把上面条件用上，求解这个总样本方差，需要对其表达式实施变形.变形为：

2 27

250iiy1

23

2

s

x

x

x

z

i

1

y

y

z

i

1高中数学

iis2i

12

y

y

z50

i

1

1

232 27

x

x

x

z

y

2350ii2 xi

1i

1i

1

1

x

x

z

23

23x

x

2

x

z

2

[

2727

2 27

2iii

1i

1

y

y

y

z

i

12 y

y

y

z

].二、刻画数据离散程度方法的验证、体验过程继续变形为：高中数学二、刻画数据离散程度方法的验证、体验过程

iis22

1

y

y

z50

i

1

232 27

x

x

x

z

yi

1

23

2ii2 xi

1i

1

150x

x

x

z

x

x

z

2

23

23

i

1[

27272722ii

1i

1i

1

y

y

y

z

2

yi

y

y

z

].x23s2

23

23

2(x

z)

(xi

x)i

1

2(x

z)(

xi

23x)i

1

2(x

z)

0y27s223(x

z)227(

y

z)2

0

0高中数学二、刻画数据离散程度方法的验证、体验过程所以，

2222

150xys2

23 s

xz

27

s

y

z

.

（*）高中数学二、刻画数据离散程度方法的验证、体验过程把已知的男生、女生样本平均数和方差的取值代入（*）式，可得

2223

1

50s2

12.59

170.6

165.2

27 38.62

160.6

165.2

51.486 2.我们可以计算出总样本的方差约为51.486 2

，据此估计高一年级学生身高的总体方差约为51.486 2

．高中数学二、刻画数据离散程度方法的验证、体验过程追问：比较总样本方差与男生组及女生组的方差，你们能发现什么？你们能解释在估计全校学生平均身高时按性别分层随机抽样的理由吗？我们可以看到总样本方差既大于男生组的方差，也大于女生组的方差．相同样本量的条件下，总样本方差越小，样本均值估计总体均值效果更好．男女生的均值相差越大，即两组差别越大，总样本方差比男、女生的方差均大得越多，分层随机抽样的效果越好．高中数学二、刻画数据离散程度方法的验证、体验过程情境与问题

4

请你根据教材

9.2.1

节中

100

户居民用户的月均用水量数据，计算出样本平均数

x

和标准差

s

;计算

x

s，

x

s，

x

2s

，

x

2s

；（

3

）

观察月均用水量数据分别落在以平均数为中心的区间

x

s,

x

s

，

x

2s,

x

2s

的情况，你能发现什么规律？（4）根据（3）的结论，你能获得对标准差这个统计量作用的新认识吗？高中数学二、刻画数据离散程度方法的验证、体验过程解：（1）

x

8.79,

s

6.20

;（2）x

s

2.59,x

s

14.99,x

2s

3.61,x

2s

21.19

;