人教A版（2019）高中数学必修第二册6.3.5平面向量数量积的坐标表示-第一课时【课件】

6.3.5

平面向量数量积的坐标表示（1）主讲人：宋群霞

学

校：北京市第八十中学学 科：数学（人教版） 年 级：高一下学期高中数学学习目标经历两个向量数量积坐标表示的推导过程教，重并点能运用数量积的坐标表示进行运算；会利用向量的坐标计算向量的模；教能难利点用两个向量的坐标求向量的夹角．高中数学学习重点、难点重点：1. 平面向量数量积的坐标表示;教重2点.

向量的模和夹角的坐标表示.难点:运用平面向量数量积的坐标表示, 向教难量点的模和夹角的坐标表示解决一些相关的问题.高中数学6.3

平面向量基本定理及坐标表示向量加减运算的坐标表示向量数乘运算的坐标表示

向量数量积的坐标表示平面向量的正交分解及坐标表示平面向量基本定理本节的内容在第六章第三节知识结构中的位置.高中数学知识回顾设

a,

b

是非零向量，它们的夹角为

θ，则a· b＝

,cosθ＝

,a· a＝

或|a|＝

,a⊥b ⇔

.现在，请你按下暂停键，用 2

分钟的时间做一下知识回顾.高中数学知识回顾若

a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则

a＋b＝

，a－b＝

，λa＝

．高中数学|a||b|cosθ＝

a·b

,a

a

,a· a＝|a|2 或|a|＝a⊥b ⇔

a· b＝0.知识回顾设

a,

b是非零向量，它们的夹角为

θ，则a· b＝|a||b|cosθ

,高中数学知识回顾若

a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则

a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)．高中数学探索新知一.

平面向量数量积的坐标表示;二.

向量的模和夹角的坐标表示.高中数学探索新知一. 平面向量数量积的坐标表示已知 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，怎样用

a

与

b

的坐标表示

a· b呢？高中数学探索新知∵a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2

j，∴a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2

j)＝x1x2i2＋x1y2i·j＋x2y1j·i＋y1y2

j2.又∵i·i＝1，j·j＝1，i·j＝j·i＝0，∴a·b＝x1x2＋y1y2.高中数学探索新知a·b＝x1x2＋y1y2两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．高中数学探索新知二.

向量的模和夹角的坐标表示.若

a＝(x，y)，如何计算向量

a的模|a|?∵a＝xi＋yj，∴a2＝(xi＋yj)2＝(xi)2＋2xyi·j＋(yj)2＝x2i2＋2xyi·j＋y2j2.又∵i2＝1，j2＝1，i·j＝0，∴a2＝x2＋y2，∴|a|2＝x2＋y2，∴|a|＝ x2＋y2.a2＝|a|2高中数学探索新知另一种方法：已知

a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则

a·b＝x1x2＋y1y2.

令

b＝a，则

a·a＝x1

x1＋y1

y1，∴a2＝x1＋y1

，2 2∴|a|2＝x1＋y1

，2 2∴

|a|＝211x2y .高中数学探索新知如果表示向量

a

的有向线段的起点和终点的坐标分别为

A(x1，y1)，B(x2，y2)，如何计算向量

a

的模？高中数学探索新知

a＝

AB

＝

(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)，

∴|a|＝|

AB

|＝

x2－x1

2＋

y2－y1

2.高中数学探索新知设

a，b

都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ

是a

与b

的夹角，那么cosθ如何用坐标表示？|a||b|cosθ＝

a·b

＝x1x2＋y1y2x2＋y2· x2＋y21 1 2 2.高中数学a·b＝x1x2＋y1y2|a|＝x2

y21 1|a||b|cosθ＝

a·b

＝x1x2＋y1y2x2＋y2· x2＋y21 1 2 2探索新知已知

a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如果表示向量

a

的有向线段的起点和终点的坐标分别为

A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 |a|＝|

|＝

x2－x1

2＋

y2－y1

2.AB高中数学例题讲解例

1. 设

a ＝

(5，

7)，b＝(

6，

4)，求

a·b及

a，b

间的夹角θ(精确到

1o)

.现在，请你按下暂停键，用

2

分钟的完成.高中数学例题讲解例

1. 设

a ＝

(5，

7)，b＝(

6，

4)，求

a·b及

a，b

间的夹角θ(精确到

1o)

.解：a·b＝5×(－6) ＋(

7)×(

4)＝

－30＋28=－2.52因为|a|＝

(

7)2＝74

，|b|＝(

6)2

(

4)2＝52

，高中数学|a||b|cosθ＝

a·b

＝

274

52

0.03.

利用计算器的“ cos

1”键,得

θ

92°.例题讲解所以用计算器计算可得高中数学巩固练习：已知 a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，求a

与

b

的夹角.现在，请你按下暂停键，用

2

分钟的完成.高中数学5，a·b＝5.解: ∵|a|＝ 10，|b|＝设

a

与

b

的夹角为

θ，10×

5|a||b|

2∴cosθ＝

a·b

＝

5 ＝

2.又∵a，b

的夹角范围为[0，π]．4∴a

与

b

的夹角为π.高中数学例题讲解例2

用向量方法证明两角差的余弦公式cos(

)

cos

cos

sin

sin

.此公式是必修一

5.5

三角恒等变换这节我们学习的第一个公式,你还记得是怎么证明的吗?高中数学第一步第二步高中数学第三步高中数学例题讲解证明:

如图,在平面直角坐标系

xOy内作单位圆

O，以x

轴的非负半轴为始边作角

,

,它们的终边与单位圆

O

的交点分别为

A,B.则A(cos

,sin

)，B(cos

,sin

).

OA

(cos

,sin

)

，OB

(cos

,sin

).

高中数学

例题讲解由向量数量积的坐标表示，有OA

OB

cos

cos

sin

sin

.设

与

的夹角为

θ，则OA OBOA

OBOA OB

|

|· |

|cosθ＝cos

θ.所以

cos

θ＝cos

cos

sin

sin

.高中数学例题讲解另一方面，θ 是向量

与

的夹角，OA OB那么

θ

与

,

又有什么关系呢？高中数学例题讲解由图(1)可知

2k

,

2k

；

由图(2)可知

2k

,

2k

.

高中数学例题讲解运用向量工具进行探索，过程多么简洁啊！于是

2k

,k

Z

.所以 cos(

)

cos

.∴

cos(

)

cos

cos

sin

sin

.高中数学a·b＝x1x2＋y1y2|a|＝x2

y21 1|a||b|cosθ＝

a·b

＝x1x2＋y1y2x2＋