人教A版（2019）高中数学必修第二册6.2.4向量的数量积-第一课时【课件】

6.2.4平面向量的数量积（第一课时）学习目标1通过物理中功等实例的抽象，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积；会指出两个具体向量的夹角并掌握两个向量夹角的范围，会画出两个向量的夹角；通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义；掌握向量数量积的重要性质，并能运用性质解决相关问题.学习重点与难点1学习重点：平面向量数量积的概念、平面向量投影的概念以及投影向量的意义.学习难点：平面向量投影向量的意义.情境引入前面我们已经学习了向量的加法、减法运算.类比数的运算，向量能否相乘呢？如果能，那么向量的乘法该怎样定义呢？数加法减法乘法向量加法减法？？情境引入初中物理课中我们学过功的概念．请大家写出物理中功的计算公式．力与物体位移不共线时，力对物体做功该如何计算呢？通过功的计算公式，得出的结果是什么量？情境引入物理课中功的概念：如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么所做的功w

=

|F||s|cos8，其中θ是F与s的夹角．功是一个标量，是一个数，它由力和位移两个向量来确定．这给我们一种启示，能否把“功”看成是两个向量“相乘”的结果呢？受此启发，我们引入向量“数量积”的概念．因为力做功的计算公式中涉及力与位移的夹角，所以我们先来定义向量夹角概念．概念讲解---向量的夹角已知两个非零向量a,b，O是平面上的任意一点，作O5

=

a，O5

=

b，则∠AOB＝θ(0≤

θ≤π)叫做向量a与b的夹角．显然，当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向．2如果a与b的夹角是π，我们说a与b垂直，记作a⊥b．ACBACB概念讲解---向量的夹角如图，

在Δ

ABC

中，你能指出向量55与55所成的角吗？向量55与

55所成的角？D概念讲解---向量的数量积已知两个非零向量a与b

，它们的夹角为

θ

，我们把数量|a||b|cos8叫做向量

a与b的数量积（或内积），记作a·b，即a·b

=|a||b|cos8．规定：零向量与任一向量的数量积为0．对比向量的加减法，两个向量的数量积是向量还是数量？与哪些量有关？（1）两个向量的数量积是一个数量；（2）这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关．3例1 已知|a|

=

5，|b|

=

4，a与b的夹角8

=

2π，求a·b．解：a·b

=|a||b|cos8＝５×４×cos2π＝５×４×(−

1)3 2＝－10．概念应用概念应用例2

设|a|

=

15，|b|

=

9，a·b

=−

54

5,求a与b的夹角8．|a||b|15×95a·b =

−54 5

=− 5.解：由a·b

=

|a||b|cos8得cos8

=又因为θ∈[0，π]，4所以8

=

3π．概念讲解---投影向量回想一下，力与物体位移共线时，如何计算功？力与物体位移不共线时，如何转化为共线的情况计算功？设a

，

b

是两个非零向量，

55

=

a

，55

=

b我们考虑如下的变换：过55的起点A和终点

B，分别作55所在直线的垂线，垂足分别为51,

51

，得到5151

，我们称上述变换为向量a向向量b投影，5151叫做向量a在向量b上的投影向量．投影向量的几何意义如图，我们可以在平面内任取一点O，作O5

=

a，O5

=

b．过点M作直线ON的垂线，垂足为51，则O51就是向量a在向量b上的投影向量．投影向量的几何意义如图，设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，那么O51与e,a,θ之间有怎样的关系？显然，O51与e共线，于是O51

=

λe．下面我们探究λ与a，θ的关系，进而给出

O51的明确表达式．我们分θ为锐角、直角、钝角以及θ＝０,θ＝π等情况进行讨论．投影向量的几何意义当θ为锐角时，

O51与e方向相同，λ＝|O51|=

|a|cos8，所以O51

=

|O51|e

=

|a|cos8e；当θ为直角时，λ＝０，2所以

O51 =0=|a|cosπ

e；投影向量的几何意义当θ为钝角时，

O51与e方向相反，所以λ＝−|O51|=−

|a|cos∠5O51=−|a|cos(π−8)=|a|cos

8,所以O51

=

|a|cos8e．当θ＝０时，λ=

|a|，所以O51

=

|a|e

=

|a|cos0e.当θ＝π时，λ=−|a|，所以O51

=−|a|e

=

|a|cosπe.投影向量的几何意义O51=

|a|cos8eπO51 =|a|cos2

eO51=

|a|cos8e当θ＝０时，O51

=

|a|cos0e当θ＝π时，O51

=

|a|cosπeO51 =

|a|c418e重要性质从上面的探究我们看到，两个非零向量a与b相互平行或垂直时，向量a在向量b上的投影向量具有特殊性．这时，它们的数量积又有怎样的特殊性？由向量数量积的定义，可以得到向量数量积的如下重要性质．重要性质设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则（1）a·e=e·a=

|a|cos8．（2）a⊥b⟺a·b=

０．（3）当a与b同向时，a·b

=

|a||b|;当a与b反向时，a·b

=−

|a||b|．特别地，

a·a

=

|a|5或|a|

= a∙

a．（4）|a·b|≤|a||b|．a·b=

|a||b|cos8|a·b|=

||a||b|cos8||=

|a||b||cos8|≤|a||b|．课堂小结向量a与b的夹角向量

a与b的数量积：a·b

=

|a||b|cos8向量a

在向量b上的投影向量：O51=

|a|c418ee是与b

方向相同的单位向量向量

a与b的数量积的重要性质课堂小结4．向量

a与b的数量积的重要性质：（1）a·e=e·a=

|a|cos8．（2）a⊥b⟺a·b=

０．（3）当a与b同向时，a·b

=

|a||b|;当a与b反向时，a·b

=−|a||b|．a·a

=

|a|5或|a|

= a∙

a．（4）|a·b|≤|a||b|．课后作业练习1已知|p|

=

8，|q|

=

6，p与q的夹角8

=

π，求p·q．练习2

设|a|

=

1，|b|

=

5，a·b

=−33,求a与b的夹角8．练习3已知