2020年中考数学一轮复习：《几何变换综合大题》专项练习题(含答案)资料

第第页2020年中考数学一轮复习：《几何变换综合大题》专项练习题1．如图1，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE．（1）若C，D，E三点在同一直线上，连接BD交AC于点F，求证：△BAD≌△CAE．（2）在第（1）问的条件下，求证：BD⊥CE；（3）将△ADE绕点A顺时针旋转得到图2，那么第（2）问中的结论是否依然成立？若成立，请证明你的结论：若不成立，请说明理由．2．如果两个角之差的绝对值等于45°，则称这两个角互为“半余角”，即若|∠α﹣∠β|＝45°，则称∠α、∠β互为半余角．（注：本题中的角是指大于0°且小于180°的角）（1）若∠A＝80°，则∠A的半余角的度数为；（2）如图1，将一长方形纸片ABCD沿着MN折叠（点M在线段AD上，点N在线段CD上）使点D落在点D′处，若∠AMD′与∠DMN互为“半余角”，求∠DMN的度数；（3）在（2）的条件下，再将纸片沿着PM折叠（点P在线段BC上），点A、B分别落在点A′、B′处，如图2．若∠AMP比∠DMN大5°，求∠A′MD′的度数．3．知识背景我们在第十一章《三角形》中学习了三角形的边与角的性质，在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在第十三章《轴对称》中学习了等腰三角形的性质和判定．在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题．问题：如图1，△ABC是等腰三角形，∠BAC＝90°，D是BC的中点，以AD为腰作等腰△ADE，且满足∠DAE＝90°，连接CE并延长交BA的延长线于点F，试探究BC与CF之间的数量关系．发现：（1）BC与CF之间的数量关系为．探究：（2）如图2，当点D是线段BC上任意一点（除B、C外）时，其他条件不变，试猜想BC与CF之间的数量关系，并证明你的结论．拓展：（3）当点D在线段BC的延长线上时，在备用图中补全图形，并直接写出△BCF的形状．4．已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，△AOB的顶点A的坐标为（0，4），顶点B在x轴上（点B在点O的右侧），点C在AB上，连接OC，且BC＝OC．（1）如图1，求点C的纵坐标；（2）如图2，点D在x轴上（点D在点O的左侧），点F在AC上，连接DF交OA于点E，若∠ACO+∠DEO＝2∠AFE，求证，DE＝2EO；（3）如图3，在（2）的条件下，AG是△AOB的角平分线，点M与点B关于y轴对称，过点M作MP⊥AG，MP分别交AO，AC于点N，P，若DE＝AB，EN＝PC，求点E的坐标．5．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A（0，3）与点B关于x轴对称，点C（n，0）为x轴的正半轴上一动点．以AC为边作等腰直角三角形ACD，∠ACD＝90°，点D在第一象限内．连接BD，交x轴于点F．（1）如果∠OAC＝38°，求∠DCF的度数；（2）用含n的式子表示点D的坐标；（3）在点C运动的过程中，判断OF的长是否发生变化？若不变求出其值，若变化请说明理由．6．综合与探究：（1）操作发现：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以点C为中心，把△ABC顺时针旋转90°，得到△A1B1C；再以点A为中心，把△ABC逆时针旋转90°，得到△AB2C1．连接A1C1．则A1C1与AC的位置关系为平行；（2）探究证明：如图2，当△ABC是锐角三角形，∠ACB＝a（a≠60°）时，将△ABC按照（1）中的方式，以点C为中心，把△ABC顺时针旋转a，得到△A1B1C；再以点A为中心，把△ABC逆时针旋转a，得到△AB2C1．连接A1C1，①探究AC1与BC的位置关系，写出你的探究结论，并加以证明；②探究A1C1与AC的位置关系，写出你的探究结论，并加以证明．7．在平面直角坐标系中，已知AO＝AB＝5，B（6，0）．（1）如图1，求sin∠AOB的值；（2）把△OAB绕着点B顺时针旋转，点O、A旋转后对应的点分别为M、N．①当M恰好落在BA的延长线上时，如图2，求出点M、N的坐标；②若点C是OB的中点，点P是线段MN上的动点，如图3，在旋转过程中，请直接写出线段CP长的取值范围．8．已知，如图1，在△ABC中，AB⊥BC，AB＝2，AC＝10，若D为AC的中点，DG⊥AC交BC与点G．（1）求CG的长；（2）如图2，E点为射线BA上一动点，连接DE，线段DE绕点D顺时针旋转90°交直线BC与点F；④若AE＝时，求CF的长；②如图3，连接EF交直线DG与点M，当△EDM为等腰三角形时，求GF的长．9．已知：在平面直角坐标系中，点A（﹣3，0），点B（﹣2，3）．（1）在图①中的y轴上求作点P，使得PA+PB的值最小；（2）若△ABC是以AB为腰的等腰直角三角形，请直接写出点C的坐标；（3）如图②，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点D（不与点A重合）是x轴上一个动点，点E是AD中点，连结BE，把BE绕着点E顺时针旋转90°得到FE（即∠BEF＝90°，BE＝FE），连结BF、CF、CD，试猜想∠FCD的度数，并给出证明．10．如图，∠MON＝α（0＜α＜90°），A为OM上一点（不与O重合），点A关于直线ON的对称点为B，AB与ON交于点C，P为直线ON上一点（不与O，C重合）将射线PB绕点P顺时针旋转β角，其中2α+β＝180°，所得到的射线与直线OM交于点Q．（1）如图1，当α＝45°时，此时β＝90°，若点P在线段OC的延长线上．①依题意补全图形．②连接PA，求证PA＝PQ；（2）如图2，当α＝60°，点P在线段CO的延长线上时，设PO＝p•OC，QA＝q•OC，求|p﹣q|的值．11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点O是斜边AB的中点，将边长足够大的三角板的直角顶点放在点O处，将三角板绕点O顺时针旋转一个角度α（0°＜α＜90°），记三角板的两直角边与Rt△ABC的两腰AC、BC的交点分别为E、D，四边形CEOD是旋转过程中三角板与△ABC的重叠部分（如图①所示）．那么，在上述旋转过程中：​（1）线段CE与BD具有怎样的数量关系？四边形CEOD的面积是否发生变化？证明你发现的结论；（2）当三角尺旋转角度为时，四边形CEOD是矩形；（3）若三角尺继续旋转，当旋转角度α（90°＜α＜180°）时，三角尺的两边与等腰Rt△ABC的腰CB和AC的延长线分别交于点D、E（如图②所示）．那么线段CE与BD的数量关系还成立吗？若成立，给予证明；若不成立，请说明理由．12．在△ABC中，AB＝AC，在△ABC的外部作等边三角形△ABD，E为AB的中点，连接DE并延长交BC于点F．（1）如图1，若∠BAC＝90°，连接CD，求证：CD平分∠ADF；（2）如图2，过点A折叠∠CAD，使点C与点D重合，折痕AM交EF于点M，若点M正好在∠ABC的平分线上，连接BM并延长交AC于点N，课堂上两个学习小组分别得出如下两个结论：①∠BAC的度数是一个定值，为100°；②线段MN与NC一定相等．请你选择其中一个结论，判断是否正确？若正确，给予证明：若不正确，说明理由．13．如图1，△ABC和△DEF是两块可以完全重合的三角板，∠BAC＝∠EDF＝90°，∠ABC＝∠DEF＝30°．在图1所示的状态下，△DEF固定不动，将△ABC沿直线n向左平移．（1）当△ABC移到图2位置时，连接AF、DC，求证：AF＝DC；（2）如图3，在上述平移过程中，当点C与EF的中点重合时，直线n与AD有什么位置关系，请写出证明过程．14．“我们应该讨论一般化、特殊化和类比这些过程本身，他们是获得发现的伟大源泉”﹣﹣乔治•波利亚．（1）观察猜想如图1，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°．点D在AC上，点E在BC上，且CD＝CE．则BE与AD的数量关系是，直线BE与直线AD的位置关系是；（2）拓展探究如图2，在△ABC和△CDE中，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°．则BE与AD的数量关系怎样？直线BE与直线AD的位置关系怎样？请说明理由；（3）解决问题如图3，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，BD是△ABC的角平分线，点M是AB的中点．点P在射线BD上，连接PM，以点M为中心，将PM逆时针旋转90°，得到线段MN，请直接写出点A，P，N在同一条直线上时∠CPM的值．15．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，E是AB边上一点，D是AC边上一点，且点D不与A、C重合，ED⊥AC．（1）当sinB＝时，①求证：BE＝2CD；②当△ADE绕点A旋转到如图2的位置时（45°＜∠CAD＜90°）．BE＝2CD是否成立？若成立，请给出证明；若不成立．请说明理由．（2）当sinB＝时，将△ADE绕点A旋转到∠DEB＝90°，若AC＝10，AD＝2，求线段CD的长．

参考答案1．解：（1）∵∠BAC＝∠DAE＝90°∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD即∠BAD＝∠CAE∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS）；（2）由（1）知，△BAD≌△CAE，∴∠ABD＝∠ACE，∵∠BAC＝90°，∴∠ABD+∠AFB＝90°，∵∠AFB＝∠CFD，∴∠ACE+∠CFD＝90°，∴∠CDF＝90°，∴BD⊥CE；（3）BD⊥CE仍然成立，理由：如图2，延长BD交CE于点M，交AC于点F，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵∠BAC＝90°∴∠ABD+∠AFB＝90°，∵∠AFB＝∠CFM，∴∠CMF＝90°，∴BD⊥CE．2．解：（1）设∠A的半余角的度数为为α，根据互为半余角的定义得，|80°﹣α|＝45°，∴α＝35°或α＝125°，故答案为35°或125°；（2）由折叠知，∠DMN＝∠D'MN，∵∠AMD′与∠DMN互为“半余角”，∴|∠AMD'﹣∠DMN|＝45°，∴∠AMD'﹣∠DMN＝±45°，当∠AMD'﹣∠DMN＝45°时，∴∠AMD'＝∠DMN+45°，∵∠AMD'+∠D'MN+∠DMN＝180°，∴∠DMN+45°+∠DMN+∠DMN＝180°，∴∠DMN＝45°，当∠AMD'﹣∠DMN＝﹣45°时，∴∠AMD'＝∠DMN﹣45°，∵∠AMD'+∠D'MN+∠DMN＝180°，∴∠DMN﹣45°+∠DMN+∠DMN＝180°，∴∠DMN＝75°；（3）由（2）知，∠DMN＝45°或75°，∵∠AMP比∠DMN大5°，∴∠AMP＝45°+5°＝50°或75°+5°＝80°，由折叠知，∠A'MP＝∠AMP＝50°或80°，∴∠AMA'＝100°或160°，由（2）知，∠DMN＝45°或75°，∴∠AMD'＝180°﹣2×45°＝90°或180°﹣2×75°＝30°，∴∠A'MD'＝10°或160°﹣30°＝130°．3．解：（1）BC＝CF．理由：∵△ABC是等腰三角形，且∠BAC＝90°，∴AB＝AC，∠B＝∠ACB＝45°．∵∠DAE＝90°，∴∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE﹣∠DAC＝∠BAC﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠CAE．∵△ADE是以AD为腰的等腰三角形，∴AD＝AE．在△ABD与△ACE中，AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ACE＝∠B＝45°．∵∠ACB＝45°，∴∠BCF＝∠ACB+∠ACE＝90°，∴∠B+∠F＝90°，∴∠F＝45°，∴∠B＝∠F，∴BC＝CF．故答案为：BC＝CF；（2）BC＝CF．理由：∵△ABC是等腰三角形，且∠BAC＝90°，∴AB＝AC，∠B＝∠ACB＝45°．∵∠DAE＝90°，∴∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE﹣∠DAC＝∠BAC﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠CAE．∵△ADE是以AD为腰的等腰三角形，∴AD＝AE．在△ABD与△ACE中，AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ACE＝∠B＝45°．∵∠ACB＝45°，∴∠BCF＝∠ACB+∠ACE＝90°，∴∠B+∠F＝90°，∴∠F＝45°，∴∠B＝∠F，∴BC＝CF．（3）△BCF是等腰直角三角形．理由：如备用图，∵△ABC是等腰三角形，∠BAC＝90°，∴AB＝AC，∠B＝∠ACB＝45°．∵∠DAE＝90°，∴∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE+∠DAC＝∠BAC+∠DAC，∴∠BAD＝∠CAE．∵△ADE是以AD为腰的等腰三角形，∴AD＝AE．在△ABD与△ACE中，AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ACE＝∠B＝45°．∵∠ACB＝45°，∴∠BCF＝∠ACB+∠ACE＝90°，∴∠B+∠BFC＝90°，∴∠BFC＝45°，∴∠B＝∠BFC，∴△BCF是等腰三角形，∵∠BCF＝90°，∴△BCF是等腰直角三角形．4．解：（1）如图1，过点C作CK⊥OA于K，∵BC＝OC，∴∠BOC＝∠CBO，∵∠AOC+∠BOC＝90°，∠OAC+∠CBO＝90°，∴∠AOC＝∠OAC，∴AC＝OC，∴OK＝AK＝OA＝2，∴点C的纵坐标为2；（2）如图2，在y轴负半轴上取一点R，使OR＝OE，连接DR，∵∠ACO+∠DEO＝2∠AFE，∴∠BOC+∠CBO+∠DEO＝2（∠CBO+∠ODE），∴∠DEO＝2∠ODE，∵∠DEO+∠ODE＝90°，∴∠DEO＝60°，∵OR＝OE，OD⊥ER，∴DE＝DR，∴△DER是等边三角形，∴DE＝ER＝2OE；（3）如图3，连接BN，过点B作BT∥PN交y轴于T，∵DE＝AB，DE＝2OE，AB＝2AC，∴OE＝AC，∵EN＝PC，∴AP＝ON∵∠ANP+∠NAG＝90°，∠APN+PAG＝90°，∠NAG＝∠PAG，∴∠ANP＝∠APN，∴AN＝AP，∴AN＝ON＝OA＝2，∵点M与点B关于y轴对称，∴MN＝BN，NO⊥BM，∴∠BNO＝∠MNO＝∠ANP，∵BT∥PN，∴∠BTN＝∠ANP＝∠BNO，∠ABT＝∠APN，∴∠ABT＝∠BTN，∴AB＝AT，∵BN＝BT，BO⊥NT，∴OT＝ON＝2，∴AT＝6，∴AB＝DE＝6，由（2）知，DE＝2OE，∴OE＝3，∵点E在y轴上，且在点O上方，∴E（0，3）．5．解：（1）∵∠AOC＝90°，∴∠OAC+∠ACO＝90°，∵∠ACD＝90°，∴∠DCF+∠ACO＝90°，∴∠DCF＝∠OAC，∵∠OAC＝38°，∴∠DCF＝38°；（2）如图，过点D作DH⊥x轴于H，∴∠CHD＝90°∴∠AOC＝∠CHD＝90°，∵等腰直角三角形ACD，∠ACD＝90°∴AC＝CD，由（1）知，∠DCF＝∠OAC，∴△AOC≌△CHD（AAS），∴OC＝DH＝n，AO＝CH＝3，∴点D的坐标（n+3，n）；（3）不会变化，理由：∵点A（0，3）与点B关于x轴对称，∴AO＝BO，又∵OC⊥AB，∴x轴是AB垂直平分线，∴AC＝BC，∴∠BAC＝∠ABC，又∵AC＝CD，∴BC＝CD，∴∠CBD＝∠CDB，∵∠ACD＝90°，∴∠ACB+∠DCB＝270°，∴∠BAC+∠ABC+∠CBD+∠CDB＝90°，∴∠ABC+∠CBD＝45°，∵∠BOF＝90°，∴∠OFB＝45°，∴∠OBF＝∠OFB＝45°，∴OB＝OF＝3，∴OF的长不会变化．6．（2）解：①结论：AC1∥BC．理由如下：由旋转的性质，知∠CAC1＝a．又∵∠ACB＝a，∴∠CAC1＝∠ACB，∴AC1∥BC；②结论：A1C1∥AC，理由如下：过点A1作A1E∥AC1交AC于点E．如图2所示：则∠A1EC＝∠CAC1＝a，由旋转的性质得：∠A1CA＝∠CAC1＝a，A1C＝AC1，∴∠A1EC＝∠A1CA＝a，∴A1E＝A1C，∴A1E＝AC1，∴四边形AEA1C1是平行四边形，∴A1C1∥AC．7．解：（1）如图1中，作AH⊥OB于H．∵AO＝AB＝5，B（6，0），AH⊥OB，∴OH＝HB＝3，∴AH＝＝＝4，∴sin∠AOB＝＝．（2）①如图2中，作ME⊥OB于E．∵AOB＝∠ABO，∴sin∠ABO＝sin∠AOB＝，∴＝，∴EM＝，∴EB＝＝＝，∴OE＝OB﹣EB＝6﹣＝，∴M（，），∵∠NMB＝∠AOB＝∠ABO，∴MN∥OB，∵MN＝OA＝5，∴N（，）．②如图3中，连接BP．∵点D为线段OA上的动点，OA的对应边为MN∴点P为线段MN上的动点∴点P的运动轨迹是以B为圆心，BP长为半径的圆∵C在OB上，且CB＝OB＝3∴当点P在线段OB上时，CP＝BP﹣BC最短；当点P在线段OB延长线上时，CP＝BP+BC最如图2，当BP⊥MN时，BP最短∵S△NBM＝S△ABO，MN＝OA＝5∴MN•BP＝OB•yA∴BP＝＝，∴CP最小值＝﹣3＝，当点P与M重合时，BP最大，BP＝BM＝OB＝6∴CP最大值＝6+3＝9∴线段CP长的取值范围为≤CP≤98．解：（1）∵AB⊥AC，DG⊥AC，∴∠B＝∠CDG＝90°，∵∠ACB＝∠GCD，∴△ACB∽△GCD，∴，∵点D是AC的中点，∴CD＝AC＝5，根据勾股定理得，BC＝4，∴，∴CG＝；（2）①Ⅰ、当点E在线段AB上时，∵AB＝，AB＝2，∴点E是AB的中点，∵点D是AC的中点，∴DE∥BC，∵AB⊥BC，DE⊥DF，∴DF⊥BC，∴BF∥AB，∵点D是AC中点，∴点F是BC的中点，∴CF＝BC＝2；Ⅱ、当点E在BA的延长线上时，如图1，∵点D是AC的中点，AC＝10，∴AD＝AC＝5，由（1）知，△BAC∽△DGC，∴∠CGD＝∠CAB，，∴DG＝＝，∠FGD＝∠EAD，∵GD⊥AC，ED⊥DF，∴∠FDG＝∠EDA，∴△FDG∽△EDA，∴，∴FG＝＝，∴CF＝CG+FG＝3；②由①知，△FDG∽△EDA，∴＝，∴tan∠FED＝，∵tan∠ACB＝＝，∴∠FED＝∠ACB，∵DE⊥DF，DG⊥AC，∴∠ADG＝∠EDF＝90°，∴∠MDE＝∠FDC，∴△MED∽△FDC，∵△EDM是等腰三角形，∴△FCD是等腰三角形，Ⅰ、当FD＝FC时，点E在AB的延长线上，不符合题，舍去，Ⅱ、当CD＝CF时，CF＝CD＝5，∴GF＝CG﹣CF＝﹣5；当CD＝DF时，DF＝CD＝5，∴DF＝AC，∴点F与点B重合，∴GF＝BC﹣CG＝；9．解：（1）如图①﹣1中，点P即为所求．（2）如图①﹣2中，满足条件的点C1（1，2），C2（0，﹣1），C3（﹣5，4），C4（﹣6，1）．（3）猜想∠FCD＝45°①当点D运动到点A右侧时，如图②中，延长FE至G，使EG＝EF，连结AG，BG，BF．在△FED和△GEA中∵EF＝EG，∠FED＝∠GEA，ED＝EA∴△FED≌△GEA（SAS）∴FD＝AG，∠EFD＝∠EGA∵∠BEF＝90°∴BE⊥EF∵BE＝FE，FE＝EG∴△GBF是等腰直角三角形，∴∠BGF＝∠BFG＝45°，∠GBF＝90°，BG＝BF∵∠ABC＝90°∴∠ABC＝∠GBF，即∠ABG+∠GBC＝∠CBF+GBC∴∠ABG＝∠CBF在△ABC和△CBF中∵AB＝BC，∠ABG＝∠CBF，BG＝BF∴△ABG≌△CBF（SAS）∴AG＝CF，∠AGB＝∠CFB∵FD＝AG∴CF＝FD∵FD＝AG∴CF＝FD∵∠AGB＝AGE﹣BGE∴∠AGB＝∠EFD＝45°∠CFD＝∠CFE+∠EFD＝∠GFB﹣∠BFC+AGE＝45°﹣∠AGB+∠AGB+∠BGE＝45°+45°＝90°∵CF＝FD∴△CFD是等腰直角三角形，∠FCD＝45°②当点D运动到点A左侧时，同理可证，∠FCD＝45°综上所述，∠FCD＝45°10．（1）①解：图形如图所示：②证明：∵点A，点B关于ON对称∴PA＝PB，∵PB＝PQ，∴PA＝PQ．（2）AQ＝4OC+OP理由如下：在OQ上截取OD＝OP，连接BO，PD，BQ，∵∠MON＝α＝60°，且点A关于直线ON的对称点为B，∴∠BON＝∠MON＝∠POQ＝60°，AO＝BO，CO⊥AB，∴∠BOQ＝60°，∠CAO＝30°，∴AO＝2CO，∵旋转，∴∠BPQ＝β＝180°﹣2α＝60°，∴∠BOQ＝∠BPQ＝60°，∴点B，点Q，点P，点O四点共圆，∴∠PBQ＝∠POQ＝60°，∠PBO＝∠OQP，∴△PBQ是等边三角形，∴PB＝PQ，∵OD＝OP，∠QOP＝60°，∴△ODP是等边三角形，∴∠ODP＝∠DOP＝60°，∴∠BOP＝∠PDQ＝120°，且BP＝PQ，∠OBP＝∠OQP，∴△BOP≌△QDP（AAS），∴DQ＝OB，∴DQ＝OA＝2OC，∴AQ＝AO+OQ＝2CO+OD+PQ＝4OC+OP，∴QA﹣OP＝4OC，∵PO＝p•OC，QA＝q•OC，∴（q﹣p）OC＝4OC，∴|p﹣q|＝4．11．（1）解：结论：CE＝BD，四边形CEOD的面积不变．如图，连接OC．∵AC＝BC，AO＝BO，∠ACB＝90°，∴∠ACO＝∠BCO＝∠ACB＝45°，OC⊥AB，∠A＝∠B＝45°，∴OC＝OB，∵∠EOD＝90°，∴∠COE+∠COD＝90°又∵OC⊥AB，∴∠BOD+∠COD＝90°，∴∠BOD＝∠COE，在△OCE和△OBD中，，∴△OCE≌△OBD，∴CE＝BD，∴S△OCE＝S△OBD，∵S四边形CDOE＝S△OCD+S△OCE＝S△OCD+S△OBD＝S△BOC＝S△ABC．∴四边形CEOD的面积不变，始终等于Rt△ABC面积的一半．（2）当三角尺旋转角度为45°时，四边形CEOD是矩形；理由：∵∠AOE＝∠COE＝∠ECO＝45°，∴∠CEO＝∠ECD＝∠EOD＝90°，∴四边形CEOD是矩形．故答案为45°．（3）结论：成立．证明：如图，连接OC．∵AC＝BC，AO＝BO，∠ACB＝90°，∴∠ACO＝∠BCO＝∠ACB＝45°，OC⊥AB，∠A＝∠B＝45°，∴OC＝OB，∠OCE＝∠OBD＝135°，∵∠EOD＝90°，∴∠BOD+∠BOE＝90°，又∵OC⊥AB∠COE+∠BOE＝90°，∴∠BOD＝∠COE，在△OCE和△OBD中，，∴△OCE≌△OBD，∴CE＝BD．12．证明：（1）∵△ABD是等边三角形，且E为AB的中点，∴DE⊥AB，AB＝AD，∵AB＝AC，∴AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACD，∵∠BAC＝90°，∴AC∥DE，∴∠ACD＝∠FDC，∴∠ADC＝∠FDC，∴CD平分∠ADF；（2）①∵△ABD是等边三角形，且E为AB的中点，∴DE垂直平分AB，∴AM＝BM，∴∠MAB＝∠MBA，∵BM平分∠ABC，∴∠MBA＝∠MBC，设MAB＝∠MBA＝∠MBC＝α，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝2α，由翻折知，∠MAC＝∠MAD＝∠DAB+∠MAB＝60°+α，∴在△ABC中，∠ABC+∠ACB+∠BAM+∠MAC＝2α+2α+α+60°+α＝180°，∴α＝20°，∴∠BAC＝∠BAM+∠MAC＝20°+60°+20°＝100°，∴∠BAC的度数是一个定值，为100°；②如图2﹣1，连接MC，由①知，α＝20°，∠BAC＝100°，∴∠ABC＝∠ACB＝40°，由①知，DE垂直平分AB，∵DA＝DB，∠ADB＝60°，∴∠ADE＝∠BDE＝30°，由翻折知，△ADM≌△ACM，∴∠ACM＝∠ADM＝30°，∴∠BCM＝∠ACB﹣∠ACM＝10°，∴∠NMC＝∠MBC+∠MCB＝20°+10°＝30°，∴∠NMC＝∠NCM，∴MN＝NC．13．证明：（1）∵△ABC≌△DEF，∴AB＝DE，∠ABC＝∠DEF，BC＝EF，∵BC﹣FC＝EF﹣FC，∴BF＝EC，在△ABF和△DEC中，∵AB＝DE，∠ABF＝∠DEC，BF＝EC，∴△ABF≌△DEC（SAS），∴AF＝DC；（2）直线n垂直平分AD．理由：如图，连接AD，∵在Rt△DEF中，∠DEF＝30°，∴，∵点C是EF的中点，∴DF＝FC，∵∠DFC＝60°，∴△DFC是等边三角形，∴∠FCD＝60°，DC＝DF，∵∠ACF＝60°，AC＝DF，∴∠ACF＝∠FCD＝60°，AC＝DC，∴CO是等腰三角形ACD的角平分线，即CO也是等腰三角形ACD的底边AD上的高和中线，因此直线n垂直平分AD．14．解：（1）∵AC＝BC，CD＝CE，∴BE＝AD，∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∴BE⊥AD．（2）BE＝AD，BE⊥AD，理由如下：延长BE交AD交于点F．如图2所示：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，在△BCE