2022-2023学年江苏省南通市如皋市高三上学期期初调研数学试题及答案

2022-2023学年江苏省南通市如皋市高三上学期期初调研数学试题及答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.声音是由物体振动产生的声波，我们听到的声音中包含着正弦函数．若某声音对应的函数可近似为，则下列叙述正确的是（）A.为的对称轴 B.为的对称中心C.在区间上有3个零点 D.在区间上单调递增【答案】D【解析】【分析】利用知关于直线对称的性质验证A；求得可判断B；化简，令，得，进而判断C；利用导数研究函数的单调性可判断D.【详解】对于A，由已知得，即，故不关于对称，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，利用二倍角公式知，令得或，即，所以该函数在区间内有4个零点，故C错误；对于D，求导，令，由，知，即，利用二次函数性质知，即，可知在区间上单调递增，故D正确；故选：D.2.已知是定义在上的增函数，且恒有，则“”是“恒成立”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】令，由题可求得，得出，因为恒成立等价于对恒成立，利用导数求出的最大值即可判断.【详解】令，则．是增函数且，，对恒成立．令，，当时，，单调递增；当时，，单调递减；，．是的必要不充分条件．故选：B．【点睛】关键点睛：本题考查必要不充分条件的判断，解题的关键是求出，将恒成立等价于对恒成立，利用导数求最值.3.如果对一切正实数，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将不等式cos2x≥asinx恒成立转化为asinx+1﹣sin2x恒成立，构造函数f（y），利用基本不等式可求得f（y）min＝3，于是问题转化为asinx﹣sin2x≤2恒成立．通过对sinx＞0、sinx＜0、sinx＝0三类讨论，可求得对应情况下的实数a的取值范围，最后取其交集即可得到答案．【详解】解：∀实数x、y，不等式cos2x≥asinx恒成立⇔asinx+1﹣sin2x恒成立，令f（y），则asinx+1﹣sin2x≤f（y）min，∵y＞0，f（y）23（当且仅当y＝6时取“＝”），f（y）min＝3；所以，asinx+1﹣sin2x≤3，即asinx﹣sin2x≤2恒成立．①若sinx＞0，a≤sinx恒成立，令sinx＝t，则0＜t≤1，再令g（t）＝t（0＜t≤1），则a≤g（t）min．由于g′（t）＝10，所以，g（t）＝t在区间（0，1]上单调递减，因此，g（t）min＝g（1）＝3，所以a≤3；②若sinx＜0，则a≥sinx恒成立，同理可得a≥﹣3；③若sinx＝0，0≤2恒成立，故a∈R；综合①②③，﹣3≤a≤3．故选：D．【点睛】本题考查恒成立问题，将不等式cos2x≥asinx恒成立转化为asinx+1﹣sin2x恒成立是基础，令f（y），求得f（y）min＝3是关键，也是难点，考查等价转化思想、分类讨论思想的综合运用，属于难题．4.黄金分割〔〕是一种数学上比例关系.黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值.应用时一般取，就像圆周率在应用时取一样.高雅的艺术殿堂里，自然也留下了黄金数的足迹.人们还发现，一些名画、雕塑、摄影作品的主题，大多在画面的处.艺术家们认为弦乐器的琴马放在琴弦的处，能使琴声更加柔和甜美.黄金矩形的长宽之比为黄金分割率，换言之，矩形的长边为短边倍.黄金分割率和黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦.在很多艺术品以及大自然中都能找到它.希腊雅典的巴特农神庙就是一个很好的例子，达芬奇的《维特鲁威人》符合黄金矩形.《蒙娜丽莎》中蒙娜丽莎的脸也符合黄金矩形，《最后的晚餐》同样也应用了该比例布局.2000多年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金分割.所谓黄金分割，指的是把长为L的线段分为两部分，使其中一部分对于全部之比，等于另一部分对于该部分之比，黄金分割比为其实有关“黄金分割”，我国也有记载，虽没有古希腊的早，但它是我国数学家独立创造的.如图，在矩形中，，相交于点，，，，，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用平面向量的线性运算和平面向量基本定理即可求解．【详解】解：，显然，，所以，，，，故选：D．5.在中，，，过的外心O的直线(不经过点)分别交线段于，且，，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】求得，外接圆的半径，设，，，根据，结合和三点共线，得到，进而求得，利用基本不等式和函数的性质，即可求得取值范围.【详解】因为中，，由余弦定理可得，即，且，设，则，，所以，同理可得，，解得，所以，又因为，，所以，因为三点共线，可得，因为，所以，所以，同理可得，所以所以，设，可得，令，可得，令，解得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以当时，取得最小值，最小值；又由，，可得，所以当时，取得最大值，最大值为，所以的取值范围是.故选：B.6.､､是等腰直角三角形（）内的点，且满足，，，则下列说法正确的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意画出图形，结合图形分别计算，和的值，再比较大小【详解】

(正弦定理)

在的角平分线上,同理可证在的角平分线上,

为内心如图所示由知,这三个角都是

且在的平分线上,延长交于点

取,则,

得,

所以

记的周长为由题意知是的内心,内切圆半径

所以

由,且

则

所以,即,则在以为直径的圆上

由,且

所以,得

由,得

所以

设,在中由余弦定理得解得所以所以故选:C7.已知，且，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】令，即可得到，，，利用导数说明在的单调性，再令，利用导数说明其单调性，即可得到，从而得到，即可得解；【详解】解：令，，所以，，，所以，因为，所以当时，即在上单调递减，令，，则，所以当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以在处取得极大值即最大值，，因为，所以，即，所以，故选：D8.已知数列满足0，且，则A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先取特殊值进行排除，再利用递推关系计算前6项，进行猜测结论并证明.详解】由,取特殊值：，，得：=，=，排除C、D；==，=>；且，，均小于，猜测，下面由图说明：当时，由迭代蛛网图：可得，单调递增，此时不动点为，当n时，，则有，.当时，由迭代蛛网图：可得，当n分别为奇数、偶数时，单调递增，且都趋向于不动点，由图像得，，综上可得，故选A.【点睛】本题考查了数列的递推关系的应用，涉及三角函数的运算，考查了由特殊到一般的思维方法，考查了分类讨论与数形结合思想，属于难题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.若数列满足：对，若，则，称数列为“鲤鱼跃龙门数列”.下列数列是“鲤鱼跃龙门数列”的有（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】举特例，可说明A不符合题意，同理可说明C不符合题意；依据“鲤鱼跃龙门数列”的定义，可说明B,D.【详解】对于A,不妨取，但，不满足，故A错误；对于B,,对，若,则，则,即，故B正确；对于C，不妨取，但，不满足，故C错误；对于D,,对，若,则，则，故，即，故D正确；故选：BD10.下列关于复数的命题中为虚数单位，说法正确的是（）A.若关于x的方程有实根，则B.复数z满足，则z在复平面对应的点位于第二象限C.是关于x的方程的一个根，其中p、q为实数，则D.已知，，且，则【答案】AC【解析】【分析】将方程整理可得求出，再代入计算可得，即可判断A，根据复数代数形式的除法运算化简复数，再根据复数解得几何意义判断B，根据虚根成对原理及韦达定理计算即可判断C，根据复数相等的充要条件判断D.【详解】解：对于A：关于的方程有实根，即，所以，解得，代入解得，故A正确；对于B：复数满足，所以，故在复平面对应的第四象限，故B错误；对于C：是关于的方程的一个根，其中、为实数，则也是方程的根，所以，所以，故C正确．对于D：若，且，由，可得，故D错误；故选：AC．11.中，为边上的一点，且满足，若为边上的一点，且满足，则下列结论正确的是（）A. B.的最大值为C.的最小值为 D.的最小值为【答案】BD【解析】【分析】根据平面向量共线定理可知A错误；根据，利用基本不等式可求得最大值，知B正确；由，利用基本不等式可求得最小值，知C错误；利用基本不等式可得，知D正确.【详解】对于A，，三点共线，，A错误；对于B，，（当且仅当时取等号），B正确；对于C，（当且仅当，即时取等号），C错误；对于D，（当且仅当时取等号），D正确.故选：BD.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：一正二定三相等.（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.12.已知函数，则（）A.是以为周期的周期函数B.直线是图象的一条对称轴C.的值域为D.在上单调递增【答案】ACD【解析】【分析】由指数函数与三角函数的性质对选项逐一判断【详解】对于，因为，所以是以为周期的周期函数，故A正确；对于B，，设，由，解得，故B错误，对于C，值域为，则的值域为，故C正确；对于D，，由，解得，所以在上单调递减，所以在区间上单调递增，故D正确．故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若向量，，则与共线的单位向量的坐标是______.【答案】和【解析】【分析】由题意可求出，则可写出与共线的单位向量的坐标.【详解】因为，，所以，所以与共线的单位向量的坐标为和.故答案为：和.14.已知是定义域为的函数，为奇函数，为偶函数，则______.【答案】0【解析】【分析】依题意可得关于直线对称、关于点对称且时周期为的周期函数，再求出、，即可得解.【详解】解：因为为偶函数，所以，所以，即，则关于直线对称，因为为奇函数，所以，所以的图象关于点对称，所以，则，所以是周期为的周期函数，由，即，所以为奇函数，又是定义域为的函数，所以，在中，令，所以，所以，在中，令，所以，所以，所以，所以.故答案为：15.设复数，，其中，若复数为实数，则______，的范围为______.【答案】①.②.##【解析】【分析】由已知，根据给的，先表示出，然后表示出，并根据数为实数，即可得到等式并根据的范围及可求解出；由已知，先表示出，然后直接计算，并根据的范围即可完成求解.【详解】因为，所以，所以，因为复数为实数，所以，即，所以，因，所以，因为，所以，因为，，所以，所以.故答案为：；.16.已知函数有三个零点，且有，则的值为________.【答案】12【解析】【分析】由得出，令，得出，利用导数得出的图象，由零点的个数，结合图象求解即可.【详解】若，则，即当时，可得，不成立，故等式两边同除以，得即令，则方程有两个不等的实根，，令，则，令，当时，，当或时，即函数在上单调递减，在，上单调递增，如下图所示函数有三个零点，由图可知，故答案为：【点睛】方法点睛：已知零点的个数求参数的范围一般思路：利用导数得出函数的简图，由交点的个数结合图象得出参数的范围.四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列的前项和为，且.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用，结合已知条件，即可容易求得通项公式；（2）根据（1）中所求，对数列进行裂项求和，即可求得.【小问1详解】当时，.当时，，因为当时，，所以.【小问2详解】因为，所以，故数列的前项和.18.已知、是方程的两个实数根.（1）求实数的值；（2）求的值；（3）若，求的值.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根据韦达定理及同角关系式即得；（2）根据同角关系式化简即得；（3）由题可得，然后利用二倍角公式即得.【小问1详解】因为、是方程的两个实数根，

由韦达定理得，

由，则，所以；【小问2详解】；【小问3详解】因为，所以

，

所以，

因为

，所以，，，

所以.19.将形如的符号称为二阶行列式，现规定二阶行列式的运算如下：．已知两个不共线的向量，的夹角为，，（其中），且．（1）若为钝角，试探究与能否垂直？若能，求出的值；若不能，请说明理由；（2）若，当时，求的最小值并求出此时与的夹角．【答案】（1）不可能垂直；理由见解析；（2）；．【解析】【分析】（1）根据题意得到，求得，即，进而化简，根据为钝角，即可得到结论；（2）因为，求得，由向量的模的运算公式，求得，得到当时，，得出，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1）由题意，因为，可得，解得，即，则，所以，因为为钝角，所以，故，所以与不可能垂直．（2）因为，所以，所以，当时，，所以，此时，因为，所以，又因为，所以．20.已知等差数列的首项为，公差为，在中每相邻两项之间都插入两个数，使它们和原数列的项一起构成一个新的等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）若，，…，，…是从中抽取的部分项按原来的顺序排列组成的一个等比数列，，，令，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设数列的首项为，公差为d，根据在中每相邻两项之间都插入两个数，使它们和原数列的项一起构成一个新的等差数列，求得首项和公差，即可得解；（2）根据题意可求得等比数列的公比，从而得到，又，即可求得，从而可求得数列的通项，再利用错位相减法即可得出答案.【详解】解：（1）设数列的首项为，公差为d，则，所以，所以；（2）由，，则，，所以等比数列的公比为3，所以，又因是等差数列的第项，所以，所以，所以，所以，则，，两式相减得所以.21.已知函数.（1）若在上单调递增，求正数的取值范围；（2）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，，D、E、H为边上的点.从以下给出的3个条件中选择其中1个条件，并根据所选择的条件判断是否存在满足条件的三角形？若存在，求出的周长；若不存在，请说明理由（若多种选择作答，则按第一种解答给分）.①边的中线；②A角的角平分线；③边的垂线.【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）化简并求出其中的一个单调递增区间，从而得到为它的一个子区间；（2）若选择①，求出，不合题意.故此时不存在满足条件的三角形.若选择②，利用三角形的面积关系可得，再构造出关于的方程；若选择③，利用三角形的面积关系可得故，再构造出关于的方程；【小问1详解】由题，.令，则.令，则在上单调递增.由在上递增，则，解得.故正数的取值范围为.【小问2详解】（2）由，，则，则.因为，由余弦定理，（*）.若选择①，设，