2025届张家口市高三数学上学期期末教学质量监测试卷附答案解析

届张家口市高三数学上学期期末教学质量监测试卷2025.01一、单选题（本大题共8小题）1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．已知是一个平面，是两条不同的直线，，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知是椭圆的两个焦点，点，则（

）A． B． C． D．4．若复数满足且，则（

）A．5 B． C． D．105．已知单位向量与的夹角为，若，则（

）A． B． C． D．16．已知等差数列的前项和为，且，则取最大值时的值是（

）A．4 B．5 C．6 D．107．已知函数在区间上单调，且，则函数在区间上（

）A．单调递增B．单调递减C．最大值为 D．最小值为8．已知函数恰有2个零点，则实数（

）A．有最大值，没有最小值 B．有最小值，没有最大值C．既有最大值，也有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值二、多选题（本大题共3小题）9．某企业有两条生产线，现对这两条生产线的产品的质量指标值进行分析，得到如下数据：生产线的产品质量指标值，生产线的产品质量指标值.已知生产线的产量是生产线的倍，则（

）A．生产线产品质量指标值的均值高于生产线产品质量指标值的均值B．该企业产品质量指标值的均值是C．生产线产品质量指标值的标准差低于生产线产品质量指标值的标准差D．，两条生产线的产品质量指标值低于的概率相同10．已知圆柱的轴截面为矩形为下底面圆的直径，点在下底面圆周上，为的中点，，则（

）A．该圆柱的体积为B．该圆柱的表面积为C．直线与平面所成角为D．二面角为11．设是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称，，且，，都有，则（

）A．B．C．D．三、填空题（本大题共3小题）12．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边落在第一象限，角的终边按顺时针方向旋转后与单位圆交点的纵坐标为，则角的终边按逆时针方向旋转后与单位圆交点的横坐标是.13．双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与的一个交点的纵坐标为，则的离心率为.14．若无穷数列满足，则称数列为数列.若数列为递增数列，则；若数列满足，且，则.四、解答题（本大题共5小题）15．已知6位同学中有3位女生，3位男生，现将这6位同学随机平均分成，两组，进行比赛.(1)求组中女生的人数的分布列.(2)记事件:女生不都在同一组，事件:女生甲在组.判断事件是否相互独立，并证明你的结论.16．已知为的角所对的边，且满足,为的中点.(1)求角;(2)若，求AD的长.17．如图，平行四边形中，，，为的中点，将沿翻折至，使得平面平面，是线段上的一个动点.(1)证明：平面；(2)当的面积最小时，求平面与平面夹角的余弦值.18．直线经过抛物线的焦点，且与交于两点（点在轴上方)，点（，且）在轴上，直线，分别与交于点，，记直线与轴交点的横坐标为.(1)若直线垂直于轴，求直线的方程.(2)证明：.19．若定义在上的函数满足:对任意，存在常数，都有成立，则称为函数的上界，最小的称为函数的上确界，记作.与之对应，若定义在上的函数满足:对任意，存在常数，都有成立，则称为函数的下界，最大的称为函数的下确界，记作.(1)若有下确界，则一定是的最小值吗?请举例说明.(2)已知函数，其中.(i)若，证明:有下确界，没有上确界.(ii)若函数有下确界，求实数的取值范围，并证明.参考答案1．【答案】B【详解】由、，，故.故选：B.2．【答案】A【详解】若，由，则；若，则与可能垂直、可能相交也可能平行，还有可能平面；故是的充分不必要条件.故选：A.3．【答案】D【详解】由椭圆可得其长轴长，由，故点在椭圆上，则由椭圆定义可得.故选：D.4．【答案】B【详解】设，则，即，则，则，则.故选：B.5．【答案】A【详解】由，则，解得，则.故选：A.6．【答案】B【详解】设等差数列的公差为，则，化简得，即，则，由，则当时，取最大值.故选：B.7．【答案】C【详解】由，，则，，又函数在区间上单调，故，，则当时，单调递增，当时，单调递减，故，，，即，故A、B、D错误，C正确.故选：C.8．【答案】A【详解】当时，若，则，此时在时无零点，则需在时有2个零点，令，则或，则、且，解得且，即且符合要求；当时，令，则，即在时有1个零点，则需在时有1个零点，令，则或，由，则，故需满足，解得，即时，符合要求；综上所述，，故实数有最大值，没有最小值.故选：A.9．【答案】ABD【详解】对A：生产线产品质量指标值的均值为，生产线产品质量指标值的均值为，故生产线产品质量指标值的均值高于生产线产品质量指标值的均值，故A正确；对B：该企业产品质量指标值的均值是，故B正确；对C：生产线产品质量指标值的标准差为，生产线产品质量指标值的标准差为，故生产线产品质量指标值的标准差高于生产线产品质量指标值的标准差，故C错误；对D：，，故，两条生产线的产品质量指标值低于的概率相同，故D正确.故选：ABD.10．【答案】AD【详解】对于A，因为底面，底面，所以，又，平面，所以平面，因为平面，所以，又，平面，所以平面，即，因为为的中点，所以为等腰直角三角形，所以，又，为底面圆的直径，所以，所以该圆柱的体积为，故A正确；对于B，由A可得该圆柱的表面积为，故B错误；对于C，因为底面，底面，所以，又，平面，所以平面，所以直线与平面所成角，因为，所以，即，故C错误；对于D，由C可得为二面角的平面角，因为为等腰直角三角形，所以，即二面角为，故D正确；故选：AD.11．【答案】BC【详解】对于A，因为，，都有，所以，即，则，又，故，故A错误；对于B，则，即，又，则，因为是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称，所以，，则，所以，故B正确；对于C，，即，则，所以，故C正确；对于D，因为，所以又，即是周期为的周期函数，所以，故D错误.故选：BC.12．【答案】【详解】由题意可得，则角的终边按逆时针方向旋转后与单位圆交点的横坐标.故答案为：.13．【答案】【详解】由的纵坐标为，则，即，由点在以为直径的圆上，故，即有，化简得，即，又，故，即.故答案为：.14．【答案】【详解】由为递增数列，则，故，则，，，，则即，又，则，故；由，故数列是单调递增数列，即数列的偶数项构成单调递增数列，依题意，可得，或，由，故，故或，则或或或，由，故，又，则，故，故当时，有，下面证明数列中相邻两项不可能同时为非负数：假设数列中存在同时为非负数，因为，若，则有，与条件矛盾；若，则有，与条件矛盾；即假设不存在，即对任意正整数，中至少有一个小于；由，对成立，故时，，，即，故，故，即，，又，所以数列是，公差为1的等差数列，所以.故答案为：；.15．【答案】(1)分布列见解析；(2)相互独立，证明见解析.【详解】（1）组中女生的人数可能为0，1，2，3，故的可能取值为0，1，2，3，，，，所以组中女生的人数的分布列为0123（2）事件相互独立，证明如下：事件:女生不都在同一组，概率，事件:女生甲在组，概率，，，所以事件相互独立.16．【答案】(1)(2)【详解】（1）,由正弦定理得，，，∴，，，当时，，，∴，，∵，.（2），∴，又∵，由余弦定理得，∴.由平面向量加法的平行四边形法则可得，所以，，，即的长为．17．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）由，为的中点，则，则，又平面平面，平面平面，平面，故平面，又平面，故，由，，则，，，由，则，则，又，故与相似，故，则，故，又，，、平面，故平面；（2）由（1）可得、、两两垂直，故可以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则有、、、D0,1,0、P0,0,1，则、、，设，，则，点到直线的距离，由，故则当点到直线的距离最小时，的面积最小，此时，则，设平面的法向量为m=x,y,z则有，取，则，，即，由轴平面，故平面的法向量可为，则，即平面与平面夹角的余弦值为.18．【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）由抛物线的焦点为，若直线垂直于轴，则，令，则、，，则，即，，即，联立，解得或，即，联立，解得或，即，故直线的方程为；（2）设直线为，联立，则有，故，，由，则，，联立，则，故，即，同理可得，则，，则，令，即有，又，则，则，故，由，故，即得证.19．【答案】(1)不一定是的最小值，如；(2)（i）（ii）证明见解析【详解】（1）不一定是的最小值．如的下确界，但0不是的最小值．（2）（i）证明：当时，，定义域，所以．令，则，令，则，所以在上单调递减，在上单调递增，所以对任意的恒成立，所以函数有下确界，．假设函数有上确界，设，则，.因为，这与是的上确界相矛盾，故假设不成立，函数无上确界．（ii）：先证明．令函数，则，设，则，当，，，，所以在上单调递减，在上单调递增，