人教A版（2019）高一数学必修第二册-空间直线、平面的垂直习题课-1教案

教案教学基本信息课题空间直线、平面的垂直习题课学科数学学段：高中年级一年级教材书名：必修第二册出版社：人民教育出版社出版日期：2019年6月教学设计参与人员姓名单位设计者韩春禹北京市顺义牛栏山第一中学实施者韩春禹北京市顺义牛栏山第一中学指导者李淑敬、赵贺北京市顺义区教育研究和教师研修中心课件制作者韩春禹北京市顺义牛栏山第一中学其他参与者教学目标及教学重点、难点本节课的主要内容是对空间直线、平面垂直习题的解答，通过习题的讲解，对空间直线、平面垂直知识进行系统的复习和知识建构，使学生加深对空间直线、平面垂直知识的整体认识，对解决空间中的垂直问题形成策略和方法，掌握解决问题的通性通法，培养学生自身的思考与总结能力。教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图引入前几节课我们学习了有关空间直线、平面垂直的知识，今天我们进行一节空间直线、平面的垂直习题课。新课首先，我们对空间直线、平面垂直的知识进行回顾，为我们此次的习题课做好充足的知识储备。一、异面直线所成角。如图所示，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线，，我们把直线与所成的角叫做异面直线与所成的角（或夹角）.二、线面所成角。平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角。此定义也告诉我们如何作出线面所成角，如图，点A为斜线l与平面α的交点，在直线l上取一个异于点A的点P，过点P作平面α的垂线，垂足为O，连接AO，∠PAO为直线l与平面α所成的角。三、二面角及二面角的平面角。从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角。此定义也给出了我们作出二面角的平面角的方法。以上三个知识点，是空间中异面直线所成角、直线与平面所成角以及二面角的概念及作法。为我们研究空间中直线、平面的垂直关系奠定了基础。四、空间中三种垂直。如图所示，分别为线线垂直，线面垂直和面面垂直，三种垂直情况，要做到心中有图。五、点到平面的距离。如图所示，过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离。六、直线到平面的距离。如图所示，一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离。七、平行平面间的距离。如图所示，如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离。以上三个知识点是空间中三种距离的概念及求法。下面我们来复习空间中直线、平面垂直这部分一些重要的定义、判定定理和性质定理。八、直线与平面垂直的定义。一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α。图形语言和符号语言如下。此定义表明，可以利用线面垂直得到线线垂直。九、直线与平面垂直的判定定理。如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直。图形语言与符号语言如下。此判定定理表明，通过线线垂直可以得到线面垂直。十、直线与平面垂直的性质定理。垂直于同一个平面的两条直线平行。图形语言与符号语言如下。此性质定理表明，通过线面垂直，可以得到线线平行，揭示了平行与垂直的内在联系。十一、平面与平面垂直的判定定理。如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直。图形语言与符号语言如下。此定理表明，通过线面垂直可以得到面面垂直。十二、平面与平面垂直的性质定理。两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直。图形语言与符号语言如下。此定理表明，通过面面垂直可以得到线面垂直。以上我们所复习的有关空间直线、平面垂直的定义、判定定理和性质定理之间有着密切的关联，我们可以将他们进行整合，作出空间垂直关系转化结构图，可以帮助我们更好地理解这些定理之间的联系，是解决空间垂直问题非常重要的手段，为我们解决空间垂直问题奠定良好的理论基础。例题例题选择题（1）若空间中四条不同的直线l1，l2，l3，l4满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下面结论正确的是（）．（A）l1⊥l4（B）l1∥l4（C）l1，l4既不垂直也不平行（D）l1，l4的位置关系不确定分析：此题考查对空间中直线与直线垂直知识，特别是对异面直线垂直的理解。题目中对于已知条件空间中四条不同的直线l1，l2，l3，l4，（按）那么我们要具备异面直线垂直定义的知识储备，后面的三个垂直条件都是线线垂直，我们知道通过线面垂直的定义也可以得到线线垂直，即如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直。我们以l3⊥l4为例，如果l3垂直于l4所在的平面，那么l4可以是这个平面中的任意一条直线，所以l1，l4的位置关系不确定。故此题选D。当然我们也可以通过熟知的正方体来体会，在正方体ABCD-A1B1C1D1中l1⊥l2，l2⊥l3，由于l3⊥平面CC1D1D，那么l4可以是平面CC1D1D内的任意一条直线，所以l1，l4的位置关系不确定。本题小结：通过此题的分析，我们可以深切地体会到，高中所学习的立体几何知识，可以拓宽我们的视野，增加我们对几何认知的维度，提升我们空间想象能力．（2）已知α，β是两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的（）．（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件分析：本题显然考查我们对于面面垂直与线面垂直的关系，也就是考查面面垂直的判定定理以及性质定理的理解与掌握。我们知道，如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直。反过来，两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直。我们再结合图形语言，最终可以判断已知m⊥β可以得到α⊥β，但是仅有α⊥β，如果直线m不垂直于交线l，是不能得到m⊥β的。故本题选B.本题小结：通过这个题目，我们可以感受到定理之间密切的联系，所以对于解决此类空间垂直问题，充分理解并掌握定理是至关重要的．例题如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P，Q分别为棱AD，CC1的中点．求证A1P⊥BQ．分析：这是一道证明线线垂直的问题。在我们刚刚复习过的知识中，对于线线垂直我们有两个办法可供选择，一个是利用异面直线所成角的定义，过B1作B1E∥A1P，证明B1E⊥BQ即可。第二种思路是利用线面垂直的定义证明线线垂直，那么我们要思考的是去证明A1P⊥BQ所在平面？还是BQ⊥A1P所在平面？都不是很方便，这两条直线所在的平面也不是很好寻找，所以相对来说，我们选择思路一比较适合。下面我们来看一下解题过程。证明：如图，设E为BC的中点，连接B1E，易证A1P∥B1E，又知在正方形BCC1B1中B1E⊥BQ．所以A1P⊥BQ．（提示：Rt△B1BE≌Rt△BCQ）本题小结：本题考查我们对证明空间中两直线垂直方法的理解与掌握．可供我们选择的方法有两种，一种是异面直线所成角的定义，一种是线面垂直的性质定理，我们要选择一个适合题目的方法进行解答，这也要求我们不但要熟练掌握这些定理与方法，同时还要正确且迅速的做出选择．例题如图，在三棱锥P-ABC中，CD⊥AB，垂足为D，PO⊥底面ABC，垂足为O，且O在CD上，求证AB⊥PC．分析：此题也是一道证明线线垂直的题目，和刚刚的例题一样。仍然是这两种办法，但是我们选择哪一个呢？我们一起来分析一下。与上一道例题不同的是，我们发现如果选择用异面直线所成角的定义方法，我们需作出直线AB，PC的平行线，才能找到这两条异面直线所成角，有些繁琐和困难。那么通过线面垂直的判定和定义能否能让这道题迎刃而解呢？下面我们从问题出发，如果要证AB⊥PC，线线垂直，我们只需证明线面垂直，即AB⊥PC所在平面或者PC⊥AB所在平面，此时我们选择哪一个呢？如果选择AB⊥PC所在平面，根据线面垂直的判定定理，我们就得在PC所在平面内寻找两条都与AB垂直的相交直线，如果选择PC⊥AB所在平面，根据线面垂直的判定定理，我们就得在AB所在平面内寻找两条都与PC垂直的相交直线，当我们犹豫的时候可以再回头看看已知条件，能否给我们一些启示，题目中有CD⊥AB，提供给我们一条与AB垂直的直线CD，那么只需证明AB⊥平面PCD即可，现在需要在平面PCD中找一条与AB垂直的直线，已知条件中没有与AB垂直的直接条件，那么我们可以根据定理寻找题目中有没有线面垂直的条件，通过线面垂直的定义可以得到线线垂直，题目中给出PO⊥底面ABC，并且PO平面PCD，可以得到PO⊥AB，这样我们对于这道题的解题思路就捋顺清楚了。下面来看一下具体的解题过程。证明：∵PO⊥平面ABC，AB平面ABC，∴PO⊥AB．又CD⊥AB，PO∩CD=O，PO平面PDC，CD平面PDC，∴AB⊥平面PDC．又PC平面PDC，∴ AB⊥PC．本题小结：本题虽然和上一道例题都是证明线线垂直的问题，但是方法上有所不同，相比较异面直线所成角的方法，通过线线垂直与线面垂直之间的联系解决本题更为恰当，我们采取了从问题出发的方式，也就是分析法，分析法对于证明题的分析非常地有针对性．在我们以后解决问题时，也可以多多使用．在整个分析过程中，我们发现有一些条件是直接能给我们一些启发的，方便进行方法上的选择，有一些条件则需要我们进一步挖掘它所产生的结论，给我们的证明过程提供充足的条件，所以我们在解题时，一定要果断决策，多看条件，逐步分析，串联过程．例题如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：（1）B1D⊥平面A1BC1；（2）B1D与平面A1BC1的交点H是△A1BC1的重心．分析：例题的第一个问是一道证明线面垂直的问题。线面垂直是线线垂直与面面垂直的枢纽，在空间中垂直知识结构中有着承上启下的作用。要证B1D⊥平面A1BC1，那么我们就要寻找在平面A1BC1中与B1D垂直的两条相交直线，平面A1BC1中最明显的三条直线A1C1，A1B，BC1。由于三条线段是正方体三个面的对角线，所以我们只研究一条直线就可以。不妨我们以A1C1为研究对象，要证明B1D⊥A1C1线线垂直，一种办法是可以通过线面垂直的定义得到，即需要证明A1C1⊥B1D所在的平面，由于正方体每条棱都有两个与之垂直的平面，每个面对角线都垂直，所以A1C1⊥B1D1，A1C1⊥DD1，所以A1C1⊥平面D1DB1，得到A1C1⊥B1D。另外一种办法是我们可以利用异面直线所成角的定义。下面我们来看第一问具体的解答过程。证明：（1）方法一：连接B1D1，则B1D1⊥A1C1，又DD1⊥平面A1B1C1D1，∴DD1⊥A1C1．∴ A1C1⊥平面D1DB1．∴A1C1⊥B1D．同理可证B1D⊥A1B，∴B1D⊥平面A1BC1．证明：（1）方法二：连接B1D1交A1C1于点O，取DD1中点E，连接EO，EC1，设正方体棱长为a．∵点O、点E分别是线段B1D1、线段DD1的中点，∴OE是△B1DD1的中位线，∴OE∥B1D，∴∠EOC1为B1D与A1C1所成角．∵ 正方体棱长为a，∴OE=，OC1=，EC1=．∴OE2+OC12=EC12．∴EO⊥OC1．故A1C1⊥B1D．同理可证B1D⊥A1B，∴B1D⊥平面A1BC1．分析：第2问考查有关于三角形性质的内容。重心是三角形三边中线的交点，本题中△A1BC1是等边三角形，所以重心也是垂心、外心、内心，故本题我们可以考虑转化求解。题目中还有哪些信息能为我们选择提供条件呢？正方体ABCD-A1B1C1D1，每条棱都相等，那么也就是说三棱锥B1-A1BC1为正三棱锥，且由（1）知，B1D⊥平面A1BC1，易得A1H=BH=C1H，所以转化为外心求解更为合适。下面我们来看一下具体的解题过程。证明：（2）连接A1H，BH，C1H．∵A1B1=BB1=C1B1，∴A1H=BH=C1H．∴点H为△A1BC1的外心．又△A1BC1为正三角形，∴H是△A1BC1的重心．本题小结：本题考查我们对于空间垂直定理的理解与掌握，以及利用立体几何解决平面几何问题的能力，本题在分析求解的过程中，利用分析法，从问题出发，需要不断地结合已知条件将所求问题进行转化求解，提升了我们的转化思维．第（1）问，线面垂直问题是连接线线垂直与面面垂直的重要桥梁，需要我们转化为线线垂直与面面垂直问题．第（2）问结合已知条件把重心转化为外心，使问题得到解决，所以对于很多题目，转化思维是必不可少的，我们一定要细致地分析，并进行经验总结，之后遇到类似的问题也就能迎刃而解了．例题如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面PAD是正三角形，侧面PAD⊥底面ABCD，M是PD的中点．（1）求证：AM⊥平面PCD；（2）求侧面PBC与底面ABCD所成二面角的余弦值．分析：本题第（1）问依然是考查线面垂直内容。证明线面垂直，我们知道可以通过线面垂直的判定定理，也就是线线垂直来证明，或者通过面面垂直的性质来证明，那么我们现在要仔细剖析已知条件，来找出暗含的垂直条件，进而方便我们做出选择。侧面PAD是正三角形，M是PD的中点说明AM⊥PD，这个条件给我们启发，如果我们在平面PCD中再找到一条直线与AM垂直，就可以通过线线垂直来判定线面垂直了。题目中给出侧面PAD⊥底面ABCD，以及正方形ABCD，通过面面垂直的性质，我们可以得到CD⊥平面PAD，在通过线面垂直的定义，得到AM⊥CD，这样，我们在平面PCD中就得到了两条相交的直线与AM垂直，然后再利用线面垂直的判定定理来证明AM⊥平面PCD。下面我们来看一下具体的解题过程。证明：（1）∵底面ABCD为正方形，∴CD⊥AD．∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴CD⊥平面PAD．∵AM平面PAD，∴CD⊥AM．∵侧面PAD是正三角形，且M是PD的中点，∴AM⊥PD．∵CD平面PCD， PD平面PCD，CD∩PD=D，∴AM⊥平面PCD．分析：第二问是求二面角的问题，欲求二面角，重点是转化为二面角的平面角。方法是在平面PBC与底面ABCD的交线BC上取一点N，分别在两个平面内过点N作BC的垂线，即可得到二面角的平面角，棱上的点N的位置是非常重要的，是求二面角的关键之处，那么本例题具体应该把点N取在棱上的什么位置呢？我们来看看已知条件能否给我们启发？思路一我们经常会遇到一些特殊图形，比如等腰三角形、矩形、等腰梯形等等，这些对称的图形总能让我们对于在棱上取点变得容易，那么我们来看看△PBC是否是特殊的图形，由于△PAD是等边三角形，且AB⊥PA，CD⊥PD，所以RT△PAB≌RT△PDC，故PB=PC，所以△PBC是等腰三角形,故取BC中点N，取AD中点O，连接PN，ON，故∠PNO为所求二面角的平面角。第二个思路，已知侧面PAD⊥底面ABCD，那么取AD中点O，可以得到PO⊥底面ABCD，则BC⊥PO，再取BC中点N，则ON⊥BC，那么有BC⊥平面PON，所以BC⊥PN，故∠PNO为所求二面角的平面角。这样我们就找到了点N的位置，下面我们来看一下具体的解题过程。解：（2）设AB=a，取AD中点O，BC中点N，连接PN，NO，OP．∵底面ABCD为正方形，点O，N分别为AD，BC的中点，∴ON⊥AD，ON⊥BC且ON=AB=CD=a．∵侧面PAD是正三角形，∴PO⊥AD． ∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PO⊥平面ABCD．又 BC平面ABCD，ON平面ABCD，∴PO⊥BC，PO⊥ON．∵PO平面PON，ON平面PON，PO∩ON=O，ON⊥BC，PO⊥BC，∴BC⊥平面PON．又PN平面PON，∴BC⊥PN．故∠PNO是所求二面角的平面角．∵ PO⊥ON，∴ △PON为直角三角形．∵PO=，ON=a，PO2+ON2=PN2．∴ PN=．∴cos∠PNO=．故侧面PBC与底面ABCD所成二面角的余弦值为．本题小结：对于立体几何的综合题目，切勿“埋头苦做”，多多“抬头看题”，解题思路也许有很多种，但我们还是要看看哪些条件在我们抉择时能给我们一定的启发，帮助我们选择最适合的方法．在垂直这部分知识中，线线垂直、线面垂直、面面垂直相互关联，我们要尽可能的去挖掘题目中的垂直条件，帮助我们利用这些定理来转化问题，解决问题．例题如图，在三棱锥P-ABC中，∠ACB=90°，PA⊥底面ABC．（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；（2）若AC=BC=PA，M是PB的中点，求AM与平面PBC所成角的正切值．分析：本题第（1）问是证明面面垂直，我们可以在平面PAC或者平面PBC内寻找垂直于另外一个平面的直线，通过线面垂直证明面面垂直。现在，我们就来剖析已知条件，挖掘更多的垂直条件。由PA⊥底面ABC，通过线面垂直定义可以得到线线垂直，也就是PA垂直于平面ABC内的任意一条直线，和BC⊥AC相联系，得到BC⊥PA，故BC⊥平面PAC，这样，我们就可以通过面面垂直的判定定理来证明平面PAC⊥平面PBC。下面我们来看具体的解题过程。（1）证明：∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴PA⊥BC．∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC．又AC∩PA=A，AC平面PAC，PA平面PAC，∴BC⊥平面PAC．∵BC平面PBC，∴平面PAC⊥平面PBC．本题的第（2）问考查线面所成角的内容。首先根据线面所成角的定义，作出线面所成角。思考要想做出线面所成角，需要具备哪些元素？需要垂线和射影，找到平面PBC的垂线，自然就会找到AM在平面PBC上的射影，寻找平面PBC的垂线，也就是要构造线面垂直，由（1）可知，平面PAC⊥平面PBC，所以我们可以通过面面垂直的性质得到线面垂直，题目中的已知条件AC=PA，所以△PAC是等腰三角形，可以取PC中点D，连接AD，DM，有AD⊥平面PBC，故DM为AM在平面PBC上的射影，那么∠AMD为所求线面所成角。下面我们来看具体的解题步骤。（2）解：设AC=BC=PA=2a，取PC中点D，连接AD，DM．∵PA=AC，D为PC中点，∴AD⊥PC．由（1）知，平面PAC⊥平面PBC，且平面PAC∩平面PBC=PC，∴AD⊥平面PBC．故∠AMD是AM与平面PBC所成的角．∵PA⊥平面ABC，AC平