2024-2025学年新教材高中数学第5章数列5.3等比数列5.3.1等比数列第2课时等比数列的性质教案新人教B版选择性必修第三册

PAGE6-第2课时等比数列的性质学习目标核心素养1.理解等比中项的概念．(易错点)2.驾驭等比数列的性质及其应用．(重点)3.娴熟驾驭等比数列与等差数列的综合应用．(难点、易错点)1.通过等比数列性质的学习，培育逻辑推理的素养.2.通过等比数列与等差数列的综合应用的学习，提升数学运算素养.在等差数列{an}中，通项公式可推广为an＝am＋(n－m)d，并且若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(n，m，p，q∈N＋)，特殊地，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap.问题：在等比数列中有无类似的性质？1．等比中项定义假如x，G，y是等比数列，那么称G为x与y的等比中项关系式G2＝xy结论在等比数列中，中间每一项都是它的前一项与后一项的等比中项思索：G是x与y的等比中项的充要条件为G2＝xy吗？[提示]不是．若G是x与y的等比中项，则G2＝xy，反之不成立．2．等比数列的性质在等比数列{an}中，若s＋t＝p＋q(s，t，p，q∈N＋)，则as·at＝ap·aq.(1)特殊地，当2s＝p＋q(s，p，q∈N＋)时，ap·aq＝aeq\o\al(2,s).(2)对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝….拓展：(1)“子数列”性质对于无穷等比数列{an}，若将其前k项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为ak＋1，公比为q；若取出全部的k的倍数项，组成的数列仍为等比数列，首项为ak，公比为qk.(2)两个等比数列合成数列的性质若数列{an}，{bn}均为等比数列，c为不等于0的常数，则数列{can}，{an·bn}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))也为等比数列．1．思索辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)随意两个实数都有等比中项． ()(2)在等比数列{an}中，a2·a8＝a10. ()(3)若{an}，{bn}都是等比数列，则{an＋bn}是等比数列． ()(4)若数列{an}的奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相同，则{an}是等比数列． ()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．已知等比数列{an}，a1＝1，a3＝eq\f(1,9)，则a5等于()A．±eq\f(1,81)B．－eq\f(1,81)C.eq\f(1,81)D．±eq\f(1,2)C[在等比数列中，aeq\o\al(2,3)＝a1·a5，所以a5＝eq\f(a\o\al(2,3),a1)＝eq\f(1,81).]3．(教材P34练习AT3改编)等比数列{an}中，a4＝4，则a2·a6等于()A．4B．8C．16D．32C[∵{an}是等比数列，∴a2·a6＝aeq\o\al(2,4)＝16.]4．在等比数列{an}中，已知a7a12＝5，则a8a25[∵{an}是等比数列，∴a8·a11＝a9·a10＝a7·a12，∴a8a9a10a11＝(a9a10)2＝(a7等比中项的应用【例1】(1)假如－1，a，b，c，－9成等比数列，那么()A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9(2)在等差数列{an}中，公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则eq\f(a1＋a3＋a9,a2＋a4＋a10)＝________.(1)B(2)eq\f(13,16)[(1)因为b2＝(－1)×(－9)＝9，a2＝－1×b＝－b＞0，所以b＜0，所以b＝－3，且a，c必同号．所以ac＝b2＝9.(2)由题意知a3是a1和a9的等比中项，∴aeq\o\al(2,3)＝a1a9，∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)，得a1＝d，∴eq\f(a1＋a3＋a9,a2＋a4＋a10)＝eq\f(13d,16d)＝eq\f(13,16).]由等比中项的定义可知：eq\f(G,a)＝eq\f(b,G)⇒G2＝ab⇒G＝±eq\r(ab).这表明只有同号的两项才有等比中项，并且这两项的等比中项有两个，它们互为相反数.反之，若G2＝ab，则eq\f(G,a)＝eq\f(b,G)，即a，G，b成等比数列.所以a，G，b成等比数列⇔G2＝abab≠0.eq\O([跟进训练])1．已知等比数列的前三项和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项．[解]设该等比数列的公比为q，首项为a1，∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a1q＋a1q2＝168，,a1q－a1q4＝42，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a11＋q＋q2＝168，,a1q1－q3＝42.))∵1－q3＝(1－q)(1＋q＋q2)．上述两式相除，得q(1－q)＝eq\f(1,4)⇒q＝eq\f(1,2).∴a1＝eq\f(42,q－q4)＝eq\f(42,\f(1,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4)＝96.若G是a5，a7的等比中项，则应有G2＝a5·a7＝a1q4·a1q6＝aeq\o\al(2,1)q10＝962·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))10＝9.∴a5，a7的等比中项是±3.等比数列性质的应用【例2】(1)已知数列{an}为等比数列．若an>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，则a(2)在2和8之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则中间三个数的积等于________．(1)6(2)64[(1)∵a2a4＋2a3a5＋∴aeq\o\al(2,3)＋2a3a5＋aeq\o\al(2,5)＝36，∴(a3＋a5)2＝36，又∵an>0，∴a3＋a5＝6.(2)设a1＝2，a5＝8，∴a3＝eq\r(a1a5)＝4，∴a2·a3·a4＝aeq\o\al(2,3)·a3＝aeq\o\al(3,3)＝43＝64.]在等比数列的有关运算中，经常涉及到次数较高的指数运算.若按常规解法，往往是建立a1，q的方程组，这样解起来很麻烦.通过本例可以看出：结合等比数列的性质进行整体变换，会起到化繁为简的效果.eq\O([跟进训练])2．在等比数列{an}中，已知a4＋a7＝2，a5a6＝－8，求a1＋a10[解]因为数列{an}为等比数列，所以a5a6＝a4a联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a4＋a7＝2，,a4a7＝－8.))可解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a4＝4，,a7＝－2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a4＝－2，,a7＝4.))当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a4＝4，,a7＝－2))时，q3＝－eq\f(1,2)，故a1＋a10＝eq\f(a4,q3)＋a7q3＝－7；当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a4＝－2，,a7＝4))时，q3＝－2，同理，有a1＋a10＝－7.即a1＋a10的值为－7.等比数列的设法与求解[探究问题]1．类比等差数列中相邻三项的设法，想一想：等比数列中的相邻三项如何设运算更便利？[提示]可设为eq\f(a,q)，a，aq或a，aq，aq2(q≠0)．2．假如四个数成等比数列，如何设更便利运算？[提示]可设为eq\f(a,q)，a，aq，aq2或eq\f(a,q3)，eq\f(a,q)，aq，aq3(q≠0)．【例3】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，其次个数与第三个数的和是12，求这四个数．[解]法一：设四个数依次为a－d，a，a＋d，eq\f(a＋d2,a)，由条件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－d＋\f(a＋d2,a)＝16，,a＋a＋d＝12，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,d＝4，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝9.,d＝－6.))所以，当a＝4，d＝4时，所求四个数为0,4,8,16；当a＝9，d＝－6时，所求四个数为15,9,3,1.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.法二：设四个数依次为eq\f(2a,q)－a，eq\f(a,q)，a，aq(a≠0)，由条件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2a,q)－a＋aq＝16，,\f(a,q)＋a＝12.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝8，,q＝2，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,q＝\f(1,3).))当a＝8，q＝2时，所求四个数为0,4,8,16；当a＝3，q＝eq\f(1,3)时，所求四个数为15,9,3,1.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.合理地设出所求数中的三个数，依据题意再表示出另一个数是解决这类问题的关键，一般地，三个数成等比数列，可设为eq\f(a,q)，a，aq；三个数成等差数列，可设为a－d，a，a＋d.eq\O([跟进训练])3．三个数成等比数列，其积为512，假如第一个数与第三个数各减去2，则这三个数成等差数列，求这三个数．[解]设三个数依次为eq\f(a,q)，a，aq，∵eq\f(a,q)·a·aq＝512，∴a＝8.∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,q)－2))＋(aq－2)＝2a，∴2q2－5q＋2＝0，∴q＝2或q＝eq\f(1,2)，∴这三个数为4,8,16或16,8,4.1．在数列{an}中，aeq\o\al(2,n)＝an－k·an＋k(n，k∈N＋，n>k)是{an}成等比数列的必要不充分条件．2．等比数列的常用性质：(1)假如m＋n＝k＋l，则有aman＝akal；(2)假如m＋n＝2k，am·an＝aeq\o\al(2,k)；(3)若m，n，p成等差数列，am，an，ap成等比数列；(4)在等比数列{an}中，每隔k项(k∈N＋)取出一项，按原来的依次排列，所得的新数列仍为等比数列；(5)假如{an}，{bn}均为等比数列，且公比分别为q1，q2，那么数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))，{an·bn}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(bn,an)))，{|an|}仍是等比数列，且公比分别为eq\f(1,q1)，q1q2，eq\f(q2,q1)，|q1|；(6)等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝a3·an－2＝….3．依据等比中项和等比数列的性质巧设等比数列中的项：当三个数成等比数列且知这三个数的积时，一般将这三个数设为eq\f(a,q)，a，aq；当有五个数成等比数列时，常设为eq\f(a,q2)，eq\f(a,q)，a，aq，aq2.1．对随意等比数列{an}，下列说法肯定正确的是()A．a1，a3，a9成等比数列B．a2，a3，a6成等比数列C．a2，a4，a8成等比数列D．a3，a6，a9成等比数列D[因为aeq\o\al(2,6)＝a3a9，所以a3，a6，a9成等比数列．]2．等比数列{an}中，a1＝eq\f(1,8)，q＝2，则a4与a8的等比中项为()A．±4B．4C．±eq\f(1,4)D.eq\f(1,4)A[a4＝a1q3＝eq\f(1,8)×23＝1，a8＝a1q7＝eq\f(1,8)×27＝16，∴a4与a8的等比中项为±eq\r(16)＝±4.]3．在等比数列{an}中，各项都是正数，a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝4，则a4＋7[∵a6a10＝aeq\o\al(2,8)，a3a5＝aeq\o\al(2,4)，∴aeq\o\al(2,4)＋aeq\o\al(2,8)＝41.又a4a8＝4，∴(a4＋a8)2＝aeq\o\al(2,4)＋aeq\o\al(2,8)＋2a4a8＝41＋