2024-2025学年高中数学第四章函数应用课时作业21实际问题的函数建模含解析北师大版必修1

PAGEPAGE3课时作业21实际问题的函数建模时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为4000辆次，其中电动车存车费是每辆一次0.3元，自行车存车费是每辆一次0.2元．若自行车存车量为x辆次，存车总收入为y元，则y关于x的函数关系式是(D)A．y＝0.1x＋800(0≤x≤4000)B．y＝0.1x＋1200(0≤x≤4000)C．y＝－0.1x＋800(0≤x≤4000)D．y＝－0.1x＋1200(0≤x≤4000)解析：因为自行车存车量为x辆次，所以电动车存车量为(4000－x)辆次，所以y＝0.2x＋0.3(4000－x)＝－0.1x＋1200，故选D.2．某人2024年1月1日到银行存入a元，年利率为x，若按复利计算，则到2024年1月1日可取款(A)A．a(1＋x)5元 B．a(1＋x)4元C．[a＋(1＋x)5]元 D．a(1＋x5)元解析：2024年1月1日到银行存入a元，到2024年1月1日本息共a(1＋x)元，作为本金转入下一个周期，到2024年1月1日本息共a(1＋x)(1＋x)＝a(1＋x)2(元)，因此，到2024年1月1日可取款a(1＋x)5元，故选A.3．某企业生产总值的月平均增长率为P，则年平均增长率为(C)A．(1＋P)11 B．(1＋P)12C．(1＋P)12－1 D．(1＋P)11－1解析：设年平均增长率为x，∴1·(1＋x)＝1·(1＋P)12，∴x＝(1＋P)12－1，故选C.4．在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上年增长10.4%，专家预料经过x年可能增长到原来的y倍，则函数y＝f(x)的图像大致为(D)解析：易知此函数模型为指数函数模型y＝(1＋10.4%)x，过(0,1)点，故选D.5．下列函数关系中，可以看作是指数型函数y＝kax(k∈R，a＞0且a≠1)模型的是(B)A．竖直向上放射的信号弹，从放射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力)B．我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的改变关系C．假如某人ts内骑车行进了1km，那么此人骑车的平均速度v与时间t的函数关系D．信件的邮资与其重量间的函数关系解析：A：竖直向上放射的信号弹，从放射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系，是二次函数关系；B：我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的改变关系，是指数型函数关系；C：假如某人ts内骑车行进了1km，那么此人骑车的平均速度v与时间t的函数关系，是反比例函数关系；D：信件的邮资与其重量间的函数关系，是正比例函数关系．故选B.6．生产肯定数量商品的全部费用称为生产成本，它可以表示为商品数量的函数，现知一企业生产某种商品的数量为x件时的成本函数为c(x)＝20＋2x＋eq\f(1,2)x2(万元)，若售出一件商品收入是20万元，那么该企业为获得最大利润，应生产这种商品的数量为(A)A．18件B．36件C．22件D．9件解析：y＝20x－c(x)＝20x－20－2x－eq\f(1,2)x2＝－eq\f(1,2)x2＋18x－20.∴x＝18时，y有最大值．7．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂．已知每一天荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，且荷叶20天可以完全长满池塘水面．当荷叶覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了(C)A．10天B．15天C．19天D．2天解析：荷叶覆盖水面面积y与生长时间x的函数关系式为y＝2x.当x＝20时，长满水面，所以生长19天时，布满水面一半．8．某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经验了n次涨停(每次上涨10%)，又经验了n次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏状况(不考虑其他费用)为(B)A．略有盈利 B．略有亏损C．没有盈利也没有亏损 D．无法推断盈亏状况解析：设该股民购这支股票的价格为a，则经验n次涨停后的价格为a(1＋10%)n＝a×1.1n，经验n次跌停后的价格为a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)n＝0.99n·a<a，故该股民这支股票略有亏损．二、填空题9．“好酒也怕巷子深”，很多闻名品牌是通过广告宣扬进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满意关系R＝aeq\r(A)(a为常数)，广告效应为D＝aeq\r(A)－A.那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入广告费应为eq\f(1,4)a2.解析：令t＝eq\r(A)(t>0)，则A＝t2.∴D＝at－t2＝－(t－eq\f(1,2)a)2＋eq\f(1,4)a2.∴当t＝eq\f(1,2)a，即A＝eq\f(1,4)a2时，D取最大值．10．里氏震级M的计算公式为：M＝lgA－lgA0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为6级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的104倍．解析：由已知条件可知这次地震中A＝1000，A0＝0.001，代入到M＝lgA－lgA0中得M＝lg1000－lg0.001＝3－(－3)＝6.设9级地震的最大振幅为A1,5级地震的最大振幅为A2，则有9＝lgA1＋3,5＝lgA2＋3，故lgA1＝6，lgA2＝2，eq\f(A1,A2)＝eq\f(106,102)＝104.11．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比．药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝(eq\f(1,16))t－a(a为常数)，如图所示，依据图中供应的信息，回答下列问题：(1)从药物释放起先，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10t，0≤t≤\f(1,10)，,\f(1,16)t－\f(1,10)，t>\f(1,10)))；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放起先，至少须要经过0.6小时，学生才能回到教室．解析：(1)因为药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比，则设函数为y＝kt(k>0)，将点(0.1,1)代入y＝kt，可得k＝10，所以y＝10t；又因为药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝(eq\f(1,16))t－a，将点(0.1,1)代入y＝(eq\f(1,16))t－a，得a＝0.1，三、解答题12．某医疗探讨所开发一种新药，假如成人按规定的计量服用，据监测：服药后每毫升血液中含药量y(μg)与时间t(h)之间近似满意如图所示的曲线．(1)写出服药后y与t之间的函数关系式；(2)据测定：每毫升血液中含药量不少于4μg时治疗疾病有效，假如某病人一天中第一次服药为上午7：00，问一天中怎样支配服药时间(共4次)效果最佳？解：(1)依题意得y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6t，0≤t≤1，,－\f(2,3)t＋\f(20,3)，1<t≤10.))(2)设其次次服药时在第一次服药后t1小时，则－eq\f(2,3)t1＋eq\f(20,3)＝4，解得t1＝4，因而其次次服药应在11：00.设第三次服药在第一次服药后t2小时，则此时血液中含药量应为前两次服药后的含药量的和，即有－eq\f(2,3)t2＋eq\f(20,3)－eq\f(2,3)(t2－4)＋eq\f(20,3)＝4，解得t2＝9，故第三次服药应在16：00.设第四次服药在第一次服药后t3小时(t3>10)，则此时第一次服进的药已汲取完，血液中含药量应为其次、第三次的和－eq\f(2,3)(t3－4)＋eq\f(20,3)－eq\f(2,3)(t3－9)＋eq\f(20,3)＝4，解得t3＝13.5，故第四次服药应在20：30.13．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过1‰，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量削减eq\f(1,3)，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？(已知：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)解：解法1：∵每次过滤杂质含量降为原来的eq\f(2,3)，过滤n次后杂质含量为eq\f(2,100)·(eq\f(2,3))n.依题意，得eq\f(2,100)·(eq\f(2,3))n≤eq\f(1,1000)，即(eq\f(2,3))n≤eq\f(1,20)，∵(eq\f(2,3))7＝eq\f(128,2187)>eq\f(1,20)，(eq\f(2,3))8＝eq\f(256,6561)<eq\f(1,20)，∴由题意知至少应过滤8次才能使产品达到市场要求．解法2：接解法1：(eq\f(2,3))n≤eq\f(1,20)，则n(lg2－lg3)≤－(1＋lg2)，即n≥eq\f(1＋lg2,lg3－lg2)≈7.4，又n∈N＋，∴n≥8，即至少应过滤8次才能使产品达到市场要求．——实力提升类——14．已知14C的半衰期为5730年(是指经过5730年后，14C的残余量占原始量的一半)．设14C的原始量为a，经过x年后的残余量为b，残余量b与原始量a的关系如下：b＝ae－kx，其中x表示经过的时间，k为一个常数．现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C的残余量约占原始量的76.7%.请你推断一下马王堆汉墓的大致年头为距今2_292年．(已知log20.767≈－0.4)解析：由题意可知，ae－5730k＝eq\f(1,2)a，解得k＝eq\f(ln2,5730).现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C的残余量约占原始量的76.7%，所以76.7%＝eeq\s\up15(－eq\f(ln2,5730))x，得ln0.767＝－eq\f(ln2,5730)x，则x＝－5730×eq\f(ln0.767,ln2)＝－5730×log20.767≈2292.15．某工厂生产商品A，每件售价80元，每年产销80万件，工厂为了开发新产品，经过市场调查，确定提出商品A的销售金额的p%作为新产品开发费(即每销售100元提出p元)，并将商品A的年产销量削减了10p万件．(1)若工厂提出的新产品开发费不少于96万元，求p的取值范围；(2)若工厂仅考虑每年提出最高的开发费，求此时p的值．解：由题意知，当开发费是商品A的销售金额的p%时，销售量为(80－10p)万件，