2024-2025学年新教材高中数学课时素养评价1.1.1空间向量及其线性运算含解析新人教A版选择性必修第一册

PAGE一空间向量及其线性运算(25分钟·50分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.如图所示,在四棱柱的上底面ABCD中,=,则下列向量相等的是 ()A.与 B.与C.与 D.与【解析】选D.依据题意可知,与,与为相反向量,与只是模相等.2.已知空间四边形ABCD,连接AC,BD,则++为 ()A. B. C. D.0【解析】选A.++=+=.3.四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是平行四边形,M是AC与BD的交点.若=a,=b,=c,则可以表示为 ()A.a+b+QUOTEc B.-QUOTEa-QUOTEb+cC.-QUOTEa-QUOTEb-c D.QUOTEa+QUOTEb+c【解析】选C.因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是平行四边形,M是AC与BD的交点,所以=+,=-QUOTE=-QUOTE(+),所以=-c-QUOTEa-QUOTEb.4.已知点M在平面ABC内,并且对空间随意一点O,有=x+QUOTE+QUOTE,则x的值为 ()A.1 B.0 C.3 D.QUOTE【解析】选D.因为=x+QUOTE+QUOTE,且M,A,B,C四点共面,所以x+QUOTE+QUOTE=1,x=QUOTE.二、填空题(每小题5分,共10分)5.把全部单位向量的起点移到同一点,则这些向量的终点组成的图形是.

【解析】在空间中把全部的单位向量的起点移到同一点,则这些向量的终点组成的图形是以这些单位向量的公共起点为球心,半径为1的球面.答案:球面6.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O,则下列结论中正确的是①+与+是一对相等向量;②-与-是一对相反向量;③+++与+++是一对相反向量;④-与-是一对相等向量.【解析】依题意,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,有+=0,+=0,+=0,+=0,故(+++)+(+++)=0,③正确;+与+是相反向量,①错误;-=,-=,所以-=-,②错误;-=,-=,与是相反向量,所以④错误.答案:③三、解答题(每小题10分,共20分)7.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M是BB1的中点,化简下列各式,并在图中标出化简得到的向量(1)+;(2)++QUOTE;(3)--.【解析】(1)+=.(2)因为M是BB1的中点,所以=QUOTE.又=,所以++QUOTE=+=.(3)--=-=.向量,,如图所示,8.如图,已知M,N分别为四面体A-BCD的面BCD与面ACD的重心,G为AM上一点,且GM∶GA=1∶3.求证:B,G,N三点共线.【证明】设=a,=b,=c,则=+=+QUOTE=-a+QUOTE(a+b+c)=-QUOTEa+QUOTEb+QUOTEc,=+=+QUOTE(+)=-a+QUOTEb+QUOTEc=QUOTE,所以∥.又BN与BG有公共点B,所以B,G,N三点共线.(15分钟·30分)1.(5分)(多选题)已知空间向量,,,,则下列结论正确的是 ()A.=+ B.-+=C.=++ D.=+【解析】选BD.+=,故A错;-+=++=+=,故B正确;++=+,故C错;+=,故D正确.2.(5分)已知空间四边形OABC,其对角线为OB和AC,M,N分别是边OA,CB的中点,点G在线段MN上,且使MG=2GN,用向量,,表示向量是 ()A.=QUOTE+QUOTE+QUOTEB.=QUOTE+QUOTE+QUOTEC.=+QUOTE+QUOTED.=QUOTE+QUOTE+QUOTE【解析】选A.因为MG=2GN,M,N分别是边OA,CB的中点,所以=+=+QUOTE=+QUOTE(++)=QUOTE+QUOTE+QUOTE(-)=QUOTE+QUOTE+QUOTE.3.(5分)对于空间中的非零向量,,,有下列各式:①+=;②-=;③||+||=||;④||-||=||.其中肯定不成立的是.

【解析】依据空间向量的加减法运算,对于①:+=恒成立;对于③:当,,方向相同时,有||+||=||;对于④:当,,共线且,方向相同,||>||时,有||-||=||.只有②肯定不成立.答案:②4.(5分)在三棱锥A-BCD中,若△BCD是正三角形,E为其中心,则化简+QUOTE-QUOTE-的结果为.

【解析】如图,延长DE交边BC于点F,则+QUOTE=,QUOTE+=+=,故+QUOTE-QUOTE-=0.答案:05.(10分)已知M,G分别是空间四边形ABCD的两边BC,CD的中点,化简下列各式.(1)+QUOTE(+);(2)-QUOTE(+).【解析】(1)如图所示,取BD的中点H,连接MG,GH.因为M,G分别为BC,CD的中点,所以四边形BMGH为平行四边形,所以QUOTE(+)=+=,从而+QUOTE(+)=+=.(2)分别取AB,AC的中点S,N,连接SM,AM,MN,则四边形ASMN为平行四边形,所以QUOTE(+)=+=,所以-QUOTE(+)=-=.1.如图,已知空间四边形ABCD中,=a-2c,=5a+6b-8c,对角线AC,BD的中点分别为E,F,则=.(用向量a,b,c表示)

【解析】设G为BC的中点,连接EG,FG,则=+=QUOTE+QUOTE=QUOTE(a-2c)+QUOTE(5a+6b-8c)=3a+3b-5c.答案:3a+3b2.如图,已知OE是平行六面体OADB-CFEG的体对角线,点M是△ABC的重心,求证:点M在直线OE上.【证明】如图,连接AM并延长交BC于点H,因为M是△ABC的重心,所以H为BC的中点,