2024-2025学年新教材高中数学第五章统计与概率5.3.3古典概型学案含解析新人教B版必修第二册

PAGE1-5.3.3古典概型素养目标·定方向课程标准学法解读1.理解古典概型的两个特征．2．驾驭古典概型概率公式．3．能运用古典概型概率公式、互斥(对立)事务概率加法公式解决问题．通过本节课的学习，提升学生的数学建模、数学运算素养．必备学问·探新知学问点古典概型一般地，假如随机试验的样本空间所包含的样本点个数是__有限的__，而且可以认为每个只包含一个样本点的事务发生的__可能性大小都相等__，则称这样的随机试验为古典概率模型，简称古典概型．学问点古典概型的计算公式试验的样本空间包含n个样本点，事务C包含有m个样本点，则事务C发生的概率为：P(C)＝__eq\f(m,n)__思索：若一次试验的结果所包含的基本领件的个数是有限个，则该试验是古典概型吗？提示：不是，还必需满意每个基本领件出现的可能性相等．关键实力·攻重难题型探究题型样本点的计数┃┃典例剖析__■典例1袋中有红、白、黄、黑四种颜色且大小相同的四个小球．(1)从中任取一球；(2)从中任取两球；(3)先后各取一球．写出上面试验的样本空间，并指出样本点的个数．[解析](1)这个试验的样本空间为{(红)，(白)，(黄)，(黑)}，样本点的个数是4．(2)一次取两球，如记(红，白)代表一次取出红球、白球两个球，则本试验的样本空间为{(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑)}，样本点的个数是6．(3)先后取两球，如记(红，白)代表先取一红球，后取一白球．因此本试验的样本空间为{(红，白)，(白，红)，(红，黄)，(黄，红)，(红，黑)，(黑，红)，(白，黄)，(黄，白)，(白，黑)，(黑，白)，(黄，黑)，(黑，黄)}，样本点的个数是12．规律方法：列样本点的三种方法及留意点(1)列举法：一一列出全部样本点的结果，一般适用于较简洁的问题．(2)列表法：一般适用于较简洁的试验方法．(3)树状图法：一般适用于较困难问题中样本点的个数的探求．留意点：取两个球时，有无依次；依次取两球时，取球是否放回．┃┃对点训练__■1．(1)从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，满意b＞a的样本点有(A)A．3个 B．9个C．10个 D．15个(2)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则基本领件的个数为__25__．[解析](1)把所取的数a，b写成数对(a，b)的形式，则样本点有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1),(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，其中满意b＞a的有(1,2)，(1,3)，(2,3)共3个．(2)从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的状况如图：基本领件总数为25．题型古典概型的推断┃┃典例剖析__■典例2袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区分于其他球的编号，从中摸出一个球．(1)有多少种不同的摸法？假如把每个球的编号看作是一个基本领件概率模型，该模型是不是古典概型？(2)若按球的颜色为基本领件，有多少个基本领件？以这些基本领件建立概率模型，该模型是不是古典概型？[分析]依据推断一个概率模型是否为古典概型的依据“有限性”和“等可能性”进行求解．[解析](1)由于共有11个球，且每个球有不同的编号．故共有11种不同的摸法，又因为全部球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等，故以球的编号为基本领件的概率模型为古典概型．(2)由于11个球共有3种颜色，因此共有3个基本领件，分别记为A：“摸到白球”，B：“摸到黑球”，C：“摸到红球”，因为全部球大小相同，所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为eq\f(1,11)．因为白球有5个，所以一次摸球摸中白球的可能性为eq\f(5,11)．同理可知，摸中黑球、红球的可能性均为eq\f(3,11)．明显这三个基本领件出现的可能性不相等，所以以颜色为基本领件的概率模型不是古典概型．规律方法：(1)一个试验是否为古典概型，在于是否具有两个特征：有限性和等可能性．(2)并不是全部的试验都是古典概型，下列三类试验都不是古典概型；①基本领件个数有限，但非等可能．②基本领件个数无限，但等可能．③基本领件个数无限，也不等可能．┃┃对点训练__■2．下列问题中是古典概型的是(D)A．种下一粒杨树种子，求其能长成大树的概率B．掷一颗质地不匀称的骰子，求出现1点的概率C．在区间[1,4]上任取一数，求这个数大于1.5的概率D．同时掷两颗骰子，求向上的点数之和是5的概率[解析]A、B两项中的基本领件的发生不是等可能的；C项中基本领件的个数是多数多个；D项中基本领件的发生是等可能的，且是有限个．题型古典概型的概率┃┃典例剖析__■典例3某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参与活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.嘉奖规则如下：①若xy≤3，则嘉奖玩具一个；②若xy≥8，则嘉奖水杯一个；③其余状况嘉奖饮料一瓶．假设转盘质地匀称，四个区域划分匀称．小亮打算参与此项活动．(1)求小亮获得玩具的概率；(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．[解析]用数对(x，y)表示儿童参与活动先后记录的数，则基本领件空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4，1≤y≤4}一一对应．因为S中元素的个数是4×4＝16，所以样本点总数n＝16．(1)记“xy≤3”为事务A，则事务A包含的样本点共5个，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)．所以P(A)＝eq\f(5,16)，即小亮获得玩具的概率为eq\f(5,16)．(2)记“xy≥8”为事务B，“3＜xy＜8”为事务C．则事务B包含的样本点共6个，即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，所以P(B)＝eq\f(6,16)＝eq\f(3,8)．事务C包含的样本点共5个，即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，所以P(C)＝eq\f(5,16)，因为eq\f(3,8)＞eq\f(5,16)，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．规律方法：求古典概型概率应按下面四个步骤进行：(1)细致阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意．(2)推断本试验的结果是否为等可能事务，设出所求事务A．(3)分别求出样本点的总数n与所求事务A中所包含的样本点个数m．(4)利用公式P(A)＝eq\f(m,n)求出事务A的概率．┃┃对点训练__■3．某旅游爱好者安排从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游．(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各选1个，求这两个国家包括A1，但不包括B1的概率．[解析](1)由题意知，从6个国家中任选两个国家，其一切可能的结果组成的样本空间Ω＝{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)}，共15个样本点．所选两个国家都是亚洲国家的事务所包含的样本点有：(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3个，则所求事务的概率为P＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5)．(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的样本点有：(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，共9个．包括A1但不包括B1的事务所包含的样本点有：(A1，B2)，(A1，B3)，共2个，则所求事务的概率为P＝eq\f(2,9)．易错警示┃┃典例剖析__■典例4某校从A、B、C、D四名同学中随机选派两人分别去参观甲、乙两个工厂，求学生A被选中的概率．[错解]从A、B、C、D四名同学中随机选两人所得的样本点有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共6个．记“学生A被选中”为事务M，事务M包含的样本点有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，共3个，∴P(M)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)．[辨析]错解中忽视了从A、B、C、D四名学生中随机选两人分别去参观甲、乙两个工厂是有依次的．[正解]从A、B、C、D四名同学中随机选派两人分别去参与