《极值问题的求解方法及在实际问题中的应用探究》5700字（论文）

极值问题的求解方法及在实际问题中的应用研究TOC\o"1-3"\h\u27760摘要 130181.研究背景及意义 2303182.概述极值问题 2136892.1极值的定义 2293762.2一元函数极值与多元函数极值之间的联系与区别 28503.极值问题的求解 3142653.1一元函数极值问题的求解 3319643.1.1一元函数极值的充分必要条件 3119823.1.2一元函数极值的求法 4142223.2二元函数极值问题的求解 5166633.2.1二元函数极值的充分必要条件 5299993.2.2二元函数极值的求法 6200293.3多元函数极值问题的求解 8278393.3.1多元函数极值的充分必要条件 9141183.3.2多元函数极值的求法 9415708.极值在实际问题中的应用 234294.2.3库存优化管理 15186634.2.4成本最小问题 15285424.2.5复利问题 16254605.结语 1719887参考文献： 20提要函数的极值多年来一直是数学研究的重要方向之一,函数极值不但是函数的一个重要特征,同时在实际生活应用过程中也具有非常重要地位.本文通过对函数极值讨论以及求解方法的举例说明，通过对数学的极值进行分析,提出函数极值在实际生活中的意义,从日常生活可见的问题入手,以具体实例来展示数学极值与日常生活的紧密联系.关键词：函数；函数极值；极值应用1.研究背景以及研究意义在我们的日常生活实践中，以及科学技术生产活动中,往往需要我们去解决很多极值问题.这些极值问题一般情况下都可以用一些初等的数学方法去解决.比如求导法就是目前最有效的方法之一.如何求函数的极值是从古至今数学家们研究的一个重要问题之一.数学作为一门基础的自然学科，但同时也为我们的社会科学做出很多必要的贡献.我们在研究一些社会学科的同时，往往会用相关的数据建立一些数学模型，或者用函数去模拟一些变化.社会发展变化多端，函数自身也是变化多端，而函数极值也成为了人们日常生活必不可少的一个数学工具.对于如何求函数的极值，我们经常会用不等式的方法、求导的方法、从矩阵的角度去求解极值、乘数法求解函数极值等.由于自变量的增多，多元函数变得更加复杂，所以这些繁杂函数的极值问题在形式上很难求解.同时，在解决问题的过程中，我们还需要考虑把一些必要的条件，故我们在解决这个问题的时候不能不考虑约束条件，如何有效快捷的计算出解就需要我们有一个最好的计算方法.2.概述极值问题2.1极值的定义定义1：假设在区间内，函数的定义为.假如在的其中一个去心领域的情况，那么我们就可以认为是函数的极大值；反之，假如的其中一个去心领域里存在的情况，那么我们就可以认为是函数的极小值.注：（1）极值点首先是内点；极值点处函数有定义就行.2.2一元函数极值与多元函数极值之间的联系与区别多元函数是将一元函数加以推广，将自变量的变化范围由平常的一维空间上升到多维空间，虽然同时它保留了一元函数的很多性质，但是自变量的复杂性使得多元函数的相关研究非常复杂.通过极值的定义，我们可以知道极值只是关于一个点的部分概念，是临界值的最小点，但是不一定是最值，函数的求极值的方法需要更多的技巧.但我们仍离不开临界点以及二阶导数这样的相关概念.接下来，我们将由一元函数求极值的方法扩展到多元函数求极值寻找最佳方法.3.极值问题的求解3.1一元函数极值问题的求解3.1.1一元函数极值的充分必要条件定理1（必要条件）：设函数在点处可导，若在点处取得极值，则必有.特别需要我们关注的是有些函数在某点虽然连续但是不一定可以求导.例如在处就是连续但是不可求导.注意：满足的点不一定是极值点；找极值点的时候可以先找的点.定理2（第一充分条件）：设在处连续，其在的某去心邻域内可导，，处取极大值.因此，如果在处可导且，但在的两侧同正或同负，那么就不是的极值点，在处不取极值.定理3（第二充分条件）：设函数在处具有二阶导数且，那么时，是函数的极值点,为的极值，当时,处取极小值；当时,处取极大值；当或者不存在时，此条件失效.此时需要运用一元函数极值的第一充分条件求解.3.1.2一元函数极值的求法求解一元函数的导数进而求解函数的极值，这样的方法是求解函数极值问题的最基本的办法.通常来说导数法第一步是求解定义域、第二步求解函数的一阶导数使其为零求得驻点.然后分段讨论驻点左右的符号是否相反.也可以用函数极值存在的驻点和不可导点来求解函数极值点所在的区间范围，然后讨论函数极值是否是存在的.（1）求解函数的定义域；（2）令，然后求出所有的驻点；（3）考察每个驻点左右符号的正负，如果正负相反那么在此点取极值，否则不能取极值；（4）若，.当时,为极大值点,为极大值.当时,为极小值点,为极小值.当然也存在函数的一阶导数不存在的情况.如下：例1求在的极值.此函数在处连续但是不可以求导，但函数有极小值，极小值为0.例2：满足的点不一定是极值点，如在处存在导数，但是不存在极值.3.2二元函数极值问题的求解3.2.1二元函数极值的定义以及充分必要条件定义1设二元函数，若对该邻域内任何一个的点都有：，则称二元函数在点处有极大值（或极小值）.定理1（二元函数极值的必要条件）：设函数在点具有偏导数，且在点处有极值，则有证明：不妨设在点处有极大值，根据极大值的定义，，对.显然若则，即一元函数在点处取极大值.则类似的有满足同时成立的点称为的驻点.具有偏导数的极值点一定是驻点，但驻点不一定是极值点.例如，点是的驻点，但不是极值点.若偏导存在，则可先找驻点以缩小极值点的范围.定理2：（二元函数极值的充分条件）：设函数在点的某个邻域内具有二阶连续偏导数，且为的驻点，那么记.（1）当时，是极值；且是极小值，当时，是极大值.（2）当时，不是极值；（3）当时，是否为极值需要用其他方法判别.3.2.2二元函数极值的求法二元函数极值分为无条件极值以及条件极值.其中条件极值是指对自变量只有定义域的限制，而条件极值对自变量除了定义域限制外还有其他条件限制.1.无条件极值：对于具有二阶连续偏导数的函数，求其极值的步骤为：（1）：解方程组求得所有驻点；（2）求得二阶偏导数：并求出每一个驻点处的值.（3）定出每一个驻点处的符号，按照定理判定是否是极值，是极大值还是极小值.例2：求函数的极值.解：解方程组，得到四个驻点分别是然后再求二阶偏导数又，，在点处所以是极大值；在点处所以不是极值；在点处所以也不是极值；在点处所以是极小值.注：如果函数在所考虑的区域内偏导数存在，则函数的极值只可能在驻点处取得，但偏导数不存在的点也可能是函数的极值点.例如函数在点偏导数不存在，但该函数在点取得极小值.2.条件极值：对于二元函数在约束条件下的条件极值：方法1：可用消元法将二元函数转化为一元函数的极值问题.例3：已知正数满足，求的极小值.解：当且仅当，求得时，的极小值为.方法2：拉格朗日乘数法若在条件下求二元函数的极值，那么可以（1）引入辅助函数则极值点满足解三元方程组可以得到方程的可疑点.代入相应的取值进行判断.其中，辅助函数称为拉格朗日函数.利用拉格朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.例4：求函数在条件下的极值.解：作拉格朗日函数令解得可疑点且故函数在条件下的极小值为，极大值为.3.3多元函数极值的求解方法3.3.1多元函数极值的充分必要条件定理3:（必要条件）设为元行向量空间，元函数若在点可微且取极值，则必为的驻点；若在存在连续的二阶偏导数，为在的矩阵，则1）在点取极小值时，矩阵为正定或半正定；2）在点取极大值时，矩阵为负定或半负定；3）在点不取极值时，矩阵为非定号；注：在点驻点，但驻点不一定是极值点.在点定理4:（充分条件）：用黑塞矩阵设有连续的二阶偏导数，设是函数的驻点：令在点黑塞矩阵为对称矩阵,，那么，（1）若是正定矩阵，则是极小值.（2）若是负定矩阵，则是极大值.（3）若是不定矩阵，则不是极值.3.3.2多元函数极值的求法第1步：求出函数的可疑点.首先，求出函数的所有驻点，根据定理3，然后考虑.第二步：对，首先，计算的再根据定理4判断进而的出极值.例5.求三元函数的极值.解：先求驻点经过计算得，得到驻点求二阶偏导数得到驻点的黑塞矩阵顺序主子式;,故函数在驻点取得极小值.4.极值在实际问题中的应用4.1极值在数学问题中的应用4.1.1一元函数的最值问题例1：（导数法）求函数的极值为多少？解：对函数进行求导得，此时，令得到，点，而当时，.所以对于函数，有-0增0减-0.33增所以是极大值点，其极大值为.所以是极大值点，其极大值为.4.1.2二元函数的最值问题例2：（无条件极值）求函数的最值.解:然后可以解方程组，得到驻点，所以这两点都有可能会是极值点，通过计算二阶导可得在驻点处则因此在点处没有极值.在驻点处，则因此在点处取得极小值例3:（拉格朗日乘数法）已知平面上两定点试在椭圆圆周上求一点,使解：设点坐标为，则==设拉格朗日函数解方程组得驻点，求得对应面积4.1.3多元函数的最值依据函数在闭域上连续可以得到函数在闭域上可达到最值，最值得可疑点分别为区域内的驻点以及边界上的最值点，特别，在区域函数只有一个极值点时，经判别得为极值，那么此时也为最值，也就是说当区域内部最值存在，且有且只有唯一的一个驻点时，那么该驻点一定是最值点.例4：在旋转椭球面上内接一个顶点在椭球面上且表面平行于坐标面的长方体.问怎么选取长宽高才能使内接长方体的体积最大？解：设这个顶点坐标为则设拉格朗日函数，，故当长方体的长宽高分别取时，内接长方体体积最大.4.2极值在社会生产与经济生活中的应用4.2.1需求分析恩格尔系数是反映国家和地区的居民生活水平状况的定律，一个家庭或一个经济体中，食物的支出在收入中所占的比例随着收入的增加而减少.也就是说对于一个家庭或者经济体来说，富裕的程度越高，食物支出的需求也就越小，反之，食物支出的需求越大，这就是著名的恩格尔定律.恩格尔函数是表示消费者的收入于某一商品的需求量之间的关系的一种函数关系.一般来说，如果生活越贫困，那么恩格尔系数就越大，如果生活越富裕，那么恩格尔系数也就越小.例4.有一种食品在市场上的需求量满足恩格尔函数关系，那么请问这个食品属于正常的商品吗，分析说明它在经济学中的意义.解：对题中所给的恩格尔函数关系求到的，所以食品是正常的商品.又，，也就是说该商品的需求量随着消费者的收入可以从零增加到2000.又，那么2000为最大需求量.4.2.2效用最大化例5.工厂现在只有万元，但工厂现在急需购买两种物品，设工厂购买了个产品，产品才能达到最佳效果.效用函数为.设每个产品万元，产品万元，问工厂如何分配这万元以达到效用最大化.问题的实质：求效用函数在满足约束条件下的极值点.解：设拉格朗日辅助函数为：则有，解得唯一驻点所以工厂应该购进个产品，产品能达到效最大化.4.2.3库存优化管理社会经济活动是离不开仓库存储的，如果存储量过多可能会造成资源的闲置和资金的积压，而如果存储量不足又可能会面临供不应求的情况，都将会影响正常的生产活动的顺利开展以及丧失获得最大利润的机会.因此，我们要科学地作出存货决策，通过正确的管理方法来降低企业的平均资金占用水平.提高存货的流转速度从而提升企业的经济收益.例6：为，为订购批次？解：（件/批）；(批/年)；最优进货周期(天）最小总费用（元）4.2.4成本最小问题在生产活动中，我们预想获得最大的利润其中有一点就是使成本最小.根据企业现拥有的资金，以及想要达到的目标产量，我们需要是成本最小.而达到利润最大的管理决策，这就是成本最小化问题.我们需要构建相关的函数关系，通过对其求值.得到成本最小，利润最大最佳方案.例7.设成本函数为，试求平均成本最小的产量水平.解：平均成本为；；令解得.由于()所以是平均成本的极小值点，此时平均成本等于边际成本，也就是平均成本最小的产量水平.4.2.5复利问题一般讲在生产生活中需要资金，而如果资金匮乏的情况下就会向银行贷款，向银行贷款就会存在利息问题.在经济生活中，理性的人是会将利益最大化，也就是在一定情况下贷款令利息达到最小，或者存款利息最大.一般意义上利息是按国家规定或者银行规定的利率和期限付息.例8:某企业根据现有资源与技术条件，本来计划今年投资可以得到元，明年可以得到元，已知与之间满足关系式:(也叫投资机会线或转换曲线)，此时假设今年年利率为，每年计算复利一次，问该厂应当怎样调整投资，使今年公司的现值最大?解:设为今年和现值，则.据题意，取最大值，那么及也就是要使得及，由于，所以当，，可调整投资使满足，此时，可以达到现值最大化.5结语无论是在经济活动领域中还是在其他社会活动中，函数的极值在我们生活中无处不见.成本低，库存低，银行贷款利息低，投资收益高，利润达到最大化.是每一个经济人所最希冀的蓝图.这就需要我们将这些生产活动构建成数学模型进而实现可视化分析.数学模型来源于生活，回归于生活.经济形势瞬息万变，以陈旧的观念，陈旧的计算方式远远不能应对这复杂变换的形式，顺应时代发展，以量化来衡量社会生产，得到相关指标，建立数学模型，将数学运用到社会经济发展当中去.如何合理规划企业发展，资本的投入以及商品生产到最后的销售环节，这就要求决策者能够清楚的理清其间的关系以及相关的数