2024-2025学年广东省广州市荔湾区八年级（上）期末数学试卷

第1页（共1页）2024-2025学年广东省广州市荔湾区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（3分）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面四个汉字中（）A． B． C． D．2．（3分）在显微镜下，有一种细胞形状可以近似地看成圆形，它的半径约为0.00000078米n，则n的值为（）A．7 B．6 C．﹣7 D．﹣63．（3分）下列运算正确的是（）A．（a+2）2＝a2+4 B．（3a2）3＝27a6 C． D．4．（3分）下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（）A．3（a+b）＝3a+3b B．a2﹣a+1＝a（a﹣1）+1 C．a2+2a+4＝（a+2）2 D．a2﹣9＝（a+3）（a﹣3）5．（3分）如果（x+m）（x+3）＝x2﹣x﹣12，则m的值为（）A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．26．（3分）若长度分别为a，4，7的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（）A．11 B．4 C．3 D．27．（3分）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，过点A、C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS8．（3分）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数是（）A．40° B．64° C．76° D．86°9．（3分）如图，将△ABC放在每个小正方形边长均为1的网格中，点A、B、C均落在格点上（2，﹣1），则到△ABC三个顶点距离相等的点的坐标为（）A．（0，1） B．（3，1） C．（1，﹣1） D．（0，0）10．（3分）如图1，已知△ABD和△ACD关于直线AD对称；在射线AD上取点E，CE，如图2，CF，如图3，第n个图形中全等三角形的对数是（）A．n B．2n﹣1 C． D．3（n+1）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.）11．（3分）平面直角坐标系中，点（1，2）与点关于y轴对称．12．（3分）若分式有意义，则x的取值范围是．13．（3分）若实数a、b满足a+b＝5，a2b+ab2＝﹣15，则ab的值是．14．（3分）已知一个正多边形每个内角都是120°，则这个正多边形共有条对角线．15．（3分）如图，在△ABC中，点M在BC边上，垂足为N，MN平分∠AMC，AN＝3，则△ABC的周长为．16．（3分）如图，在直角△ABC中，∠ABC＝90°，满足AC＝AD，点E为BC上一点，DE，∠CAD＝2∠BAE．有下列结论：①∠ACB＝∠ADE；③DE﹣BE＝BE+CE；④若CD∥AB．三、解答题（本大题共9小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（4分）计算：（1）（2a）3（﹣5ab2）；（2）（a+1）（a﹣1）﹣（a﹣1）．18．（4分）解分式方程：．19．（6分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中点A（﹣3，5），B（﹣5，2），C（﹣1，3），直线l经过点（0，1）（1）在图中画出△ABC关于直线l对称的△A′B′C′，并写出点A′的坐标；（2）若点P（a，b）是△ABC内部一点，点P关于直线l的对称点为Q，则b的值为．20．（6分）先化简：，然后从﹣1≤x≤2中选一个合适的整数作为x的值代入求值．21．（8分）两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成（x﹣1）（x﹣9），另一位同学因看错了常数项而分解成（x﹣2）（x﹣4）．（1）求原来的二次三项式；（2）将（1）中的二次三项式分解因式．22．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．（1）求证：AC＝AE；（2）若E是AB的中点，CD＝4，求BD的长．23．（10分）某景区有一片蔬果采摘园，小荔决定采摘一些新鲜蔬果．已知西红柿和土豆的采摘价格分别是每千克6元和每千克3元，采摘这两种蔬果一共支付了210元（1）求西红柿和土豆各采摘了多少千克；（2）小荔计划参加爱心义卖活动，将采摘的部分蔬果拿去义卖，已知西红柿和土豆的义卖所得分别是60元和90元，土豆比西红柿多卖出12千克，求土豆和西红柿各自的义卖单价（列分式方程解应用题），那么扣除采摘成本后，义卖所得是多少元．24．（12分）为了测量一条两岸平行的河流宽度（跨河测量困难），三个数学小组开展了课题研究．他们在河西岸的点B处，利用工具测得河东岸的一棵树底部A点恰好在点B的正东方向，具体如表：课题测量河流宽度工具测量角度的仪器（仪器的高度忽略不计）、标杆、皮尺小组第一小组第二小组第三小组测量方案如图1，从点B向正南方向走到点C，此时恰好测得∠ACB＝45°．如图2，从点B向正南方向走到点D，O是BD的中点，直到点A，O，E在一条直线上．测量方案示意图（1）由第一小组的方案可知，河宽AB的长度就是线段的长度；（2）第二小组在实际测量中，从点D走到点F处时发现前方有大石头挡路（如图4），他们商议后决定改变路线，继续前行至点H，满足点A，O，你认为他们的方案是否可行．如果可行，请给出证明，请说明理由；（3）请你代表第三小组设计一个测量方案，把测量方案和测量方案示意图填入表格，然后指明你画的示意图中，就能推算出河宽AB长，并证明方案的可行性．25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点A（a，0），B（0，b），b满足a2+2ab+b2+（b﹣6）2＝0，点D为线段AB上一动点，连接OD．（1）直接写出a＝，b＝；（2）点P是射线OD上一点，连接PA，PB，∠APD＝30°．求△PBO的面积；（3）在（2）的条件下，点E是线段AB上一动点，连接DF．若OD＝a，求OF+DF的最小值（结果用含a的式子表示）．

2024-2025学年广东省广州市荔湾区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析题号12345678910答案AC．BDABACDC一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（3分）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面四个汉字中（）A． B． C． D．【解答】解：选项B、C、D的美术字不能找到这样的一条直线，直线两旁的部分能够互相重合，选项A的美术字能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，所以是轴对称图形，故选：A．2．（3分）在显微镜下，有一种细胞形状可以近似地看成圆形，它的半径约为0.00000078米n，则n的值为（）A．7 B．6 C．﹣7 D．﹣6【解答】解：∵0.00000078＝7.4×10﹣7，∴n等于﹣7．故选：C．3．（3分）下列运算正确的是（）A．（a+2）2＝a2+4 B．（3a2）3＝27a6 C． D．【解答】解：A、（a+2）2＝a7+4a+4，原计算错误；B、（2a2）3＝27a2，计算正确，故此选项符合题意；C、，原计算错误；D、不一定成立，故此选项不符合题意；故选：B．4．（3分）下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（）A．3（a+b）＝3a+3b B．a2﹣a+1＝a（a﹣1）+1 C．a2+2a+4＝（a+2）2 D．a2﹣9＝（a+3）（a﹣3）【解答】解：3（a+b）＝3a+4b是乘法运算，则A不符合题意；a2﹣a+1＝a（a﹣7）+1中等号右边不是积的形式，则B不符合题意；a2+7a+4≠（a+2）6，则C不符合题意；a2﹣9＝（a+2）（a﹣3）符合因式分解的定义，则D符合题意；故选：D．5．（3分）如果（x+m）（x+3）＝x2﹣x﹣12，则m的值为（）A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2【解答】解：（x+m）（x+3）＝x2+7x+mx+3m＝x2+（2+m）x+3m，∵（x+m）（x+3）＝x5﹣x﹣12，∴3+m＝﹣1，解得：m＝﹣4，故选：A．6．（3分）若长度分别为a，4，7的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（）A．11 B．4 C．3 D．2【解答】解：由三角形三边关系定理得：7﹣4＜a＜7+4，∴3＜a＜11，∴a的值可以是7．故选：B．7．（3分）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，过点A、C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS【解答】解：在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BAC＝∠DAC，∴AE就是∠PRQ的平分线，故选：A．8．（3分）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数是（）A．40° B．64° C．76° D．86°【解答】解：如图，在第一个三角形中．由全等三角形的性质可知∠1＝∠2＝76°．故选：C．9．（3分）如图，将△ABC放在每个小正方形边长均为1的网格中，点A、B、C均落在格点上（2，﹣1），则到△ABC三个顶点距离相等的点的坐标为（）A．（0，1） B．（3，1） C．（1，﹣1） D．（0，0）【解答】解：平面直角坐标系如图所示，AB与AC的垂直平分线的交点为点O，∴到△ABC三个顶点距离相等的点的坐标为（0，0），故选：D．10．（3分）如图1，已知△ABD和△ACD关于直线AD对称；在射线AD上取点E，CE，如图2，CF，如图3，第n个图形中全等三角形的对数是（）A．n B．2n﹣1 C． D．3（n+1）【解答】解：∵△ABD和△ACD关于直线AD对称，∴∠BAD＝∠CAD．在△ABD与△ACD中，∴△ABD≌△ACD（SAS）．∴图1中有1对三角形全等；同理图5中，△ABE≌△ACE（SAS），∴BE＝EC，∵△ABD≌△ACD．∴BD＝CD，在△BDE和△CDE中，∴△BDE≌△CDE（SSS），∴图2中有1+5＝3对三角形全等；同理：图3中有8+2+3＝5对三角形全等；由此发现：第n个图形中全等三角形的对数是．故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.）11．（3分）平面直角坐标系中，点（1，2）与点（﹣1，2）关于y轴对称．【解答】解：平面直角坐标系中，点（1，2）关于y轴对称．故答案为：（﹣3，2）．12．（3分）若分式有意义，则x的取值范围是x≠2．【解答】解：根据题意得x﹣2≠0，∴x≠7，故答案为：x≠213．（3分）若实数a、b满足a+b＝5，a2b+ab2＝﹣15，则ab的值是﹣3．【解答】解：∵a2b+ab2＝﹣15，∴ab（a+b）＝﹣15，又∵a+b＝4，∴ab＝﹣3，故答案为：﹣3．14．（3分）已知一个正多边形每个内角都是120°，则这个正多边形共有9条对角线．【解答】解：设这个正多边形的边数为n，根据题意得，（n﹣2）×180°＝120°n，解得n＝6，∴正六边形共有＝9条对角线，故答案为：9．15．（3分）如图，在△ABC中，点M在BC边上，垂足为N，MN平分∠AMC，AN＝3，则△ABC的周长为24．【解答】解：∵MN平分∠AMC，∴∠AMN＝∠CMN，∵MN⊥AC，∴∠ANM＝∠CNM＝90°，∵MN＝MN，∴△AMN≌△CMN（ASA），∴AM＝CM，AN＝CN＝3，∵△ABM的周长为18，∴AB+BM+AM＝18，∴AB+BM+CM＝AB+BC＝18，∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝18+3+7＝24，故答案为：24．16．（3分）如图，在直角△ABC中，∠ABC＝90°，满足AC＝AD，点E为BC上一点，DE，∠CAD＝2∠BAE．有下列结论：①∠ACB＝∠ADE；③DE﹣BE＝BE+CE；④若CD∥AB①③④．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝AD，延长EB至G，设AC与DE交于点M，∴AB⊥GE，∴AB垂直平分GE，∴AG＝AE，∠GAB＝∠EAB＝，∴∠BAE＝GAE，∴∠GAE＝∠CAD，∴∠GAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，∴∠GAC＝∠EAD，在△GAC与△EAD中，，∴△GAC≌△EAD（SAS），∴∠G＝∠AED，∠ACB＝∠ADE，故①正确，该选项符合题意；∵AG＝AE，∴∠G＝∠AEG＝∠AED，∴AE平分∠BED，当∠BAE＝∠EAC时，∠AME＝∠ABE＝90°，当∠BAE≠∠EAC时，∠AME≠∠ABE，故②是不正确的；设∠BAE＝x，则∠CAD＝2x，∴∠ACD＝∠ADC＝（180°﹣2x）＝90°﹣x，∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD＝90°﹣x，∴∠CAE＝∠BAC﹣∠EAB＝90°﹣x﹣x＝90°﹣7x，∴∠DAE＝∠CAE+∠DAC＝90°﹣2x+2x＝90°，∴AE⊥AD，故③正确，该选项符合题意；∵△GAC≌△EAD，∴CG＝DE，∵CG＝CE+GE＝CE+6BE，∴DE＝CE+2BE，∴DE﹣BE＝BE+CE，故④正确，该选项符合题意；故答案为：①③④．三、解答题（本大题共9小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（4分）计算：（1）（2a）3（﹣5ab2）；（2）（a+1）（a﹣1）﹣（a﹣1）．【解答】解：（1）（2a）3（﹣2ab2）＝8a4•（﹣5ab2）＝﹣40a5b2；（2）（a+1）（a﹣6）﹣（a﹣1）＝a2﹣5﹣a+1＝a2﹣a．18．（4分）解分式方程：．【解答】解：，方程可化为，方程两边同乘（x+8）（x﹣3），得（x﹣3）﹣（x+6）＝2x，解得x＝﹣3，检验：当x＝﹣7时，（x+3）（x﹣3）＝3，所以原分式方程无解．19．（6分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中点A（﹣3，5），B（﹣5，2），C（﹣1，3），直线l经过点（0，1）（1）在图中画出△ABC关于直线l对称的△A′B′C′，并写出点A′的坐标；（2）若点P（a，b）是△ABC内部一点，点P关于直线l的对称点为Q，则b的值为4．【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求．由图可得，点A′的坐标为（﹣3．（2）∵点P（a，b）关于直线l的对称点为Q，∴点Q的坐标为（a，2﹣b），∵PQ＝4，∴b﹣（2﹣b）＝6，解得b＝4，∴b的值为4．故答案为：4．20．（6分）先化简：，然后从﹣1≤x≤2中选一个合适的整数作为x的值代入求值．【解答】解：原式＝（﹣）÷＝•＝，∵x+1≠3且x﹣2≠0，∴x≠﹣5且x≠2，则可取x＝0，原式＝4．21．（8分）两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成（x﹣1）（x﹣9），另一位同学因看错了常数项而分解成（x﹣2）（x﹣4）．（1）求原来的二次三项式；（2）将（1）中的二次三项式分解因式．【解答】解：（x﹣1）（x﹣9）＝x6﹣9x﹣x+9＝x8﹣10x+9，（x﹣2）（x﹣7）＝x2﹣4x﹣5x+8＝x2﹣8x+8，∴原来的二次三项式为：x2﹣8x+9；（2）x2﹣8x+9＝（x﹣3）5．22．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．（1）求证：AC＝AE；（2）若E是AB的中点，CD＝4，求BD的长．【解答】（1）证明：∵AD平分∠CAB，∴设∠CAD＝∠EAD＝α，∴∠BAC＝2α，∵∠C＝90°，DE⊥AB，∴∠C＝∠DEA＝90°，CD＝CE，在Rt△ACD和Rt△AED中，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC＝AE；（2）解：∵点E是AB的中点，DE⊥AB，∴DE是AB的垂直平分线，∴BD＝AD，∴∠B＝∠EAD＝α，∵∠C＝90°，∴∠B+∠BAC＝90°，∴α+2α＝90°，∴α＝30°，∴∠CAD＝α＝30°，在Rt△ACD中，CD＝5，∴AD＝2CD＝8，∴BD＝AD＝3．23．（10分）某景区有一片蔬果采摘园，小荔决定采摘一些新鲜蔬果．已知西红柿和土豆的采摘价格分别是每千克6元和每千克3元，采摘这两种蔬果一共支付了210元（1）求西红柿和土豆各采摘了多少千克；（2）小荔计划参加爱心义卖活动，将采摘的部分蔬果拿去义卖，已知西红柿和土豆的义卖所得分别是60元和90元，土豆比西红柿多卖出12千克，求土豆和西红柿各自的义卖单价（列分式方程解应用题），那么扣除采摘成本后，义卖所得是多少元．【解答】解：（1）设西红柿采摘了x千克，土豆采摘了y千克，根据题意得：，解得：，答：西红柿采摘了10千克，土豆采摘了50千克；（2）设土豆义卖单价为m元/千克，则西红柿的义卖单价为5m元/千克，根据题意得：﹣＝12，解得：m＝5，经检验，m＝2是原方程的解，∴土豆义卖单价为5元/千克，西红柿的义卖单价为10元/千克，∴扣除采摘成本后，义卖所得是60+90﹣210＝﹣60（元），答：扣除采摘成本后，义卖所得是﹣60元．24．（12分）为了测量一条两岸平行的河流宽度（跨河测量困难），三个数学小组开展了课题研究．他们在河西岸的点B处，利用工具测得河东岸的一棵树底部A点恰好在点B的正东方向，具体如表：课题测量河流宽度工具测量角度的仪器（仪器的高度忽略不计）、标杆、皮尺小组第一小组第二小组第三小组测量方案如图1，从点B向正南方向走到点C，此时恰好测得∠ACB＝45°．如图2，从点B向正南方向走到点D，O是BD的中点，直到点A，O，E在一条直线上．从B点向正北走到C点，使用测量角度的仪器测得∠BCD＝∠BCA＝65°，CD交AB延长线于D测量方案示意图（1）由第一小组的方案可知，河宽AB的长度就是线段BC的长度；（2）第二小组在实际测量中，从点D走到点F处时发现前方有大石头挡路（如图4），他们商议后决定改变路线，继续前行至点H，满足点A，O，你认为他们的方案是否可行．如果可行，请给出证明，请说明理由；（3）请你代表第三小组设计一个测量方案，把测量方案和测量方案示意图填入表格，然后指明你画的示意图中，就能推算出河宽AB长，并证明方案的可行性．【解答】解：（1）∵AB⊥BC，∠ACB＝45°，∴∠CAB＝90°﹣45°＝45°，∴∠ACB＝∠CAB＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴BC＝AB，∴河宽AB的长度就是线段BC的长度．故答案为：BC；（2）第二小组的方案可行，证明如下：∵点A，O，H在一条直线上且点H在BD左侧，∴延长AH交DF的延长线于点E，如图4所示：∵O是BD的中点，AB⊥BD，∴OB＝OD，∠ABO＝∠EDO＝90°，在△ABO和△EDO中，，∴△ABO≌△EDO（AAS），∴AB＝DE，∠BAO＝∠E，设∠AOB＝α，则∠BAO＝∠E＝90°﹣α，又∵∠EFH＝2∠AOB＝4α，∴在△EFH中，∠FHE＝180°﹣（∠E+∠EFH）＝180°﹣（90°﹣α+2α）＝90°﹣α，∴∠FHE＝∠E＝90°﹣α，∴EF＝FH，∴DE＝DF+EF＝DF+FH，∴AB＝DF+FH，故第二小组的方案可行．（3）第三小组的设计方法是：观测者从B点向正北走到C点，使用测量角度的仪器测得∠BCD＝∠BCA＝65°，此时线段BD的长就是河宽AB长，理由如下：∵AB⊥BC，∴∠ABC＝∠DBC＝