2024-2025学年江苏省南通市海门市高二上学期期末调研数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年江苏省南通市海门市高二上学期期末调研数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.直线x−3y−1=0的倾斜角为A.π6 B.π3 C.2π32.已知函数f(x)=x，则式子表示A.f(x)在处的导数 B.f(x)在x=1处的导数

C.f(x)在[1 , 1+△x]上的平均变化率 D.f(x)在[1−△x , 1]上的平均变化率3.下面导数运算错误的是(

)A.(sinπ6)′=0 B.1x′4.以A(−1 , 1) , B(2 , −1) , C(3 , 7)为顶点的三角形是A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形5.已知双曲线C的焦点在x轴上，两条渐近线为y=±13x，则CA.223 B.103 6.已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，a1A.9 B.1+22 C.3 7.下列直线被椭圆C:x22+y2=1截得的弦长大于A.y=−x B.y=−x−1 C.y=x−1 D.y=x+8.若P为直线l:x−y+1=0上动点，A(−1 , −1)，B在圆C:(x−1)2+y2=1A.23 B.3 C.5二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知直线l1:x−y=1，直线l2:mx+ny=m(mn≠0)A.l1在y轴上的截距为−1 B.l2恒过点(0 , 1)

C.当m−n=0时，l1⊥l210.已知数列{an}的前n项和为Sn，且aA.a2n<a2n+1 B.2an=an−1+a11.探照灯应用了抛物线的光学性质“从焦点处发出的光线经过抛物线反射后变成与抛物线的对称轴平行的光线射出”.已知一探照灯的轴截面是抛物线C:y2=4x(顶点在原点O)，从焦点F射出两条互为反向的光线经C上的点P , Q反射，若直线PQ的倾斜角为θA.当θ=45∘时，P , Q处两条反射光线所在直线的距离为42

B.当θ=45∘时，△OPQ的面积为2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若函数f(x)=xsinx，则f′(π)=______．13.已知圆C1:x2+y214.一点从起点P出发，每次只能向右、向上或向左移动一步，恰好走n(n∈N∗)步且不经过已走的路线和点共有f(n)种走法，如f(1)=3 , f(2)=7，则f(3)=

，数列{f(n)}相邻三项的递推关系式为

．

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知函数f(x)=ln(1)求f(x)；(2)若曲线y=f(x)在(1 , f(1))处的切线与曲线y=g(x)也相切，求a．16.(本小题15分)已知圆C经过点O(0 , 0) , A(1 , 1) , B(4 , 2)．(1)求圆C的方程；(2)求过点A且与圆C相切的直线的方程；(3)过B引直线l与圆C交于另一点D，若BD=8，求l的斜率．17.(本小题15分)已知点A(4 , 0) , B(0 , 4)，直线l:mx−y+1−m=0(m∈R)．(1)若l与线段AB有交点，直接写出m的取值范围；(2)若m>0，设l与直线AB及x轴分别交于C，D两点，求△ACD面积的最小值．18.(本小题17分)若等差数列{an}的公差为正整数，且首项为1(1)若等差数列{bn}满足b4−(2)设Sn是数列{cn}的前n项和，(i)求cn(ii)是否存在“T数列”{an}，存在正整数m，对于任意k∈N∗，当k≤m时，恒有(c19.(本小题17分)已知A(−3 , 0) , B(3 , 0)，直线AM , BM相交于点M，且它们的斜率之积是−89，点M的轨迹记为(1)求轨迹C的方程；(2)设P , Q是线段AB的从左至右的两个三等分点．(i)试比较1MP+1(ii)若直线MP，MQ分别与曲线C相交于另一点E和F，直线PF与C交于另一点G，求证：直线EG经过一定点．

参考答案1.A

2.C

3.D

4.B

5.B

6.C

7.A

8.D

9.AC

10.ABD

11.ACD

12.−π

13.2

14.17；f(n+2)=2f(n+1)+f(n)

15.解：(1)因为f′(x)=1x+2f′(1)，所以f′(1)=1+2f′(1)，即f′(1)=−1，

所以f(x)=lnx−2x

(2)因为f(1)=−2，所以f(x)在(1,−2)处的切线方程为y+2=−(x−1)，即y=−x−1，

设y=g(x)在(x0,g(x0))处切线为y=−x−1，因为g′(x)=x+a，

所以x016.解：(1)因为AO的中垂线为：x+y−1=0，OB的中垂线为：2x+y−5=0，

联立x+y−1=0,2x+y−5=0,解得x=4，y=−3，

所以圆心C(4,−3)，所以圆的半径r=OC=42+(−3)2=5，

所以圆C的标准方程为(x−4)2+(y+3)2=25；

(2)由(1)得圆C的圆心为(4,−3)，半径为5，因为A在圆C上，所以切线与直线AC垂直，

因为直线AC的斜率为1−(−3)1−4=−43，

所以切线的方程为y−1=34(x−1)，即3x−4y+1=0；

(3) l的斜率一定存在，设为k，所以l的方程为kx−y−4k+2=0，

设圆心C到l的距离为d，因为17.解：(1)因为直线AB:x+y−4=0，联立x+y−4=0,mx−y+1−m=0

所以交点C(m+3m+1,3m+1m+1)，

因为C在线段AB上，所以0≤m+3m+1≤4，即m+3m+1×(m+3m+1−4)≤0，解得(m+3)(3m+1)(m+1)2≥0，

所以m≤−3或m≥−13．

(2)因为直线AB:x+y−4=0，联立x+y−4=0,mx−y+1−m=0所以交点C(m+3m+1,3m+1m+1);

令l:mx−y+1−m=0中y=0，则x=m−1m，所以D(m−1m,0)，

因为m>018.解：(1)设等差数列bn的公差为d，因为b4−b1=2b2，所以d=2b1 ①，

因为b2+b4=b6−1，所以2b3=2b1+4d=b1+5d−1，即b1+1=d②，

由①②得，b1=1，d=2，所以等差数列bn是“T数列”;

(2)(i)因为Sn+3=3cn，所以n≥2，Sn−1+3=3cn−1，

两式相减得，cn=3cn−3cn−1，即2cn=3cn−1，

因为c1=32，所以cn≠0，所以cncn−1=32(n≥2)，

所以数列{cn}构成公比和首项均为32的等比数列，所以cn=(32)n．

(ii)假设存在“T数列”an且其公差为d(d≥1,d∈N∗)，满足存在正整数m，对于任意k∈N∗，

当k≤m时，恒有(ck−ak19.解：(1)设M(x,y)，因为直线AM，BM的斜率之积是−89，

所以yx+3×yx−3=−89，(x≠±3)，

化简得，x29+y28=1(y≠0)，

(2)因为A(−3,0)，B(3,0)，P，Q是线段AB的从左至右的两个三等分点，

所以P(−1,0)，Q(1,0)，

设x29+y28=1(y≠0)的焦点坐标为(±c,0)，所以c2=9−8=1，即c=1，

所以P(−1,0)，Q(1,0)为C的焦点，

(i)因为|MP|+|MQ|=6，所以1|MP|+1|MQ|=6|MP||MQ|≥6|MP|+|MQ|22=23>12，

所以1|MP