2024-2025学年高二上学期期末数学考点《数列求通项与求和》含答案解析

高中PAGE1高中清单08数列求通项与求和（个考点梳理+题型解读+提升训练）【清单01】累加法（叠加法）若数列满足，则称数列为“变差数列”，求变差数列的通项时，利用恒等式求通项公式的方法称为累加法。【清单02】累乘法（叠乘法）若数列满足，则称数列为“变比数列”，求变比数列的通项时，利用求通项公式的方法称为累乘法。【清单03】数列求通项（法）对于数列，前项和记为；①；②②：法归类角度1：已知与的关系；或与的关系用，得到例子：已知，求角度2：已知与的关系；或与的关系替换题目中的例子：已知；已知角度3：已知等式中左侧含有：作差法（类似）例子：已知求【清单04】构造法用“待定系数法”构造等比数列形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式.【清单05】倒数法用“倒数变换法”构造等差数列类型1：形如（为常数，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，即：，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得.类型2：形如（为常数，，，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，可通过换元：，化简为：（此类型符构造法类型1：用“待定系数法”构造等比数列：形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式.）【清单06】裂项相消法1、等差型=1\*GB3①特别注意②如：（尤其要注意不能丢前边的）2、无理型=1\*GB3①如：3、指数型①如：【考点题型一】累加法求通项核心方法：形如：【例1】（24-25高二上·山东·期中）在数列中，，则的通项公式为．【变式1-1】（24-25高二上·上海·期中）若数列满足，且（其中，），则的通项公式是．【考点题型二】累乘法求通项核心方法：形如：【例2】（2024·陕西西安·模拟预测）设数列的前项和为，且．(1)求数列的通项公式；【变式2-1】（23-24高三上·四川成都·期末）已知数列数列满足，，其中n∈N*．(1)求数列的通项公式；【考点题型三】已知与的关系；或与的关系核心方法：用，得到【例3】（24-25高三上·辽宁沈阳·期中）已知数列的前项和为，且满足.(1)求数列的通项公式；【变式3-1】（2024·广东佛山·一模）已知数列的前项和为，且.(1)求数列的通项公式；【考点题型四】已知与的关系；或与的关系核心方法：替换题目中的【例4】（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，，且，求通项公式．【变式4-1】（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知数列中，，且，为数列的前项和，，数列bn是等比数列，，．(1)求数列和bn的通项公式；【考点题型五】已知等式中左侧含有：核心方法：作差法（类似）【例5】（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知数列满足：，数列bn满足：.(1)求数列的前15项和；【变式5-1】（24-25高三上·重庆·期中）已知数列满足，则（

）A．2 B． C． D．【考点题型六】数列求通项之构造法（形如）【例6】（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）已知数列满足，且，则.【变式6-1】（23-24高二上·江苏镇江·期中）在数列中，，则．【变式6-2】（23-24高三上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）设数列满足，．(1)求数列的通项公式；【考点题型七】数列求通项之构造法（形如）【例7】（2024高二·全国·专题练习）已知数列满足，且，则数列的通项公式为．【变式7-1】（24-25高二上·江苏镇江·开学考试）数列满足，则数列的通项公式为．【变式7-2】（2024高三·全国·专题练习）在数列中，已知，，求的通项公式．【考点题型八】数列求通项之倒数法（形如）【例8】（2024高二上·全国·专题练习）已知数列的首项，，，记，若，则正整数的最大值为.【变式8-1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的前项和为，若，且，则．【变式8-2】（2024高三·全国·专题练习）若数列{an}中，，则这个数列的【考点题型九】数列求和之倒序相加法【例9】（24-25高二上·上海·阶段练习）已知函数，数列是正项等比数列，且，(1)计算的值；(2)用书本上推导等差数列前n项和的方法，求的值.【变式9-1】（2024·浙江·一模）若，已知数列中，首项，，，则.【变式9-2】（24-25高三上·山东济宁·期中）已知函数，，则的对称中心为；若（），则数列的通项公式为．【考点题型十】数列求和之分组求和法（形如）【例10】（2024·海南海口·模拟预测）记为数列的前项和，已知．(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和．【变式10-1】（2024·贵州铜仁·模拟预测）已知正项等差数列满足：且，，成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)若数列bn满足：，，求数列的前项和.【变式10-2】（24-25高三上·北京·阶段练习）已知是各项均为正数的等比数列，，且，，成等差数列．(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和．【考点题型十一】数列求和之分组求和法（形如）【例11】（24-25高三上·福建龙岩·期中）已知数列的前项和为，等差数列bn的前项和为.(1)求和bn的通项公式;(2)设求数列的前项和.【变式11-1】.（24-25高三上·黑龙江大庆·阶段练习）已知数列的前项和为，且满足.(1)求证:数列为等比数列;(2)已知，求数列的前2n项和.【变式11-2】（23-24高二下·黑龙江大庆·期末）记数列的前项和为，已知且．(1)求的通项公式；(2)记，求数列的前项和【考点题型十二】数列求和之列项相消法（形如）【例12】（24-25高二上·上海·期中）已知点是指数函数图像上一点，等比数列的前项和为，数列的首项为，且数列bn的前项和Sn满足.(1)求数列的通项公式；(2)求数列bn(3)若数列前项和为，问的最小正整数是多少？【变式12-1】（24-25高二上·福建莆田·阶段练习）已知数列满足：，且，等差数列的公差为正数，其前项和为，，且、、成等比数列．(1)求、、；(2)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；(3)若，数列的前项和为，求证：．【变式12-2】（24-25高二上·甘肃白银·期中）设数列的前n项和为，，．(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前n项和．【考点题型十三】数列求和之列项相消法（形如）【例13】（2024高三·全国·专题练习）已知等差数列的前项和为，公差为，若为函数的两个零点，且．(1)求数列的通项公式；(2)若求数列的前项和．【变式13-1】（2024·陕西渭南·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，，．(1)求的通项公式及；(2)设______，求数列的前n项和．在①；②；③这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并求解．注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【考点题型十四】数列求和之列项相消法（形如）【例14】（24-25高三上·江西赣州·阶段练习）已知数列的前项和为，，.(1)求数列的通项公式；(2)已知数列bn，，其前项和为，求使得对所有都成立的自然数的值.【变式14-1】（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）已知数列的前项和为，，，且.(1)求的通项公式；(2)若，数列的前n项和为，证明：.【变式14-2】（2024·福建泉州·二模）已知数列和bn的各项均为正，且，bn是公比3的等比数列．数列的前n项和满足．(1)求数列，bn的通项公式；(2)设，求数列的前n项和．【考点题型十五】数列求和之错位相减法【例15】（2024·福建·三模）已知等差数列的前项和为，若，.(1)求数列的通项公式及前项和；(2)若，求数列的前项和.【变式15-1】（24-25高三上·江苏苏州·期中）已知数列是公差大于1的等差数列，，且，，成等比数列，若数列前项和为，并满足，.(1)求数列，的通项公式.(2)若，求数列前项的和.【变式15-2】（23-24高二上·河南商丘·期末）已知数列满足，且．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和．【考点题型十六】数列求和之通项含绝对值求和【例16】（24-25高二上·福建宁德·阶段练习）在等差数列中，的前项和为．(1)求数列的通项公式；(2)求的最大值；(3)设，求．【变式16-1】（23-24高二上·天津东丽·阶段练习）在各项均为正数的等比数列中，，且成等差数列.(1)求等比数列的通项公式和前n项和；(2)若数列满足，求数列的前项和的最大值.(3)求数列的前项和【变式16-2】（24-25高二上·江苏镇江·阶段练习）已知等差数列的前项和为，且，(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列bn的前项和．【考点题型十七】数列中新定义题【例17】（2024高三·全国·专题练习）若数列满足，则称为“自然递增数列”.(1)若，，试判断：数列，是否为“自然递增数列”？(2)若等差数列是“自然递增数列”，且，求的公差的取值范围.(3)若数列是“自然递增数列”，共有5项，且，求所有满足条件的数列中的概率.【变式17-1】（24-25高三上·山东青岛·期中）已知数列为有穷数列，且，若数列满足如下两个性质，则称数列为的增数列：①；②对于，使得的正整数对恰有个．(1)若等差数列1，3，5，7，9为的增数列，求的值；(2)若数列为的8增数列，求的最小值；(3)若存在60的增数列，求的最大值．【变式17-2】（24-25高二上·福建漳州·期中）若数列满足为正整数，p为常数)，则称数列为等方差数列，p为公方差.(1)已知数列，的通项公式分别为：，，判断上述两个数列是否为等方差数列，并说明理由；(2)若数列既是等方差数列，又是等差数列，证明：数列为常数列．(3)若数列是首项为1，公方差为2的等方差数列，在的条件下，在与之间依次插入数列中的k项构成新数列：，，，，，，，，，，……，求数列中前30项的和提升训练一、单选题1．（24-25高三上·安徽马鞍山·期中）已知数列满足（），记数列前n项为，若对于任意，不等式恒成立，则实数k的取值范围为（

）A． B． C． D．2．（24-25高二上·山东青岛·期中）已知数列满足，且，则（

）A．1023 B．1124 C．2146 D．21453．（24-25高三上·山东济宁·开学考试），利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，可求得（

）A． B． C． D．4．（24-25高二上·全国·课后作业）设数列的通项公式为，数列的前m项和，则m的值为（

）A．8 B．10 C．12 D．205．（24-25高三上·山东泰安·期中）已知函数，其中，记，则（

）A． B． C． D．6．（2024·河北·模拟预测）已知函数满足，且，设数列满足，则数列的前n项和的表达式为（

）A． B．C． D．7．（2024高二·全国·专题练习）已知数列是等差数列，，，设为数列的前项和，则（

）A． B．C． D．8．（23-24高二下·重庆九龙坡·阶段练习）数列的前n项和为，且，，则数列的前n项和为（

）A． B．C． D．二、解答题9．（24-25高二上·江苏·期中）已知数列的前项和为，且满足．(1)求数列的通项公式．(2)已知，求数列的最大项，以及取得最大项时的值．(3)已知，求数列的前项和．10．（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）已知数列各项均为正数，且，.(1)求的通项公式；(2)记数列前项的和为，求.11．（24-25高二上·浙江宁波·期中）设等比数列的前项和为，且，.(1)求数列的通项公式.(2)求数列的前项和.12．（24-25高三上·江西赣州·阶段练习）已知数列的前项和为，，.(1)求数列的通项公式；(2)已知数列bn，，其前项和为，求使得对所有都成立的自然数的值.13．（24-25高三上·福建龙岩·期中）已知数列的前项和为，等差数列bn的前项和为.(1)求和bn的通项公式;(2)设求数列的前项和.清单08数列求通项与求和（个考点梳理+题型解读+提升训练）【清单01】累加法（叠加法）若数列满足，则称数列为“变差数列”，求变差数列的通项时，利用恒等式求通项公式的方法称为累加法。【清单02】累乘法（叠乘法）若数列满足，则称数列为“变比数列”，求变比数列的通项时，利用求通项公式的方法称为累乘法。【清单03】数列求通项（法）对于数列，前项和记为；①；②②：法归类角度1：已知与的关系；或与的关系用，得到例子：已知，求角度2：已知与的关系；或与的关系替换题目中的例子：已知；已知角度3：已知等式中左侧含有：作差法（类似）例子：已知求【清单04】构造法用“待定系数法”构造等比数列形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式.【清单05】倒数法用“倒数变换法”构造等差数列类型1：形如（为常数，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，即：，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得.类型2：形如（为常数，，，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，可通过换元：，化简为：（此类型符构造法类型1：用“待定系数法”构造等比数列：形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式.）【清单06】裂项相消法1、等差型=1\*GB3①特别注意②如：（尤其要注意不能丢前边的）2、无理型=1\*GB3①如：3、指数型①如：【考点题型一】累加法求通项核心方法：形如：【例1】（24-25高二上·山东·期中）在数列中，，则的通项公式为．【答案】；【知识点】对数的运算、累加法求数列通项、由递推关系式求通项公式【分析】求出，利用累加法求和得到通项公式.【详解】，故，所以.故答案为：【变式1-1】（24-25高二上·上海·期中）若数列满足，且（其中，），则的通项公式是．【答案】【知识点】累加法求数列通项、求等差数列前n项和【分析】根据给定条件，利用累加法求出数列的通项.【详解】在数列中，，当时，，则，满足上式，所以的通项公式是.故答案为：【考点题型二】累乘法求通项核心方法：形如：【例2】（2024·陕西西安·模拟预测）设数列的前项和为，且．(1)求数列的通项公式；【答案】(1)【知识点】裂项相消法求和、累乘法求数列通项、利用an与sn关系求通项或项、数列不等式恒成立问题【分析】（1）根据条件，利用与间的关系，得到，再利用累积法，即可求出结果；【详解】（1）因为①，所以当时，②，由①②得到，整理得到，又，所以，得到，所以当时，，当，满足，所以.【变式2-1】（23-24高三上·四川成都·期末）已知数列数列满足，，其中n∈N*．(1)求数列的通项公式；【答案】(1)【知识点】错位相减法求和、累乘法求数列通项【分析】（1）根据已知条件，利用累乘法求；【详解】（1）由得：，故，，，……，，，以上个式子相乘得，，故；【考点题型三】已知与的关系；或与的关系核心方法：用，得到【例3】（24-25高三上·辽宁沈阳·期中）已知数列的前项和为，且满足.(1)求数列的通项公式；【答案】(1)【知识点】裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项、构造法求数列通项【分析】（1）利用、等比数列定义可得答案；【详解】（1）当时，，解得，因①，当时，②，①②得，，即，则，即，，又.所以是以为首项，为公比的等比数列，可得，即；【变式3-1】（2024·广东佛山·一模）已知数列的前项和为，且.(1)求数列的通项公式；(答案】(1)【分析】（1）根据数列的前项和，可构造数列的递推公式，再构造等比数列，可求数列的通项公式.【详解】（1）当时，.当时，，，两式相减得：.所以是以为首项，以2为公比的等比数列，所以.当时，上式也成立.所以数列的通项公式为：【考点题型四】已知与的关系；或与的关系核心方法：替换题目中的【例4】（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，，且，求通项公式．【答案】【知识点】利用定义求等差数列通项公式、利用an与sn关系求通项或项【分析】根据的关系及已知得到，由等差数列的定义写出的通项公式，进而求通项公式.【详解】由，，，，即是以2为公差，1为首项的等差数列，，即，当时，，显然，时，上式不成立，所以．【变式4-1】（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知数列中，，且，为数列的前项和，，数列bn是等比数列，，．(1)求数列和bn的通项公式；【答案】(1)，【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项【分析】（1）根据与关系和平方差公式可得，再结合等比数列的基本量计算，可得；【详解】（1）由已知当时，，，所以，又，所以，所以，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，所以当时，，又，所以，设等比数列bn的公比为，因为，，所以，，解得，所以；【考点题型五】已知等式中左侧含有：核心方法：作差法（类似）【例5】（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知数列满足：，数列bn满足：.(1)求数列的前15项和；【答案】(1)130【知识点】含绝对值的等差数列前n项和、错位相减法求和、分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项【分析】（1）由题意得，去绝对值后利用分组求和，结合等差数列的前项和公式计算即可.【详解】（1）因为，解得，所以.【变式5-1】（24-25高三上·重庆·期中）已知数列满足，则（

）A．2 B． C． D．【答案】C【知识点】利用an与sn关系求通项或项【分析】利用时，，推得，代入，求出答案．【详解】由题意可得①，所以时，②，①②得，所以，所以．故选：C．【考点题型六】数列求通项之构造法（形如）【例6】（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）已知数列满足，且，则.【答案】【知识点】写出等比数列的通项公式、构造法求数列通项【分析】利用构造法，构造等比数列求通项公式.【详解】设，解得：，所以，又，则，故是以为首项，为公比的等比数列，所以，即，故答案为：.【变式6-1】（23-24高二上·江苏镇江·期中）在数列中，，则．【答案】【知识点】写出等比数列的通项公式、构造法求数列通项【分析】利用构造法构造数列，即可求解．【详解】解：因为，所以，所以，所以数列是一个等比数列，所以，所以．故答案为：．【变式6-2】（23-24高三上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）设数列满足，．(1)求数列的通项公式；【答案】(1)(2)【知识点】写出等比数列的通项公式、分组（并项）法求和、构造法求数列通项【分析】（1）推导出数列为等比数列，确定该数列的公比和第二项的值，即可求得数列的通项公式；【详解】（1）解：因为数列满足，，则，且，所以，数列是等比数列，且该数列的第二项为，公比为，所以，，则.【考点题型七】数列求通项之构造法（形如）【例7】（2024高二·全国·专题练习）已知数列满足，且，则数列的通项公式为．【答案】【知识点】由递推关系式求通项公式、构造法求数列通项【分析】结合递推公式的结构特点构建一个等差数列，利用等差数列的通项公式求出构建的数列的通项公式，进而得解.【详解】将两边同时除以，得，即．由等差数列的定义知，数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，故．故答案为：.【变式7-1】（24-25高二上·江苏镇江·开学考试）数列满足，则数列的通项公式为．【答案】【知识点】由递推关系式求通项公式、利用定义求等差数列通项公式、构造法求数列通项【分析】利用数列的递推关系求数列的通项公式，将，经化简可知新的数列是等差数列，在变形可求得.【详解】由题意知将等式两边同时除以，可得，因为，所以可知，则数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，所以.故答案为：【变式7-2】（2024高三·全国·专题练习）在数列中，已知，，求的通项公式．【答案】【知识点】由递推关系式求通项公式、写出等比数列的通项公式、构造法求数列通项【分析】通过凑配法证得是等比数列，进而求的通项公式.【详解】由，得，整理得，所以是首项为，公比为的等比数列．故，则．【考点题型八】数列求通项之倒数法（形如）【例8】（2024高二上·全国·专题练习）已知数列的首项，，，记，若，则正整数的最大值为.【答案】【知识点】求等比数列前n项和、构造法求数列通项【分析】根据递推公式，通过构造数列法求得，再利用等比数列的前项和公式，求得Sn，再解不等式即可.【详解】因为，所以，所以，又，所以，所以数列为等比数列，所以，所以，所以，若，则，所以，故正整数的最大值为99，故答案为：99.【点睛】本题考查通过构造数列法求通项公式，以及利用公式法求等比数列的前项和，属中档题.【变式8-1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的前项和为，若，且，则．【答案】【知识点】由递推关系式求通项公式、写出等比数列的通项公式、构造法求数列通项【分析】构造数列，证明该数列是等比数列，再根据等比数列的通项公式求的通项公式.【详解】由，即，因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列，即，所以．故答案为：【变式8-2】（2024高三·全国·专题练习）若数列{an}中，，则这个数列的【答案】【知识点】由递推关系式求通项公式、构造法求数列通项【解析】取倒数，推出数列是等差数列，然后求解数列的通项公式即可．【详解】解：由题意，数列中，，可得，所以数列表示首项为1，公差为3的等差数列，所以，即，故答案为：【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，通项公式的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．【考点题型九】数列求和之倒序相加法【例9】（24-25高二上·上海·阶段练习）已知函数，数列是正项等比数列，且，(1)计算的值；(2)用书本上推导等差数列前n项和的方法，求的值.【答案】(1)1；(2).【知识点】求函数值、等比数列下标和性质及应用、倒序相加法求和【分析】（1）直接代入化简即可；（2）由（1），结合等比数列性质，即可求解.【详解】（1）因为函数，所以（2）因数列是正项等比数列，且，则，所以，同理，令，又，则有，故，所以.【变式9-1】（2024·浙江·一模）若，已知数列中，首项，，，则.【答案】158【知识点】由递推关系式求通项公式、倒序相加法求和【分析】利用已知确定数列的通项公式，得出，，由函数解析式得出，结合倒序相加法求和．【详解】，则，所以，整理得，即是常数数列，又，所以，，，则，所以，又，所以，，所以，所以．故答案为：158．【变式9-2】（24-25高三上·山东济宁·期中）已知函数，，则的对称中心为；若（），则数列的通项公式为．【答案】【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数奇偶性的应用、判断或证明函数的对称性、倒序相加法求和【分析】利用中心对称的定义求出图象的对称中心，利用函数的对称性及倒序相加法求出通项.【详解】函数的定义域为R，，由，得，则，因此函数图象的对称中心是；由，得，当时，，，，于是，即，所以数列的通项公式为.故答案为：；【考点题型十】数列求和之分组求和法（形如）【例10】（2024·海南海口·模拟预测）记为数列的前项和，已知．(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和．【答案】(1)(2)【知识点】写出等比数列的通项公式、分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项【分析】（1）令，可求出的值；令，由可得，两个等式作差推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求出数列的通项公式；（2）求出数列的通项公式，利用分组求和法可求得.【详解】（1）解：因为为数列的前项和，且，当时，则有，解得；当时，由可得，上述两个等式作差可得，整理得，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，因此，.（2）解：因为，所以，.【变式10-1】（2024·贵州铜仁·模拟预测）已知正项等差数列满足：且，，成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)若数列bn满足：，，求数列的前项和.【答案】(1)或(2)或【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比中项的应用、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和【分析】（1）由等比中项的性质以及等差数列的通项公式可求出公差，从而得到通项公式；（2）利用分组求和法，分别计算两种情况下数列的前项和.【详解】（1）设正项等差数列的公差为，由成等比数列，得，则，又，即，解得或.当时，.当时，.所以数列的通项公式为或.（2）由题意得，当时，，则，所以数列的前项和当时，，则，且，故bn是以为首项，为公比的等比数列，则.故数列的前项和或.【变式10-2】（24-25高三上·北京·阶段练习）已知是各项均为正数的等比数列，，且，，成等差数列．(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和．【答案】(1)(2)【知识点】写出等比数列的通项公式、等比数列通项公式的基本量计算、分组（并项）法求和【分析】（1）设公比为，根据等差中项可得，根据等比数列通项公式列式求解即可；（2）由（1）可知：，利用分组求和结合等差、等比数列求和公式运算求解.【详解】（1）设等比数列的公比为，且，因为，，成等差数列，则，即，解得或（舍去），所以的通项公式为.（2）由（1）可知：，则，所以.【考点题型十一】数列求和之分组求和法（形如）【例11】（24-25高三上·福建龙岩·期中）已知数列的前项和为，等差数列bn的前项和为.(1)求和bn的通项公式;(2)设求数列的前项和.【答案】(1)，(2)【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、错位相减法求和、分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项【分析】（1）利用的关系求出，利用等差数列的基本量求解；（2）可分组求和，分别依据等差数列求和与错位相减求和.【详解】（1）解：因为，①所以当时，，又，所以.当时，，②①式减去②式得，所以.又，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以.设等差数列bn的公差为，因为，可得，解得，所以，即bn的通项公式为.（2）解：因为可得则数列的前2n项和，令，，则，所以，，.【变式11-1】.（24-25高三上·黑龙江大庆·阶段练习）已知数列的前项和为，且满足.(1)求证:数列为等比数列;(2)已知，求数列的前2n项和.【答案】(1)证明见解析(2)【知识点】由递推关系证明等比数列、错位相减法求和、分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项【分析】（1）当n=1时代入求出，当时仿写作差即可；（2）将数列bn的前2n项和转化为，利用等比数列的求和公式求出，利用错位相减法求出即可；【详解】（1）当n=1时，，解得，当时，由，可得，两式相减得，所以，又因为，所以是首项为，公比为2的等比数列.（2）由（1）可知，所以，设数列bn的前项和为，所以，即，令，知，，，作差得，化简，所以【变式11-2】（23-24高二下·黑龙江大庆·期末）记数列的前项和为，已知且．(1)求的通项公式；(2)记，求数列的前项和【答案】(1)(2)【知识点】分组（并项）法求和、累乘法求数列通项、利用an与sn关系求通项或项【分析】（1）由与的关系式可得数列的递推公式，利用累乘法可求通项公式；（2）由（1）知，所以，利用分组求和法求.【详解】（1）根据题意，，，则，两式相减得，即，所以，故的通项公式为；（2）由（1）知，，所以，故，.【考点题型十二】数列求和之列项相消法（形如）【例12】（24-25高二上·上海·期中）已知点是指数函数图像上一点，等比数列的前项和为，数列的首项为，且数列bn的前项和Sn满足.(1)求数列的通项公式；(2)求数列bn(3)若数列前项和为，问的最小正整数是多少？【答案】(1)(2)(3)72【知识点】裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项、等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算【分析】（1）先设函数，由等比数列的前n项和为求出，再求出，进一步求出公比，确定其通项公式；（2）分解因式为，结合条件判断为等差数列，再利用当，求.（3）裂项求得数列的前n项和为，求解关于n的不等式可得最小正整数.【详解】（1）设指数函数，则，即，．，．又数列成等比数列，，．又公比，．（2），又，，，故为首项为1、公差为1的等差数列，．当，，当时也满足，（3），则由，得，即，则最小正整数为72【变式12-1】（24-25高二上·福建莆田·阶段练习）已知数列满足：，且，等差数列的公差为正数，其前项和为，，且、、成等比数列．(1)求、、；(2)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；(3)若，数列的前项和为，求证：．【答案】(1)，，(2)证明见解析，(3)证明见解析【知识点】由定义判定等比数列、数列不等式恒成立问题、根据数列递推公式写出数列的项、裂项相消法求和【分析】（1）利用递推公式逐项计算可得出、、的值；（2）由已知条件可得出，利用等比数列的定义可证得结论成立，确定数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式；（3）设等差数列的公差为，由等差数列的求和公式可得出的值，结合已知条件求出的值，结合等差数列的通项公式可求得数列的通项公式，利用裂项相消法求出，结合数列的单调性可证得结论成立.【详解】（1）解：因为知数列满足：，且，由，可得，由，可得，由，可得.（2）解：由可得，且，所以，数列是公比和首项都为的等比数列，所以，，故.（3）解：设等差数列的公差为，且，因为，可得，因为、、成等比数列，即，因为，解得，所以，，，且数列的前项和为，则数列单调递增，所以，，因为，综上所述，对任意，.【变式12-2】（24-25高二上·甘肃白银·期中）设数列的前n项和为，，．(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前n项和．【答案】(1)，(2)，【知识点】写出等比数列的通项公式、利用an与sn关系求通项或项、裂项相消法求和【分析】（1）由得，相减可得递推公式，进而判断为等比数列，从而可得等比数列的通项公式；（2）根据题意计算可得数列bn的通项公式，进而通过裂项相消法可得前n【详解】（1）由，得，两式相减得，即．因为，所以，得，满足．所以是首项为8，公比为4的等比数列，，．（2）因为，所以．所以.故数列bn的前n项和为，.【考点题型十三】数列求和之列项相消法（形如）【例13】（2024高三·全国·专题练习）已知等差数列的前项和为，公差为，若为函数的两个零点，且．(1)求数列的通项公式；(2)若求数列的前项和．【答案】(1)(2)【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、裂项相消法求和、等差数列前n项和的基本量计算【分析】（1）运用零点概念，结合等差数列的求和公式和通项公式计算即可；（2）运用裂项相消计算即可.【详解】（1）因为为函数的两个零点，且，所以，又因为，所以，解得，所以是首项为3，公差为2的等差数列，所以．（2）因为所以【变式13-1】（2024·陕西渭南·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，，．(1)求的通项公式及；(2)设______，求数列的前n项和．在①；②；③这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并求解．注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)，；(2)答案见解析【知识点】求等差数列前n项和、等差数列通项公式的基本量计算、裂项相消法求和、利用定义求等差数列通项公式【分析】（1）设出等差数列的公差，由题意列方程求出首项和公差，即可求得答案；（2）不论选①、选②还是选③，都要利用（1）的结果，可得的表达式，利用裂项相消法求和，即得答案.【详解】（1）由题意知等差数列的前n项和为，，，设公差为d，则，解得，故，；（2）若选①，则，故；若选②，则，故；若选③，则，故.【考点题型十四】数列求和之列项相消法（形如）【例14】（24-25高三上·江西赣州·阶段练习）已知数列的前项和为，，.(1)求数列的通项公式；(2)已知数列bn，，其前项和为，求使得对所有都成立的自然数的值.【答案】(1)(2)【知识点】裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项【分析】（1）令，求出的值，令，由可得，两式作差推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式；（2）利用裂项相消法求出的表达式，求出的取值范围，可得出关于的不等式，即可得出符合条件的自然数的值.【详解】（1）（1）解：因为数列的前项和为，，，当时，有，解得，当时，由可得，上述两个等式作差可得，可得，所以，数列是首项为，公比为的等比数列，则.（2）（3）解：因为，所以，，因为，且，故数列单调递增，所以，，且，故对任意的，，因为不等式对所有恒成立，所以，，解得，因为，则的值为.【变式14-1】（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）已知数列的前项和为，，，且.(1)求的通项公式；(2)若，数列的前n项和为，证明：.【答案】(1)(2)证明见解析【知识点】数列不等式恒成立问题、利用an与sn关系求通项或项、裂项相消法求和、由递推关系式求通项公式【分析】（1）根据数列递推式可推出，求出，由此可求得答案；（2）结合（1）可得的表达式，利用裂项求和法求出表达式，即可证明结论.【详解】（1）将两边同时除以，得.所以是等差数列.当时，，公差是，得，则，①当时，，②①-②，得，整理得，则，也符合，所以.（2）证明：由（1）得，所以，因为，所以.【变式14-2】（2024·福建泉州·二模）已知数列和bn的各项均为正，且，bn是公比3的等比数列．数列的前n项和满足．(1)求数列，bn的通项公式；(2)设，求数列的前n项和．【答案】(1)，(2)【知识点】裂项相消法求和、分组（并项）法求和、等比数列通项公式的基本量计算、利用an与sn关系求通项或项【分析】（1）利用递推公式可证得数列是等差数列，可求出数列的通项；利用等比数列的性质，可求出bn通项；（2）根据裂项相消和分组求和法求解即可；【详解】（1）由题设，当时或（舍），由，知，两式相减得，（舍）或，即，∴数列是首项为2，公差为2的等差数列，．又．（2）则当n为偶数时，；当n为奇数时，．所以.【考点题型十五】数列求和之错位相减法【例15】（2024·福建·三模）已知等差数列的前项和为，若，.(1)求数列的通项公式及前项和；(2)若，求数列的前项和.【答案】(1)，；(2)【知识点】利用定义求等差数列通项公式、等差数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和、错位相减法求和【分析】（1）设出公差，根据题目条件得到方程组，求出，得到通项公式和前项和；（2），利用错位相减法求和得到答案.【详解】（1）设公差为，则，，解得，故；；（2），故①，则②，式子①-②得，所以.【变式15-1】（24-25高三上·江苏苏州·期中）已知数列是公差大于1的等差数列，，且，，成等比数列，若数列前项和为，并满足，.(1)求数列，的通项公式.(2)若，求数列前项的和.【答案】(1)；(2)【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项【分析】（1）利用等差数列的基本量可求出；利用和的关系，构造出即可求出；（2）利用错位相减法求解即可.【详解】（1）设等差数列的公差为，由，且，，成等比数列知：，整理得：，即或者，因为公差大于1，故.且，故.数列前项和为，并满足①，且，解得，故当时，②，①式减②式得：，即，故是公比为2的等边数列，则，故（2），故则故故则【变式15-2】（23-24高二上·河南商丘·期末）已知数列满足，且．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和．【答案】(1)(2)【知识点】求等比数列前n项和、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项【分析】（1）分和两种情况，根据前n项积与之间的关系分析求解；（2）由（1）可知，利用错位相减法运算求解.【详解】（1）因为，当时，；当时，，可得；且符合，所以．（2）由（1）可知，则，可得，两式相减得，所以．【考点题型十六】数列求和之通项含绝对值求和【例16】（24-25高二上·福建宁德·阶段练习）在等差数列中，的前项和为．(1)求数列的通项公式；(2)求的最大值；(3)设，求．【答案】(1)(2)36(3)【知识点】利用定义求等差数列通项公式、等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、含绝对值的等差数列前n项和【分析】（1）求出等差数列的公差和首项，即可求得通项公式；（2）利用等差数列的前项和公式，即可求得答案；（3）判断数列的项的正负情况，讨论的取值，结合等差数列的前项和公式，即可求得答案.【详解】（1）解：由题意知在等差数列中，，设公差为，则，解得，则，故，∴通项公式为；（2）解：由（1）可得前项和，∴当时，取最大值；（3）解：∵，∴当时，得，即时有，时有，当时，，当时，，综上所述.【变式16-1】（23-24高二上·天津东丽·阶段练习）在各项均为正数的等比数列中，，且成等差数列.(1)求等比数列的通项公式和前n项和；(2)若数列满足，求数列的前项和的最大值.(3)求数列的前项和【答案】(1)，；(2)25；(3).【知识点】含绝对值的等差数列前n项和、二次函数法求等差数列前n项和的最值、等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和【分析】（1）根据给定条件，求出数列的公比即可求出通项及前n项和.（2）求出，再利用等差数列前n项和公式求解即得.（3）判断数列的正数项与负数项，再借助（2）中结论分段求和即得.【详解】（1）设数列的公比为，，由成等差数列，得，即，整理得，而，解得，又，所以数列的通项公式，.（2）由（1）得，，则，且，于是数列是首项为9，公差为的等差数列，所以，所以当时，取得最大值25.（3）由（2）知，当时，，当时，，当时，，；当时，，所以.【变式16-2】（24-25高二上·江苏镇江·阶段练习）已知等差数列的前项和为，且，(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列bn的前项和．【答案】(1)(2)【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、等差数列前n项和的基本量计算、含绝对值的等差数列前n项和【分析】（1）由，求得，再由，得到，求得，进而求得数列的通项公式；（2）由（1），利用等差数列的求和公式，求得,令，得到时，，时，，根据，分类讨论，即可求解.【详解】（1）解：设等差数列的公差为，因为，可得，所以，又因为，所以，所以，所以数列的通项公式为.（2）解：由（1）知，，可得,令，即，解得，所以，当时，；当时，，因为，且数列bn的前项和，当时，；当时，，综上可得，数列bn的前项和.【考点题型十七】数列中新定义题【例17】（2024高三·全国·专题练习）若数列满足，则称为“自然递增数列”.(1)若，，试判断：数列，是否为“自然递增数列”？(2)若等差数列是“自然递增数列”，且，求的公差的取值范围.(3)若数列是“自然递增数列”，共有5项，且，求所有满足条件的数列中的概率.【答案】(1)答案见解析(2)(3)【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、计算古典概型问题的概率、数列新定义【分析】（1）由，单调递增即可判断，对于数列bn，通过反例即可说明；（2）通过讨论或.两类情况可求解；（3）通过，和确定基本事件总数，再结合古典概型概率计算公式即可求解.【详解】（1）对于数列，，随的增大而增大，满足，所以是“自然递增数列”.对于数列bn，，则，，，，，不满足，故bn不是“自然递增数列”.（2）由题意可得，则，由是“自然递增数列”可得对任意的，单调递增，由可得，解得或.当时，令，得，所以当时，单调递增，又，所以对任意的，单调递增，符合条件.当时，，由，可得单调递增，符合条件.综上可知，公差的取值范围为.（3）由可知的最小值为0，最大值为5.（ⅰ）若，则或，则，，，，所以，或，或，或，此时满足条件的数列的个数为.（ⅱ）若，则，则或4.①若，则或，则，即或，则，即或，则，即，此时满足条件的数列的个数为.②若，则.当时，，若，则，则或，即或，若，则或，则，即；当时，或，则，，即或，.此时，满足条件的数列的个数为.综上可知，所有满足条件的数列的个数为.故所有满足条件的数列中的概率.【点睛】新定义问题的方法和技巧：（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；【变式17-1】（24-25高三上·山东青岛·期中）已知数列为有穷数列，且，若数列满足如下两个性质，则称数列为的增数列：①；②对于，使得的正整数对恰有个．(1)若等差数列1，3，5，7，9为的增数列，求的值；(2)若数列为的8增数列，求的最小值；(3)若存在60的增数列，求的最大值．【答案】(1)35(2)8(3)450【知识点】数列新定义【分析】（1）根据题意，由m的k增数列的定义求得m和k的值.（2）根据题意，由m的8增数列的定义，有，并且对于，使得的正整数对恰有个，根据这两个条件分析m的取值范围，求出最小值.（3）由题意得，若存在60的增数列，则根据定义分析当k最大时数列各项的特征，包括各项是否相等，各项的值为多少，相邻项的差值是多少，确定出数列的特征后再具体计算出k的值.【详解】（1）由题意得，根据m的k增数列的定义，，因为，所以对于，使得的正整数对有：共10对，所以，于是.（2）由题意得，数列为的8增数列，即，且对于，使得的正整数对恰有个.所以数列各项中必有不同的项，所以且.若，则满足要求的数列中有五项为1，一项为2，所以，不符合题意，所以；若，则满足要求的数列中有四项为1，两项为2，此时数列为，满足要求的整数对分别为，符合m的8增数列，所以当时，存在m的8增数列，故m的最小值为8.（3）由题意得，若数列中的每个项都相等，则，若，则数列中存在大于1的项，若首项，则将拆分成个1后k变大，所以此时k不是最大值，故.当时，若，则交换和顺序后k变为，所以此时k不是最大值，所以.若，则，此时将变为，并在数列首位添加一项1，则k值变大，所以此时k不是最大值，所以.若数列中存在相邻的两项，设此时中有x项为2，将改为2，并在数列首位前添加个1后，k的值至少变为，所以此时k也不是最大值.综上，若k为最大值，则数列中的各项只能为1或2，所以数列为的形式.设其中有x项为1，y项为2，因为存在60的k增数列，所以，所以，所以当且仅当时，k取最大值450.【点睛】本题是数列有关的新定义问题，这类问题的关键是要准确理解题中对于“的增数列”的定义，特别是条件②中的正整数对指的是数列下标而非数列项本身；其次在最后一问的证明过程中，需要把多种情况都考虑到，只有全面分析数列满足的条件才能准确得出项的特征，而考虑的方面其实从前两问中可以分析出来.【变式17-2】（24-25高二上·福建漳州·期中）若数列满足为正整数，p为常数)，则称数列为等方差数列，p为公方差.(1)已知数列，的通项公式分别为：，，判断上述两个数列是否为等方差数列，并说明理由；(2)若数列既是等方差数列，又是等差数列，证明：数列为常数列．(3)若数列是首项为1，公方差为2的等方差数列，在的条件下，在与之间依次插入数列中的k项构成新数列：，，，，，，，，，，……，求数列中前30项的和【答案】(1)为等方差数列，不是等方差数列，理由见解析(2)证明见解析(3)【知识点】利用定义求等差数列通项公式、求等差数列前n项和、求等比数列前n项和、数列新定义【分析】（1）根据等方差数列的定义，即可判断；（2）根据等差数列及等方差数列的定义即可求解；（3）首先说明是等比数列，再根据等比数列和等差数列求和公式，即可求解．【详解】（1）因为常数)，所以数列为等方差数列，1为公方差；因为，所以数列不是等方差数列．（2）证明：因为是等差数列，设其公差为d，则又是等方差数列，所以故，所以，即，所以，故是常数列.（3）由题意知数列是首项为1，公方差为2的等方差数列，故，而，所以；是首项为1，公比为3的等比数列，而新数列中项(含前共有项，令，结合，解得，故数列中前30项含有的前7项和数列的前23项，所以数列中前30项的和.【点睛】解答与数列有关的新定义问题的策略：（1）通过给定的与数列有关的新定义，或约定的一种新运算，或给出的由几个新模型来创设的新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题设所提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.（2）遇到新定义问题，需耐心研究题中信息，分析新定义的特点，搞清新定义的本质，按新定义的要求“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以顺利解决.（3）类比“熟悉数列”的研究方式，用特殊化的方法研究新数列，向“熟悉数列”的性质靠拢.提升训练一、单选题1．（24-25高三上·安徽马鞍山·期中）已知数列满足（），记数列前n项为，若对于任意，不等式恒成立，则实数k的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】由递推关系证明等比数列、裂项相消法求和【分析】将数列通项与前项和的关系，求得数列递推公式，进而可得通项，将题设中的数列的通项展开裂项，运用裂项相消法求和，求得和式的范围即得.【详解】依题意，当时，，解得，当时，，可得，即.故是以1为首项，2为公比的等比数列，故.所以，所以，因不等式恒成立，故的取值范围是.故选：A2．（24-25高二上·山东青岛·期中）已知数列满足，且，则（

）A．1023 B．1124 C．2146 D．2145【答案】C【知识点】求等差数列前n项和、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和【分析】分析奇数项和偶数项的特点，分组求和即可.【详解】根据递推公式可知：数列的奇数项依次为：，，，…，为等比数列；数列的偶数项为：，，，…，为等差数列.所以.故选：C3．（24-25高三上·山东济宁·开学考试），利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，可求得（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】倒序相加法求和【分析】利用求解即可.【详解】，故，故……，故.故选：D4．（24-25高二上·全国·课后作业）设数列的通项公式为，数列的前m项和，则m的值为（

）A．8 B．10 C．12 D．20【答案】A【知识点】裂项相消法求和【分析】运用裂项相消法，结合指数的运算性质进