2024秋新教材高中数学第五章三角函数5.5三角恒等变换5.5.1第2课时两角和与差的正弦余弦正切公式分层演练含解析新人教A版必修第一册

PAGE第2课时两角和与差的正弦、余弦、正切公式分层演练综合提升A级基础巩固1.计算sin47°cos17°+cos47°cos107°的结果等于 ()A.-12 B.32 C.22答案:D2.若sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ=0,则sin(α+2β)+sin(α-2β)等于 ()A.1 B.-1 C.0 D.±1答案:C3.(1+tan18°)(1+tan27°)的值是 ()A.3 B.1+2C.2 D.2(tan18°+tan27°)答案:C4.函数f(x)=cosx(1+3tanx)的最小正周期为2π.5.已知α∈0,π2,β∈π2,π,且sin(α+β)=3365,cosβ=-513,求sinα.解:因为β∈(π2,π),cosβ=-513,所以sinβ=又因为0<α<π2,π2<所以π2<α+β<3π又因为sin(α+β)=3365所以cos(α+β)=-1-sin2所以sinα=sin[(α+β)-β]=sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ=3365×(-513)-(-5665)×12B级实力提升6.在△ABC中,tanA+tanB+tanC=33,tan2B=tanAtanC,则B等于 ()A.30° B.45° C.120° D.60°解析:由公式变形得tanA+tanB=tan(A+B)(1-tanA·tanB)=tan(180°-C)(1-tanAtanB)=-tanC(1-tanAtanB)=-tanC+tanAtanBtanC.所以tanA+tanB+tanC=-tanC+tanAtanBtanC+tanC=tanAtanBtanC=33.又因为tan2B=tanAtanC,所以tan3B=33,所以tanB=3,所以B=60°.答案:D7.abcd的运算法则为abc解析:cosπ3sinπ6sinπCos(π3+π6)=cosπ8.如图,在平面直角坐标系中,以x轴非负半轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点,已知A,B的横坐标分别为210,2(1)求tan(α+β)的值;(2)求α+2β的值.解:由条件得cosα=210,cosβ=2因为α,β均为锐角,所以sinα=1-cossinβ=1-cos因此tanα=sinαcosα=7,tanβ=sin(1)tan(α+β)=tanα+tanβ1(2)因为tan2β=tan(β+β)=tanβ2×121所以tan(α+2β)=tanα+tan2β1又因为α,β均为锐角,所以0<α+2β<3π2所以α+2β=3π49.已知函数f(x)=2cosx4+π6,x∈R.若α,β∈0,π2,f4α+4π3=-3017,f4β-2π3=85,求cos(α+β)的值.解:因为f(4α+4π3)=-30所以2cos[14(4α+4π3)+π6]=2cos(α+π2所以sinα=1517又因为f(4β-2π3)=8所以2cos[14(4β-2π3)+π6]=2cosβ所以cosβ=45又因为α,β∈[0,π2],所以cosα=817,sinβ=所以cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=817×45-1517×3C级挑战创新10.多空题已知函数f(x)=sinx+π4-sinx-π4,则此函数的周期T=2π;若-π3≤x≤π6,则此函数的值域是[22,2]解析:因为f(x)=sin(x+π4)-sin(x-π4)=sin