2024秋高中数学模块综合评价课堂演练含解析新人教A版选修4-4VIP

PAGE10-模块综合评价(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在极坐标系中，圆ρ＝sinθ的圆心的极坐标是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,2))) B．(1，0)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(π,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))解析：将圆的极坐标方程ρ＝sinθ化成直角坐标方程为x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,4)，可知圆心的直角坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，化为极坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(π,2))).答案：C2．在极坐标系中，过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,2)))且与极轴平行的直线方程是()A．ρ＝2 B．θ＝eq\f(π,2)C．ρcosθ＝2 D．ρsinθ＝2解析：极坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,2)))的点的直角坐标为(0，2)，过该点且与极轴平行的直线的方程为y＝2，其极坐标方程为ρsinθ＝2.答案：D3．在同一坐标系中，将曲线y＝2sinx变为曲线y′＝sin2x′的伸缩变换是()A.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2x′，,y＝\f(1,2)y′)) B.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝\f(1,2)x，,y′＝\f(1,2)y))C.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)x′，,y＝2y′)) D.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝2x，,y′＝2y))解析：设eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝λx（λ>0），,y′＝μy（μ>0），))则μy＝sin2λx，即y＝eq\f(1,μ)sin2λx，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,μ)＝2，,2λ＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(μ＝\f(1,2)，,λ＝\f(1,2).))答案：B4．若曲线C的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1＋\f(1,2)t，,y＝2＋\f(\r(3),2)t))(t为参数)，则下列说法中正确的是()A．曲线C是直线且过点(－1，2)B．曲线C是直线且斜率为eq\f(\r(3),3)C．曲线C是圆且圆心为(－1，2)D．曲线C是圆且半径为|t|解析：曲线C的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1＋\f(1,2)t，,y＝2＋\f(\r(3),2)t))(t为参数)，消去参数t得曲线C的一般方程为eq\r(3)x－y＋2＋eq\r(3)＝0.该方程表示直线，且斜率是eq\r(3).把(－1，2)代入，成立，所以曲线C是直线且过点(－1，2)．答案：A5．点M的极坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－\f(π,6)))，它关于直线θ＝eq\f(π,2)的对称点坐标是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(11π,6))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(7π,6)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(π,6))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－\f(11π,6)))解析：当ρ<0时，它的极角应在反向延长线上．如图，描点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－\f(π,6)))时，先找到角－eq\f(π,6)的终边，又因为ρ＝－2<0，所以再在反向延长线上找到离极点2个单位长度的点即是点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－\f(π,6))).直线θ＝eq\f(π,2)就是极角为eq\f(π,2)的那些点的集合．故Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－\f(π,6)))关于直线θ＝eq\f(π,2)的对称点为M′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,6)))，但是选项没有这样的坐标．又因为M′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,6)))的坐标还可以写成M′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(7π,6)))，故B项正确．答案：B6．已知双曲线C的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3secθ，,y＝4tanθ))(θ为参数)，在下列直线的参数方程中(下列方程中t为参数)：①eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－3t，,y＝4t；))②eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\f(\r(3),2)t，,y＝1－\f(1,2)t；))③eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,5)t，,y＝－\f(4,5)t；))④eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1－\f(\r(2),2)t，,y＝1＋\f(\r(2),2)t；))⑤eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3＋3t，,y＝－4－4t.))可以作为双曲线C的渐近线方程的是()A．①③⑤ B．①⑤C．①②④ D．②④⑤解析：由双曲线的参数方程知，在双曲线中对应的a＝3，b＝4且双曲线的焦点在x轴上，因此其渐近线方程是y＝±eq\f(4,3)x.检验所给直线的参数方程可知只有①③⑤符合条件．答案：A7．已知过曲线eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3sinθ，,y＝3cosθ))(θ为参数，0≤θ≤π)上一点P与原点O的连线PO的倾斜角为eq\f(π,2)，则点P的坐标是()A．(0，3) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,5)，－\f(12,5)))C．(－3，0) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,5)，\f(12,5)))解析：曲线的一般方程为x2＋y2＝9(0≤x≤3)，因为点P与原点O的连线PO的倾斜角为eq\f(π,2)，所以点P的横坐标为0，将x＝0代入x2＋y2＝9得y＝3(y＝－3舍去)，所以P(0，3)．答案：A8．在极坐标系中，由三条直线θ＝0，θ＝eq\f(π,3)，ρcosθ＋ρsinθ＝1围成的图形的面积为()A.eq\f(1,4) B.eq\f(3－\r(3),4)C.eq\f(2－\r(3),4) D.eq\f(1,3)解析：三条直线的直角坐标方程依次为y＝0，y＝eq\r(3)x，x＋y＝1，如图．围成的图形为△OPQ，可得S△OPQ＝eq\f(1,2)|OQ|·|yP|＝eq\f(1,2)×1×eq\f(\r(3),\r(3)＋1)＝eq\f(3－\r(3),4).答案：B9．极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)和参数方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝tanθ，,y＝\f(2,cosθ)))(θ为参数)所表示的图形分别是()A．直线、射线和圆 B．圆、射线和双曲线C．两直线和椭圆 D．圆和抛物线解析：因为(ρ－1)(θ－π)＝0，所以ρ＝1或θ＝π(ρ≥0)，ρ＝1表示圆，θ＝π(ρ≥0)表示一条射线，参数方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝tanθ，,y＝\f(2,cosθ)))(θ为参数)化为一般方程为eq\f(y2,4)－x2＝1，表示双曲线．答案：B10．已知直线l的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝at，,y＝a2t－1))(t为参数)，椭圆C的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋cosθ，,y＝2sinθ))(θ为参数)，且它们总有公共点．则a的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，0))∪(0，＋∞)B．(1，＋∞)C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，＋∞))D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，4))解析：由已知得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(at＝1＋cosθ，,a2t－1＝2sinθ，))则4(at－1)2＋(a2t－1)2＝4，即a2(a2＋4)t2－2a(a＋4)t＋1＝0，Δ＝4a2(a＋4)2－4a2(a2＋4)＝16a2(2a＋3)．直线l与椭圆总有公共点的充要条件是Δ≥0，即a≥－eq\f(3,2).答案：C11．已知直线l过点P(－2，0)，且倾斜角为150，以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ＝15.若直线l交曲线C于A，B两点，则|PA|·|PB|的值为()A．5 B．7C．15 D．20解析：易知直线l的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2－\f(\r(3),2)t，,y＝\f(1,2)t))(t为参数)，把曲线C的极坐标方程ρ2－2ρcosθ＝15化为直角坐标方程是x2＋y2－2x＝15.将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得t2＋3eq\r(3)t－7＝0.设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1t2＝－7，故|PA|·|PB|＝|t1|·|t2|＝|t1t2|＝7.答案：B12．过椭圆C：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝\r(3)sinθ))(θ为参数)的右焦点F作直线l交C于M，N两点，|MF|＝m，|NF|＝n，则eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)的值为()A.eq\f(2,3) B.eq\f(4,3)C.eq\f(8,3) D．不能确定解析：曲线C为椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，右焦点为F(1，0)，设l：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋tcosθ，,y＝tsinθ))(t为参数)，代入椭圆方程得(3＋sin2θ)t2＋6tcosθ－9＝0，设M、N两点对应的参数分别为t1，t2，则t1t2＝－eq\f(9,3＋sin2θ)，t1＋t2＝－eq\f(6cosθ,3＋sin2θ)，所以eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝eq\f(1,|t1|)＋eq\f(1,|t2|)＝eq\f(|t1－t2|,|t1t2|)＝eq\f(\r(（t1＋t2）2－4t1t2),|t1t2|)＝eq\f(4,3).答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知直线l：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1＋\f(\r(3),2)t，,y＝\f(1,2)t))(t为参数)过定点P，曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ，直线l与曲线C交于A，B两点，则|PA|·|PB|的值为________．解析：将直线l：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1＋\f(\r(3),2)t，,y＝\f(1,2)t))(t为参数)代入曲线C：ρ＝2sinθ的直角坐标方程x2＋y2－2y＝0，整理，得t2－(eq\r(3)＋1)t＋1＝0，设直线l与曲线C的交点A，B的对应的参数分别为t1，t2，则t1t2＝1，即|PA|·|PB|＝|t1t2|＝1.答案：114．已知圆的渐开线的参数方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3cosφ＋3φsinφ，,y＝3sinφ－3φcosφ))(φ为参数)，当φ＝eq\f(π,4)时，对应的曲线上的点的坐标为________．解析：当φ＝eq\f(π,4)时，代入渐开线的参数方程，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3cos\f(π,4)＋3·\f(π,4)·sin\f(π,4)，,y＝3sin\f(π,4)－3·\f(π,4)·cos\f(π,4)，))x＝eq\f(3\r(2),2)＋eq\f(3\r(2)π,8)，y＝eq\f(3\r(2),2)－eq\f(3\r(2)π,8)，所以当φ＝eq\f(π,4)时，对应的曲线上的点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),2)＋\f(3\r(2)π,8)，\f(3\r(2),2)－\f(3\r(2)π,8))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),2)＋\f(3\r(2)π,8)，\f(3\r(2),2)－\f(3\r(2)π,8)))15．若直线l的极坐标方程为ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝3eq\r(2)，曲线C：ρ＝1上的点到直线l的距离为d，则d的最大值为________．解析：直线的直角坐标方程为x＋y－6＝0，曲线C的方程为x2＋y2＝1，为圆；d的最大值为圆心到直线的距离加半径，即为dmax＝eq\f(|0＋0－6|,\r(2))＋1＝3eq\r(2)＋1.答案：3eq\r(2)＋116．在直角坐标系Oxy中，椭圆C的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝acosθ，,y＝bsinθ))(θ为参数，a>b>0)．在极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,3)))＝eq\f(\r(3),2)，若直线l与x轴、y轴的交点分别是椭圆C的右焦点、短轴端点，则a＝________.解析：椭圆C的一般方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，直线l的直角坐标方程为x－eq\r(3)y－eq\r(3)＝0，令x＝0，则y＝－1，令y＝0，则x＝eq\r(3)，所以c＝eq\r(3)，b＝1，所以a2＝3＋1＝4，所以a＝2.答案：2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝t＋1，,y＝2t))(t为参数)，曲线C的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2tan2θ，,y＝2tanθ))(θ为参数)．试求直线l和曲线C的一般方程，并求出它们的公共点的坐标．解：因为直线l的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝t＋1，,y＝2t))(t为参数)，由x＝t＋1，得t＝x－1，代入y＝2t，得到直线l的一般方程为2x－y－2＝0.同理得到曲线C的一般方程为y2＝2x.联立方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝2（x－1），,y2＝2x，))解得公共点的坐标为(2，2)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－1)).18．(本小题满分12分)已知某圆的极坐标方程为ρ2－4eq\r(2)ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＋6＝0，求：(1)圆的一般方程和参数方程；(2)圆上全部点(x，y)中，xy的最大值和最小值．解：(1)原方程可化为ρ2－4eq\r(2)ρeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosθcos\f(π,4)＋sinθsin\f(π,4)))＋6＝0，即ρ2－4ρcosθ－4ρsinθ＋6＝0.①因为ρ2＝x2＋y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以①可化为x2＋y2－4x－4y＋6＝0，即(x－2)2＋(y－2)2＝2，即为所求圆的一般方程．设eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(cosθ＝\f(\r(2)（x－2）,2)，,sinθ＝\f(\r(2)（y－2）,2)，))所以参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋\r(2)cosθ，,y＝2＋\r(2)sinθ))(θ为参数)．(2)由(1)可知xy＝(2＋eq\r(2)cosθ)(2＋eq\r(2)sinθ)＝4＋2eq\r(2)(cosθ＋sinθ)＋2cosθsinθ＝3＋2eq\r(2)(cosθ＋sinθ)＋(cosθ＋sinθ)2.设t＝cosθ＋sinθ，则t＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))，t∈[－eq\r(2)，eq\r(2)]．所以xy＝3＋2eq\r(2)t＋t2＝(t＋eq\r(2))2＋1.当t＝－eq\r(2)时，xy有最小值1；当t＝eq\r(2)时，xy有最大值9.19．(本小题满分12分)已知曲线C的极坐标方程是ρ＝2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(3),2)t＋m，,y＝\f(1,2)t))(t为参数)．(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的一般方程；(2)当m＝2时，直线l与曲线C交于A、B两点，求|AB|的值．解：(1)由ρ＝2cosθ，得：ρ2＝2ρcosθ，所以x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，所以曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(3),2)t＋m，,y＝\f(1,2)t))得x＝eq\r(3)y＋m，即x－eq\r(3)y－m＝0，所以直线l的一般方程为x－eq\r(3)y－m＝0.(2)设圆心到直线l的距离为d，由(1)可知直线l：x－eq\r(3)y－2＝0，曲线C：(x－1)2＋y2＝1，圆C的圆心坐标为(1，0)，半径1，则圆心到直线l的距离为d＝eq\f(|1－\r(3)×0－2|,\r(1＋（\r(3)）2))＝eq\f(1,2).所以|AB|＝2eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2))＝eq\r(3).因此|AB|的值为eq\r(3).20．(本小题满分12分)已知圆C1的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2cosφ，,y＝2sinφ))(φ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C2的极坐标方程为ρ＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,3))).(1)将圆C1的参数方程化为一般方程，将圆C2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)圆C1，C2是否相交？若相交，恳求出公共弦长；若不相交，请说明理由．解：(1)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2cosφ，,y＝2sinφ))(φ为参数)，得圆C1的一般方程为x2＋y2＝4.由ρ＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,3)))，得ρ2＝4ρeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinθcos\f(π,3)＋cosθsin\f(π,3)))，即x2＋y2＝2y＋2eq\r(3)x，整理得圆C2的直角坐标方程为(x－eq\r(3))2＋(y－1)2＝4.(2)由于圆C1表示圆心为原点，半径为2的圆，圆C2表示圆心为(eq\r(3)，1)，半径为2的圆，又圆C2的圆心(eq\r(3)，1)在圆C1上可知，圆C1，C2相交，由几何性质易知，两圆的公共弦长为2eq\r(3).21．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝2eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))，直线l的参数方程为eq\b\lc\{(\a\v