2024秋高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.1第1课时排列与排列数公式达标练习含解析新人教A版选修2-3

PAGE4-第一章计数原理1.2排列与组合1.2.1排列第1课时排列与排列数公式A级基础巩固一、选择题1．从集合{3，5，7，9，11}中任取两个元素：①相加可得多少个不同的和？②相除可得多少个不同的商？③作为椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程？④作为双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程？上面四个问题属于排列问题的是()A．①②③④B．②④C．②③D．①④解析：因为加法满意交换律，所以①不是排列问题；除法不满意交换律，如eq\f(5,3)≠eq\f(3,5)，所以②是排列问题．若方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则必有a>b，a，b的大小肯定；在双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1中不管a>b还是a<b，方程均表示焦点在x轴上的双曲线，且是不同的双曲线．故③不是排列问题，④是排列问题．答案：B2．甲、乙、丙三人排成一排去照相，甲不站在排头的全部排列种数为()A．6 B．4 C．8 D．10解析：先排甲，有2种方法，排乙，丙共有Aeq\o\al(2,2)种方法，所以由分步乘法原理，不同的排列为2Aeq\o\al(2,2)＝4(种)．答案：B3．已知Aeq\o\al(2,n＋1)－Aeq\o\al(2,n)＝10，则n的值为()A．4 B．5 C．6 D．7解析：因为Aeq\o\al(2,n＋1)－Aeq\o\al(2,n)＝10，则(n＋1)n－n(n－1)＝10，整理得2n＝10，所以n＝5.答案：B4．若从6名志愿者中选出4名分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，则选派方案有()A．180种 B．360种C．15种 D．30种解析：由排列定义知选派方案有Aeq\o\al(4,6)＝6×5×4×3＝360(种)．答案：B5．用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有()A．24个B．30个C．40个D．60个解析：将符合条件的偶数分为两类：一类是2作个位数，共有Aeq\o\al(2,4)个，另一类是4作个位数，也有Aeq\o\al(2,4)个．因此符合条件的偶数共有Aeq\o\al(2,4)＋Aeq\o\al(2,4)＝24(个)．答案：A二、填空题6．计算eq\f(Aeq\o\al(6,7)－Aeq\o\al(5,6),Aeq\o\al(4,5))＝________．解析：Aeq\o\al(6,7)＝7×6Aeq\o\al(4,5)，Aeq\o\al(5,6)＝6Aeq\o\al(4,5)，所以eq\f(Aeq\o\al(6,7)－Aeq\o\al(5,6),Aeq\o\al(4,5))＝eq\f(36Aeq\o\al(4,5),Aeq\o\al(4,5))＝36.答案：367．现有8种不同的菜种，任选4种种在不同土质的4块地上，有________种不同的种法(用数字作答)．解析：将4块不同土质的地看作4个不同的位置，从8种不同的菜种中任选4种种在4块不同土质的地上，则本题即为从8个不同元素中任选4个元素的排列问题．所以不同的种法共有Aeq\o\al(4,8)＝8×7×6×5＝1680(种)．答案：16808．元旦来临之际，某寝室四位同学各有一张贺年卡，并且要送给该寝室的其中一位同学，但每人都必需得到一张，则不同的送法有________种．解析：将4张贺卡分别记为A，B，C，D，且按题意进行排列，用树形图表示为：由此可知共有9种送法．答案：9三、解答题9．解关于x的方程：eq\f(Aeq\o\al(7,x)－Aeq\o\al(5,x),Aeq\o\al(5,x))＝89.解：法一因为Aeq\o\al(7,x)＝(x－5)(x－6)Aeq\o\al(5,x)，所以eq\f(（x－5）（x－6）Aeq\o\al(5,x)－Aeq\o\al(5,x),Aeq\o\al(5,x))＝89.因为Aeq\o\al(5,x)>0，所以(x－5)(x－6)＝90.故x＝－4(舍去)，或x＝15.法二由eq\f(Aeq\o\al(7,x)－Aeq\o\al(5,x),Aeq\o\al(5,x))＝89，得Aeq\o\al(7,x)＝90·Aeq\o\al(5,x)，即eq\f(x！,（x－7）！)＝90·eq\f(x！,（x－5）！).因为x！≠0，所以eq\f(1,（x－7）！)＝eq\f(90,（x－5）（x－6）·（x－7）！)，所以(x－5)(x－6)＝90.解得x＝－4(舍去)，或x＝15.10．用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的四位数．(1)能被5整除的四位数有多少个？(2)这些四位数中偶数有多少个？解：(1)能被5整除的数个位必需是5，故有Aeq\o\al(3,6)＝120(个)．(2)偶数的个位数只能是2，4，6，有Aeq\o\al(1,3)种排法，其他位上有Aeq\o\al(3,6)种排法，由乘法原理知，四位数中偶数共有Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(3,6)＝360(个)．B级实力提升1．从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lga－lgb的不同值的个数是________．解析：lga－lgb＝lgeq\f(a,b)，从1，3，5，7，9中任取两个数分别记为a，b，共有Aeq\o\al(2,5)＝20种，其中lgeq\f(1,3)＝lgeq\f(3,9)，lgeq\f(3,1)＝lgeq\f(9,3)，故其可得到18种结果．答案：182．从集合{0，1，2，5，7，9，11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax＋By＋C＝0中的系数A，B，C，所得直线经过坐标原点的有________条．解析：易知过原点的直线方程的常数项为0，则C＝0，再从集合中任取两个非零元素作为系数A，B，有Aeq\o\al(2,6)种．所以符合条件的直线有Aeq\o\al(2,6)＝30(条)．答案：303．编号为1，2，3，4的四位同学，参与4×100米的接力赛，有多少种不同的支配方法？列出全部排列．解：支配4×100米的接力赛，可以分四步来完成；第一步支配跑第一棒的运动员，有4种方法；其次步支配跑其次棒的运动员，有3种方法；第三步支配跑第三棒的运动员，有2种方法；第四步支配跑第四棒的运动员，有1种方法．依据分步乘法计数原理，共有4×3×2×1＝24种不同的支配方法．如图所示，我们可以用树形图写出全部的支配方法．上述每一个支配可以