2024秋高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1.1.3三个正数的算术-几何平均不等式课堂演练含解析新人教A版选修4-5

PAGE1-第一讲不等式和肯定值不等式1.1不等式1.1.3三个正数的算术—几何平均不等式[A级基础巩固]一、选择题1．正实数x，y，z满意xyz＝2，则()A．x＋y＋z的最大值是3eq\r(2)B．x＋y＋z的最大值是3eq\r(3,2)C．x＋y＋z的最小值是3eq\r(2)D．x＋y＋z的最小值是3eq\r(3,2)解析：由三个正数的算术—几何平均不等式，得x＋y＋z≥3eq\r(3,xyz)＝3eq\r(3,2)，当且仅当x＝y＝z＝eq\r(3,2)时，x＋y＋z取得最小值3eq\r(3,2).答案：D2．设x，y，z为正数，且x＋y＋z＝6，则lgx＋lgy＋lgz的取值范围是()A．(－∞，lg6) B．(－∞，3lg2]C．[lg6，＋∞) D．[3lg2，＋∞)解析：因为x，y，z为正数，所以xyz≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y＋z,3)))eq\s\up12(3)＝23.所以lgx＋lgy＋lgz＝lgxyz≤lg23＝3lg2，当且仅当x＝y＝z＝2时，等号成立．答案：B3．若a＞b＞0，则a＋eq\f(1,b（a－b）)的最小值为()A．0 B．1C．2 D．3解析：因为a＋eq\f(1,b（a－b）)＝(a－b)＋b＋eq\f(1,b（a－b）)≥3eq\r(3,（a－b）·b·\f(1,b（a－b）))＝3，当且仅当a＝2，b＝1时取等号，所以a＋eq\f(1,b（a－b）)的最小值为3.答案：D4．函数y＝x2(1－5x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(1,5)))的最大值是()A．4 B.eq\f(2,15)C.eq\f(4,675) D.eq\f(5,2)解析：由0<x<eq\f(1,5)得1－5x>0，y＝x2(1－5x)＝eq\f(5,2)·x·x·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)－2x))≤eq\f(5,2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋x＋\f(2,5)－2x,3)))eq\s\up12(3)＝eq\f(4,675).答案：C5．已知x＋2y＋3z＝6，则2x＋4y＋8z的最小值为()A．3eq\r(3,6) B．2eq\r(2)C．12 D．12eq\r(3,5)解析：2x＋4y＋8z＝2x＋22y＋23z≥3eq\r(3,26)＝12.当且仅当x＝2y＝3z＝2时等号成立．答案：C二、填空题6．正项等比数列{an}中，a2＝9，则a1＋a2＋a3的最小值为________．解析：a1＋a2＋a3≥3eq\r(3,a1a2a3)＝3eq\r(3,aeq\o\al(3,2))＝3a2＝27，当且仅当a1＝a2＝a3时取等号．答案：277．若a，b，c，d为正数，则eq\f(b,a)＋eq\f(c,b)＋eq\f(d,c)＋eq\f(a,d)的最小值为________．解析：由基本不等式的推广可得，eq\f(b,a)＋eq\f(c,b)＋eq\f(d,c)＋eq\f(a,d)≥4eq\r(4,\f(b,a)·\f(c,b)·\f(d,c)·\f(a,d))＝4，当且仅当a＝b＝c＝d时，等号成立．答案：48．函数y＝4sin2x·cosx的最大值为_______，最小值为______．解析：因为y2＝16sin2x·sin2x·cos2x＝8(sin2x·sin2x·2cos2x)≤8eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sin2x＋sin2x＋2cos2x,3)))eq\s\up12(3)＝8×eq\f(8,27)＝eq\f(64,27)，所以y2≤eq\f(64,27)，当且仅当sin2x＝2cos2x，即tanx＝±eq\r(2)时取等号．所以ymax＝eq\f(8,9)eq\r(3)，ymin＝－eq\f(8,9)eq\r(3).答案：eq\f(8,9)eq\r(3)－eq\f(8,9)eq\r(3)三、解答题9．θ为锐角，求y＝sinθ·cos2θ的最大值．解：y2＝sin2θcos2θcos2θ＝eq\f(1,2)·2sin2θ(1－sin2θ)(1－sin2θ)≤eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(3)＝eq\f(4,27).当且仅当2sin2θ＝1－sin2θ，即sinθ＝eq\f(\r(3),3)时取等号．所以ymax＝eq\f(2\r(3),9).10．已知a，b，c均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)＋\f(1,c)))eq\s\up12(2)≥6eq\r(3)，并确定a，b，c为何值时，等号成立．证明：因为a，b，c均为正数，由算术—几何平均不等式，得a2＋b2＋c2≥3(abc)eq\s\up6(\f(2,3))，①eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)≥3(abc)－eq\f(1,3).所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)＋\f(1,c)))eq\s\up12(2)≥9(abc)－eq\f(2,3).②故a2＋b2＋c2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)＋\f(1,c)))eq\s\up12(2)≥3(abc)eq\s\up6(\f(2,3))＋9(abc)－eq\f(2,3).又3(abc)eq\s\up6(\f(2,3))＋9(abc)－eq\f(2,3)≥2eq\r(27)＝6eq\r(3)，③所以原不等式成立．当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立．当且仅当3(abc)eq\s\up6(\f(2,3))＝9(abc)－eq\f(2,3)时，③式等号成立．即当且仅当a＝b＝c＝eq\r(4,3)时，原式等号成立．B级实力提升1．已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V，则下列总成立的是()A．V≥π B．V≤πC．V≥eq\f(1,8)π D．V≤eq\f(1,8)π解析：设圆柱半径为r，则圆柱的高h＝eq\f(6－4r,2)，所以圆柱的体积为V＝πr2·h＝πr2·eq\f(6－4r,2)＝πr2(3－2r)≤πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r＋r＋3－2r,3)))eq\s\up12(3)＝π.当且仅当r＝3－2r，即r＝1时取等号．答案：B2．若a＞2，b＞3，则a＋b＋eq\f(1,（a－2）（b－3）)的最小值为______．解析：因为a＞2，b＞3，所以a－2＞0，b－3＞0，则a＋b＋eq\f(1,（a－2）（b－3）)＝(a－2)＋(b－3)＋eq\f(1,（a－2）（b－3）)＋5≥3eq\r(3,（a－2）×（b－3）×\f(1,（a－2）（b－3）))＋5＝8.当且仅当a－2＝b－3＝eq\f(1,（a－2）（b－3）)，即a＝3，b＝4时等号成立．答案：83.如图，在一张半径是2m的圆桌的正中心上空挂一盏电灯．大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍旧是不亮的．由物理学可知，桌子边缘一点处的亮度E和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角θ的正弦成正比，而和这一点到光源的距离r的平方成反比，即E＝eq\f(ksinθ,r2)，这里k是一个和灯光强度有关的常数．那么应当怎样选择灯的高度h，才能使桌子边缘处最亮？解：因为r＝eq\f(2,cosθ)，所以E＝k·eq\f(sinθcos2θ,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＜θ＜\f(π,2)))，所以E2＝eq\f(k2,16)·sin2θ·cos4θ＝eq\f(k2,32)·(2sin2θ)·cos2θ·cos2θ≤eq\f(k2,32)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c