2024秋高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.1空间向量及其加减运算3.1.2空间向量的数乘运算学案含解析新人教A版选修2-1

PAGE14-第三章空间向量与立体几何向量是一种重要的数学工具，它不仅在解决几何问题中有着广泛的应用，而且在物理学、工程科学等方面也有着广泛的应用，如鸟巢体育场的钢结构、北斗卫星定位系统示意图等．本章是在必修2中学习了立体几何初步以及必修4中学习了平面对量的基础上，学习空间向量及其运算，把平面对量推广到空间向量，并利用空间向量的运算解决有关的立体几何问题．由于空间向量具有代数形式与几何形式的“双重身份”，使之成为中学数学学问的一个交汇点．学习目标1．空间向量及其运算(1)了解空间向量的概念、空间向量基本定理及其意义，驾驭空间向量的正交分解及其坐标表示．(2)驾驭空间向量的线性运算及其坐标表示．(3)驾驭空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积推断向量的共线与垂直．2．空间向量的应用(1)理解直线的方向向量与平面的法向量．(2)能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系．(3)能用向量方法证明有关线面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)．(4)能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算问题，了解向量方法在探讨立体几何问题中的应用．本章重点空间向量的基本概念和基本运算；以空间向量为工具推断或证明立体几何中的线面位置关系；求空间角和空间的距离．本章难点用空间向量表示点、直线、平面的位置；用空间向量的运算表示空间直线与平面间的平行、垂直关系以及夹角的大小等；用空间向量解决立体几何问题．3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量及其加减运算3.1.2空间向量的数乘运算自主预习·探新知情景引入1987年11月台湾开放台胞来大陆探亲，起先时要从香港绕道，比如从台北到上海的路径是：台北→香港→上海.2008年7月起先两岸直航后，从台北到上海的路径是：台北→上海．假如把台北→香港的位移记为向量a，香港→上海的位移记为向量b，台北→上海的位移记为向量c，那么a＋b与c有怎样的关系呢？新知导学1．空间向量(1)定义：在空间，具有__大小__和__方向__的量叫做空间向量．(2)长度或模：向量的__大小__.(3)表示方法：①几何表示法：空间向量用__有向线段__表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量的起点是A，终点是B，也可记作：__eq\o(AB,\s\up6(→))__，其模记为__|a|__或__|eq\o(AB,\s\up6(→))|__.2．几类常见的空间向量名称方向模记法零向量__随意____0____0__单位向量随意__1__相反向量__相反__相等a的相反向量：__－a__eq\o(AB,\s\up6(→))的相反向量：__eq\o(BA,\s\up6(→))__相等向量相同__相等__a＝b3．空间向量的加减法和运算律(1)加法：eq\o(OB,\s\up6(→))＝__eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))__＝a＋b.(2)减法：eq\o(CA,\s\up6(→))＝__eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))__＝a－b.(3)加法运算律：①交换律：a＋b＝__b＋a__；②结合律：(a＋b)＋c＝__a＋(b＋c)__.4．空间向量的数乘运算(1)定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍旧是一个__向量__，称为向量的数乘运算．(2)向量a与λa的关系：λ的范围方向关系模的关系λ>0方向__相同__λa的模是a的模的__|λ|__倍λ＝0λa＝__0__其方向是随意的λ<0方向__相反__(3)空间向量的数乘运算律：①安排律：λ(a＋b)＝__λa＋λb__；②结合律：λ(μa)＝__(λμ)a__5．平行(共线)向量与共面对量平行(共线)向量共面对量定义位置关系表示空间向量的有向线段所在的直线的位置关系：__相互平行或重合__平行于同一个__平面__的向量特征方向__相同或相反__特例零向量与__随意向量__共线充要条件对空间随意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使__a＝λb__向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在__唯一__的有序实数对(x，y)使__p＝xa＋yb__推论对空间随意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t满意等式__eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋ta__，向量a为直线l的__方向向量__或在直线l上取向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，则eq\o(OP,\s\up6(→))＝__eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))__点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使eq\o(AP,\s\up6(→))＝__xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))__或对空间随意一点O，有eq\o(OP,\s\up6(→))＝__eq\o(OA,\s\up6(→))＋xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))__预习自测1．下列命题中，假命题的是(D)A．向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BA,\s\up6(→))的长度相等B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C．只有零向量的模等于0D．在同一条直线上的单位向量都相等[解析]在同一条直线上的单位向量方向可能相同，也可能相反．2．下列命题中正确的是(C)A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线B．向量a、b、c共面即它们所在的直线共面C．零向量没有确定的方向D．若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb[解析]由零向量定义知选C．而A中b＝0，则a与c不肯定共线；D中要求b≠0；B中a，b，c所在的直线可能异面．3．化简下列各式：(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))；(2)eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))；(3)eq\o(NQ,\s\up6(→))＋eq\o(QP,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))－eq\o(MP,\s\up6(→)).结果为零向量的个数是(D)A．0个 B．1个C．2个 D．3个[解析]对于(1)，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0；对于(2)，eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝0；对于(3)，eq\o(NQ,\s\up6(→))＋eq\o(QP,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))－eq\o(MP,\s\up6(→))＝(eq\o(NQ,\s\up6(→))＋eq\o(QP,\s\up6(→)))＋(eq\o(MN,\s\up6(→))－eq\o(MP,\s\up6(→)))＝eq\o(NP,\s\up6(→))＋eq\o(PN,\s\up6(→))＝0.4．(内蒙古赤峰市宁城县2024－2024学年高二期末)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，点M为AC与BD的交点，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(A1A,\s\up6(→))＝c则下列向量中与eq\o(B1M,\s\up6(→))相等的是(A)A．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cB．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cC．eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋cD．－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c[解析]因为利用向量的运算法则：三角形法则、平行四边形法则表示出eq\o(B1M,\s\up6(→))＝eq\o(B1B,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＝c＋eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝c－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b，选A．5．已知A、B、C三点不共线，O是平面ABC外任一点，若由eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋λeq\o(OC,\s\up6(→))确定的一点P与A、B、C三点共面，则λ＝__eq\f(2,15)__.[解析]由P与A、B、C三点共面，∴eq\f(1,5)＋eq\f(2,3)＋λ＝1，解得λ＝eq\f(2,15).互动探究·攻重难互动探究解疑命题方向❶空间向量的有关概念典例1(1)给出下列命题：①单位向量没有确定的方向；②空间向量是不能平行移动的；③有向线段可用来表示空间向量，有向线段长度越长，其所表示的向量的模就越大；④假如两个向量不相同，那么它们的长度也不相等．其中正确的是(C)A．①② B．②③C．①③ D．①③④(2)如图，在以长、宽、高分别为AB＝4，AD＝2，AA1＝1的长方体ABCD－A1B1C1D1中的八个顶点的两点为起点和终点的向量中，单位向量共有__8__个，模为eq\r(5)的全部向量为__eq\o(AD1,\s\up6(→))，eq\o(D1A,\s\up6(→))，eq\o(A1D,\s\up6(→))，eq\o(DA1,\s\up6(→))，eq\o(C1B,\s\up6(→))，eq\o(BC1,\s\up6(→))，eq\o(B1C,\s\up6(→))，eq\o(CB1,\s\up6(→))__.[思路分析](1)依据空间向量的基本概念逐一进行分析；(2)单位向量的模为1，依据长方体的左右两侧的对角线长均为eq\r(5)写出相应向量．[规范解答](1)①正确，单位向量的方向是随意的．②错误，空间向量可以平行移动．③正确，向量的模可以比较大小，有向线段长度越长，其所表示的向量的模就越大．④错误，假如两个向量不相同，它们的长度可以相等．(2)由于长方体的高为1，所以长方体的4条高所对应的向量eq\o(AA1,\s\up6(→))，eq\o(A1A,\s\up6(→))，eq\o(BB1,\s\up6(→))，eq\o(B1B,\s\up6(→))，eq\o(CC1,\s\up6(→))，eq\o(C1C,\s\up6(→))，eq\o(DD1,\s\up6(→))，eq\o(D1D,\s\up6(→))共8个单位向量．而其余向量模均不为1，故单位向量共8个．长方体的左、右两侧面的对角线长均为eq\r(5)，故模为eq\r(5)的向量有eq\o(AD1,\s\up6(→))，eq\o(D1A,\s\up6(→))，eq\o(A1D,\s\up6(→))，eq\o(DA1,\s\up6(→))，eq\o(C1B,\s\up6(→))，eq\o(BC1,\s\up6(→))，eq\o(B1C,\s\up6(→))，eq\o(CB1,\s\up6(→)).『规律总结』处理向量概念问题需留意两点①向量：推断与向量有关的命题时，要抓住向量的大小与方向，两者缺一不行．②单位向量：方向虽然不肯定相同，但长度肯定为1.┃┃跟踪练习1__■如图所示，以长方体ABCD－A1B1C1D1(1)试写出与eq\o(AB,\s\up6(→))相等的全部向量；(2)试写出eq\o(AA1,\s\up6(→))的相反向量；(3)若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量eq\o(AC1,\s\up6(→))的模．[解析](1)与向量eq\o(AB,\s\up6(→))相等的全部向量(除它自身之外)有eq\o(A1B1,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))及eq\o(D1C1,\s\up6(→))共3个．(2)向量eq\o(AA1,\s\up6(→))的相反向量为eq\o(A1A,\s\up6(→))，eq\o(B1B,\s\up6(→))，eq\o(C1C,\s\up6(→))，eq\o(D1D,\s\up6(→)).(3)|eq\o(AC1,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))|∴|eq\o(AC1,\s\up6(→))|2＝eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(AD,\s\up6(→))2＋eq\o(AA1,\s\up6(→))2＝9∴|eq\o(AC1,\s\up6(→))|＝3.命题方向❷空间向量的加减运算典例2如图，已知长方体ABCD—A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．(1)eq\o(AA′,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))；(2)eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(B′C′,\s\up6(→)).[思路分析](1)分析题意，将eq\o(CB,\s\up6(→))等价转化为eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(DA,\s\up6(→))转化为－eq\o(AD,\s\up6(→))，平行四边形法则得出结论．(2)应用平行四边形法则先求eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))，再应用三角形法则求eq\o(AB′,\s\up6(→))＋eq\o(B′C′,\s\up6(→)).[规范解答](1)eq\o(AA′,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AA′,\s\up6(→))－eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AD′,\s\up6(→)).(2)eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(B′C′,\s\up6(→))＝(eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＋eq\o(B′C′,\s\up6(→))＝eq\o(AB′,\s\up6(→))＋eq\o(B′C′,\s\up6(→))＝eq\o(AC′,\s\up6(→)).向量eq\o(AD′,\s\up6(→))、eq\o(AC′,\s\up6(→))如图所示．『规律总结』化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则进行化简，在化简过程中遇到减法时可敏捷应用相反向量转化成加法，也可按减法法则进行运算，加减法之间可相互转化．┃┃跟踪练习2__■(山东潍坊2024－2024学年高二期末)已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，设eq\o(PA,\s\up6(→))＝a，eq\o(PB,\s\up6(→))＝b，eq\o(PC,\s\up6(→))＝c，则eq\o(PD,\s\up6(→))＝(B)A．a＋b＋c B．a－b＋cC．a＋b－c D．－a＋b＋c[解析]如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，eq\o(PA,\s\up6(→))＝a，eq\o(PB,\s\up6(→))＝b，eq\o(PC,\s\up6(→))＝c，则eq\o(PD,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋(eq\o(PC,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→)))＝eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝a－b＋c.故选B．命题方向❸空间向量的数乘运算典例3已知四边形ABCD为正方形，P是ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O.Q是CD的中点，求下列各式中x、y的值：(1)eq\o(OQ,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))＋xeq\o(PC,\s\up6(→))＋yeq\o(PA,\s\up6(→))；(2)eq\o(PA,\s\up6(→))＝xeq\o(PO,\s\up6(→))＋yeq\o(PQ,\s\up6(→))＋eq\o(PD,\s\up6(→)).[思路分析]由题目可以获得以下主要信息：①四边形ABCD是正方形，O为中心，PO⊥平面ABCD，Q为CD中点；②用已知向量表示指定向量．解答本题需先画图，利用三角形法则或平行四边形法则表示出指定向量，再依据对应向量的系数相等，求出x、y即可．[规范解答]如图，(1)∵eq\o(OQ,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\o(PO,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\f(1,2)(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(PC,\s\up6(→))，∴x＝y＝－eq\f(1,2).(2)∵eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(PO,\s\up6(→))，∴eq\o(PA,\s\up6(→))＝2eq\o(PO,\s\up6(→))－eq\o(PC,\s\up6(→)).又∵eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(PD,\s\up6(→))＝2eq\o(PQ,\s\up6(→))，∴eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\o(PD,\s\up6(→)).从而有eq\o(PA,\s\up6(→))＝2eq\o(PO,\s\up6(→))－(2eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\o(PD,\s\up6(→)))＝2eq\o(PO,\s\up6(→))－2eq\o(PQ,\s\up6(→))＋eq\o(PD,\s\up6(→)).∴x＝2，y＝－2.『规律总结』1.用已知向量表示未知向量是一项重要的基本功，干脆关系到本章学习的成败，应仔细体会，并通过训练驾驭向量线性运算法则和运算律．2．空间向量的数乘运算定义，运算律与平面对量一样．┃┃跟踪练习3__■如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设eq\o(AA1,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c，M、N、P分别是AA1、BC、C1D1的中点，试用a、b、c表示以下各向量：(1)eq\o(AP,\s\up6(→))；(2)eq\o(A1N,\s\up6(→))；(3)eq\o(MP,\s\up6(→))＋eq\o(NC1,\s\up6(→)).[解析](1)∵P是C1D1的中点，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→))＋eq\o(D1P,\s\up6(→))＝a＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(D1C1,\s\up6(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)b.(2)∵N是BC的中点，∴eq\o(A1N,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)c.(3)∵M是AA1的中点，∴eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋(a＋c＋eq\f(1,2)b)＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c.又eq\o(NC1,\s\up6(→))＝eq\o(NC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)c＋a，∴eq\o(MP,\s\up6(→))＋eq\o(NC1,\s\up6(→))＝(eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c)＋(a＋eq\f(1,2)c)＝eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(3,2)c.命题方向❹共线向量典例4如图所示，ABCD－ABEF都是平行四边形，且不共面，M、N分别是AC、BF的中点，推断eq\o(CE,\s\up6(→))与eq\o(MN,\s\up6(→))是否共线？[思路分析]要推断eq\o(CE,\s\up6(→))与eq\o(MN,\s\up6(→))是否共线，由共线向量定理就是判定是否存在实数λ，使eq\o(CE,\s\up6(→))＝λeq\o(MN,\s\up6(→)).若存在，则eq\o(CE,\s\up6(→))与eq\o(MN,\s\up6(→))共线，否则eq\o(CE,\s\up6(→))与eq\o(MN,\s\up6(→))不共线．[规范解答]M、N分别是AC、BF的中点，而四边形ABCD、ABEF都是平行四边形，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(FN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up6(→)).又∵eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＋eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))－eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up6(→))，∴eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))－eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up6(→)).∴eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋2eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(FB,\s\up6(→))＝2(eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(FN,\s\up6(→)))．∴eq\o(CE,\s\up6(→))＝2eq\o(MN,\s\up6(→))，∴eq\o(CE,\s\up6(→))∥eq\o(MN,\s\up6(→))，即eq\o(CE,\s\up6(→))与eq\o(MN,\s\up6(→))共线．『规律总结』1.推断向量共线的策略(1)熟记共线向量充要条件：①a∥b，b≠0，则存在唯一实数λ使a＝λb；②若存在唯一实数λ，使a＝λb，b≠0，则a∥b.(2)推断向量共线的关键是找到实数λ.2．证明空间三点共线的三种思路对于空间三点P、A、B可通过证明下列结论来证明三点共线．(1)存在实数λ，使eq\o(PA,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))成立．(2)对空间任一点O，有eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))(t∈R)．(3)对空间任一点O，有eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))(x＋y＝1)．┃┃跟踪练习4__■e1，e2为不共线的非零向量，假如a＝4e1－eq\f(2,5)e2，b＝e1－eq\f(1,10)e2，试推断a，b是否共线．[解析]∵a＝4e1－eq\f(2,5)e2，b＝e1－eq\f(1,10)e2，∴a＝4(e1－eq\f(1,10)e2)＝4b，∴a，b为共线向量．命题方向❺共面问题典例5正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P、Q分别为A1D1、D1C1、AA1、CC1的中点，用向量方法证明M、N、P、Q[思路分析]要证M、N、P、Q四点共面，只需证明eq\o(MP,\s\up6(→))、eq\o(MN,\s\up6(→))、eq\o(MQ,\s\up6(→))共面，即寻求实数λ、μ、k，使得λeq\o(MP,\s\up6(→))＋μeq\o(MN,\s\up6(→))＋keq\o(MQ,\s\up6(→))＝0.为此，令eq\o(D1A1,\s\up6(→))＝a，eq\o(D1C1,\s\up6(→))＝b，eq\o(D1D,\s\up6(→))＝c，将eq\o(MP,\s\up6(→))、eq\o(MN,\s\up6(→))、eq\o(MQ,\s\up6(→))都用a、b、c线性表示，再寻求它们系数之间关系或者令eq\o(MQ,\s\up6(→))＝λeq\o(MP,\s\up6(→))＋μeq\o(MN,\s\up6(→))，建立λ、μ的方程组解之．[规范解答]令eq\o(D1A1,\s\up6(→))＝a，eq\o(D1C1,\s\up6(→))＝b，eq\o(D1D,\s\up6(→))＝c，∵M、N、P、Q均为棱的中点，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)a，eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\o(MA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1P,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)c，eq\o(MQ,\s\up6(→))＝eq\o(MD1,\s\up6(→))＋eq\o(D1C1,\s\up6(→))＋eq\o(C1Q,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋b＋eq\f(1,2)c.令eq\o(MQ,\s\up6(→))＝λeq\o(MN,\s\up6(→))＋μeq\o(MP,\s\up6(→))，则－eq\f(1,2)a＋b＋eq\f(1,2)c＝eq\f(1,2)(μ－λ)a＋eq\f(1,2)λb＋eq\f(1,2)μc，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)μ－λ＝－\f(1,2),\f(1,2)λ＝1,\f(1,2)μ＝\f(1,2)))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝2,μ＝1)).∴eq\o(MQ,\s\up6(→))＝2eq\o(MN,\s\up6(→))＋eq\o(MP,\s\up6(→))，因此向量eq\o(MQ,\s\up6(→))、eq\o(MN,\s\up6(→))、eq\o(MP,\s\up6(→))共面，∴四点M、N、P、Q共面．『规律总结』1.证明点P在平面ABC内，可以用eq\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，也可以用eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，若用eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))，则必需满意x＋y＋z＝1.2．判定三个向量共面一般用p＝xa＋yb，证明点线共面常用eq\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，证明四点共面常用eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＋z＝1)．┃┃跟踪练习5__■如图，已知E、F、G、H分别为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，用向量法证明E、F、G、H四点共面．[思路分析]要证E、F、G、H四点共面，依据共面对量定理，只需探求存在实数x，y，使eq\o(EG,\s\up6(→))＝xeq\o(EF,\s\up6(→))＋yeq\o(EH,\s\up6(→))成立．[解析]如图，连接BG、EG，则eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(EH,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(BG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))，所以eq\o(EG,\s\up6(→))＝eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BG,\s\up6(→))＝eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＋eq\o(EH,\s\up6(→))＝eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(EH,\s\up6(→)).由共面对量定理的推论知E、F、G、H四点共面．学科核心素养空间向量的线性运算在立体几何中的应用(1)立体几何中的线线平行可转化为两向量的平行，即证明两向量具有数乘关系即可．证明线面平行、面面平行均可转化为证明线线平行，然后依据空间向量的共线定理进行证明．特殊地，线面平行可转化为该直线的方向向量能用平面内的两个不共线向量表示．(2)在学习空间向量后，求解立体几何问题又增加了新的思路和方法．利用向量证明平行的关键是构造向量之间的线性关系．(3)解题时，应结合已知和所求，视察图形，联想相关的运算法则和公式，就近表示所需向量，再比照条件，将不符合要求的向量用新形式表示，如此反复，直到全部向量都符合目标要求为止．典例6如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面相互垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝eq\f(1,3)BD，AN＝eq\f(1,3)AE.求证：MN∥平面CDE.[思路分析]依据共面对量定理，证明向量eq\o(MN,\s\up6(→))平面CDE内两个不共线的向量共面即说明MN∥平面CDE.[规范解答]∵点M在BD上，且BM＝eq\f(1,3)BD，∴eq\o(MB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→)).同理，eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(DE,\s\up6(→)).∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\o(DA,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(AB,\s\up6(→))))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\o(AD,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(DE,\s\up6(→))))＝eq\f(2,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(DE,\s\up6(→)).由于eq\o(CD,\s\up6(→))与eq\o(DE,\s\up6(→))不共线，依据向量共面的充要条件可知eq\o(MN,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(DE,\s\up6(→))共面．因为MN不在平面CDE内，所以MN∥平面CDE.『规律总结』解答本题要留意向量共面与直线平行于平面的联系与区分，假如没有充分理解定义、定理的实质，本题简单漏掉MN不在平面CDE内而致错．┃┃跟踪练习6__■已知AB，CD是异面直线，CD⊂α，AB∥α，M，N分别是AC，BD的中点．求证MN∥α.[思路分析]运用共面对量定理先证出eq\o(MN,\s\up6(→))与平面α内两个不共线的向量共面，进而说明MN∥α.[证明]因为CD⊂α，AB∥α，且AB，CD是异面直线，所以在平面α内存在向量a，b，使得eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(CD,\s\up6(→))＝b，且两个向量不共线．由M，N分别是AC，BD的中点，得eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DN,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6