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PAGEPAGE1课时作业3合情推理时间:45分钟分值:100分一、选择题(每小题6分,共计36分)1.数列eq\r(2),eq\r(5),2eq\r(2),eq\r(11)…的一个通项公式是()A.an=eq\r(3n-3) B.an=eq\r(3n-1)C.an=eq\r(3n+1) D.an=eq\r(3n+3)解析:方法一:因为a1=eq\r(3×1-1),a2=eq\r(3×2-1),a3=eq\r(3×3-1),a4=eq\r(3×4-1),由此揣测an=eq\r(3n-1),方法二:由a1=eq\r(2)可解除A、C、D,选B.答案:B2.下边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发觉的,称为杨辉三角形,依据图中的数构成的规律,a所表示的数是()1121133114a4115101051A.2 B.4C.6 D.8解析:由杨辉三角形可以发觉:每一行除1外,每个数都是它肩膀上的两数之和.故a=3+3=6.答案:C3.类比平面正三角形的“三边相等,三内角相等”的性质,则在正四面体的下列性质中,你认为比较恰当的是()①各棱长相等,同一顶点上的随意两条棱的夹角都相等;②各个面都是全等的正三角形,随意相邻两个面所成的二面角都相等;③各个面都是全等的正三角形.A.① B.①②C.①②③ D.③解析:由平面几何与立体几何的类比特点可知三条性质都是恰当的.答案:C4.已知{bn}为等比数列,b5=2,则b1b2b3…b9=29.若{an}为等差数列,a5=2,则{an}的类似结论为()A.a1a2a3…a9=29 B.a1+a2+…+aC.a1a2…a9=2×9 D.a1+a2+…+a9=2×解析:等比数列中的积运算类比等差数列中的和运算,从而有a1+a2+…+a9=2+2+…+2eq\o(,\s\do4(9个))=2×9.答案:D5.视察下列各式:72=49,73=343,74=2041,…,则72013的末两位数字为()A.01 B.43C.07 D.49解析:因为71=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807,76=117649,…,所以这些数的末两位数字呈周期性出现,且周期T=4.又2013=4×503+1,所以72013的末两位数字与71的末两位数字相同,为07.答案:C6.将正整数排成下表:12345678910111213141516…则在表中数字2013出现在()A.第44行第78列 B.第45行第78列C.第44行第77列 D.第45行第77列解析:第n行有2n-1个数字,前n行的数字个数为1+3+5+…+(2n-1)=n2.∵442=1936,452=2025,且1936<2013<2025,∴2013在第45行.又2025-2013=12,且第45行有2×45-1=89个数字,∴2013在第89-12=77列.答案:D二、填空题(每小题8分,共计24分)7.有下列不等式:a2+b2≥2ab,a3+b3≥a2b+ab2,…,其中a,b都大于0,试猜想:若a,b都大于0,m,n∈N*,则am+n+bm+n≥________.解析:由a2+b2≥ab+ab,a3+b3≥a2b+ab2,由此猜想,am+n+bm+n≥ambn+anbm.答案:ambn+anbm8.在平面上,若两个正三角形的边长比为12,则它们的面积比为14.类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长比为12,则它们的体积比为________.解析:eq\f(V1,V2)=eq\f(\f(1,3)S1h1,\f(1,3)S2h2)=eq\f(S1,S2)·eq\f(h1,h2)=eq\f(1,4)×eq\f(1,2)=eq\f(1,8).答案:189.下图(1)所示的图形有面积关系:eq\f(S△PA′B′,S△PAB)=eq\f(PA′·PB′,PA·PB),则下图(2)所示的图形有体积关系:eq\f(VP—A′B′C′,VP—ABC)=________.答案:eq\f(PA′·PB′·PC′,PA·PB·PC)三、解答题(共计40分)10.(10分)已知在数列{an}中,a1=eq\f(1,2),an+1=eq\f(3an,an+3),(1)求a2,a3,a4,a5的值;(2)猜想an.解:(1)a2=eq\f(3a1,a1+3)=eq\f(3×\f(1,2),\f(1,2)+3)=eq\f(3,7)=eq\f(3,2+5),同理,a3=eq\f(3a2,a2+3)=eq\f(3,8)=eq\f(3,3+5),a4=eq\f(3,9)=eq\f(3,4+5),a5=eq\f(3,10)=eq\f(3,5+5),(2)猜想an=eq\f(3,n+5).11.(15分)设函数f(x)=eq\f(x,x+2)(x>0),视察:f1(x)=f(x)=eq\f(x,x+2),f2(x)=f(f1(x))=eq\f(x,3x+4),f3(x)=f(f2(x))=eq\f(x,7x+8),f4(x)=f(f3(x))=eq\f(x,15x+16),…依据以上事实,由归纳推理归纳当n∈N*且n≥2时,fn(x)的表达式.解:由已知可归纳如下:f1(x)=eq\f(x,21-1x+21),f2(x)=eq\f(x,22-1x+22),f3(x)=eq\f(x,23-1x+23),f4(x)=eq\f(x,24-1x+24),…fn(x)=eq\f(x,2n-1x+2n).所以归纳得到当n∈N*且n≥2时,fn(x)=eq\f(x,2n-1x+2n).12.(15分)在公比为4的等比数列{bn}中,若Tn是数列{bn}的前n项积,则有eq\f(T20,T10),eq\f(T30,T20),eq\f(T40,T30)也成等比数列,且公比为4100;类比上述结论,相应地,在公差为3的等差数列{an}中,若Sn是{an}的前n项和.(1)写出相应的结论,推断该结论是否正确?并加以证明;(2)写出该结论的一个更为一般的情形(不必证明).解:(1)数列S20-S10,S30-S20,S40-S30也是等差数列,且公差为300.该结论是正确的.证明如下:因为等差数列{an}的公差d=3,所以(S30-S20)-(S20-S10)=(a21+a22+…+a30)-(a11+a12+…+a20)=10d+10d+…+10eq\o
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