2024秋高中数学第二章推理与证明课时作业3合情推理含解析新人教A版选修1-2

PAGEPAGE1课时作业3合情推理时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题6分，共计36分)1．数列eq\r(2)，eq\r(5)，2eq\r(2)，eq\r(11)…的一个通项公式是()A．an＝eq\r(3n－3) B．an＝eq\r(3n－1)C．an＝eq\r(3n＋1) D．an＝eq\r(3n＋3)解析：方法一：因为a1＝eq\r(3×1－1)，a2＝eq\r(3×2－1)，a3＝eq\r(3×3－1)，a4＝eq\r(3×4－1)，由此揣测an＝eq\r(3n－1)，方法二：由a1＝eq\r(2)可解除A、C、D，选B.答案：B2．下边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发觉的，称为杨辉三角形，依据图中的数构成的规律，a所表示的数是()1121133114a4115101051A．2 B．4C．6 D．8解析：由杨辉三角形可以发觉：每一行除1外，每个数都是它肩膀上的两数之和．故a＝3＋3＝6.答案：C3．类比平面正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，则在正四面体的下列性质中，你认为比较恰当的是()①各棱长相等，同一顶点上的随意两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，随意相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形．A．① B．①②C．①②③ D．③解析：由平面几何与立体几何的类比特点可知三条性质都是恰当的．答案：C4．已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为()A．a1a2a3…a9＝29 B．a1＋a2＋…＋aC．a1a2…a9＝2×9 D．a1＋a2＋…＋a9＝2×解析：等比数列中的积运算类比等差数列中的和运算，从而有a1＋a2＋…＋a9＝2＋2＋…＋2eq\o(,\s\do4(9个))＝2×9.答案：D5．视察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2041，…，则72013的末两位数字为()A．01 B．43C．07 D．49解析：因为71＝7,72＝49,73＝343,74＝2401,75＝16807，76＝117649，…，所以这些数的末两位数字呈周期性出现，且周期T＝4.又2013＝4×503＋1，所以72013的末两位数字与71的末两位数字相同，为07.答案：C6．将正整数排成下表：12345678910111213141516…则在表中数字2013出现在()A．第44行第78列 B．第45行第78列C．第44行第77列 D．第45行第77列解析：第n行有2n－1个数字，前n行的数字个数为1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.∵442＝1936,452＝2025，且1936<2013<2025，∴2013在第45行．又2025－2013＝12，且第45行有2×45－1＝89个数字，∴2013在第89－12＝77列．答案：D二、填空题(每小题8分，共计24分)7．有下列不等式：a2＋b2≥2ab，a3＋b3≥a2b＋ab2，…，其中a，b都大于0，试猜想：若a，b都大于0，m，n∈N*，则am＋n＋bm＋n≥________.解析：由a2＋b2≥ab＋ab，a3＋b3≥a2b＋ab2，由此猜想，am＋n＋bm＋n≥ambn＋anbm.答案：ambn＋anbm8．在平面上，若两个正三角形的边长比为12，则它们的面积比为14.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为12，则它们的体积比为________．解析：eq\f(V1,V2)＝eq\f(\f(1,3)S1h1,\f(1,3)S2h2)＝eq\f(S1,S2)·eq\f(h1,h2)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,8).答案：189．下图(1)所示的图形有面积关系：eq\f(S△PA′B′,S△PAB)＝eq\f(PA′·PB′,PA·PB)，则下图(2)所示的图形有体积关系：eq\f(VP—A′B′C′,VP—ABC)＝________.答案：eq\f(PA′·PB′·PC′,PA·PB·PC)三、解答题(共计40分)10．(10分)已知在数列{an}中，a1＝eq\f(1,2)，an＋1＝eq\f(3an,an＋3)，(1)求a2，a3，a4，a5的值；(2)猜想an.解：(1)a2＝eq\f(3a1,a1＋3)＝eq\f(3×\f(1,2),\f(1,2)＋3)＝eq\f(3,7)＝eq\f(3,2＋5)，同理，a3＝eq\f(3a2,a2＋3)＝eq\f(3,8)＝eq\f(3,3＋5)，a4＝eq\f(3,9)＝eq\f(3,4＋5)，a5＝eq\f(3,10)＝eq\f(3,5＋5)，(2)猜想an＝eq\f(3,n＋5).11．(15分)设函数f(x)＝eq\f(x,x＋2)(x>0)，视察：f1(x)＝f(x)＝eq\f(x,x＋2)，f2(x)＝f(f1(x))＝eq\f(x,3x＋4)，f3(x)＝f(f2(x))＝eq\f(x,7x＋8)，f4(x)＝f(f3(x))＝eq\f(x,15x＋16)，…依据以上事实，由归纳推理归纳当n∈N*且n≥2时，fn(x)的表达式．解：由已知可归纳如下：f1(x)＝eq\f(x,21－1x＋21)，f2(x)＝eq\f(x,22－1x＋22)，f3(x)＝eq\f(x,23－1x＋23)，f4(x)＝eq\f(x,24－1x＋24)，…fn(x)＝eq\f(x,2n－1x＋2n).所以归纳得到当n∈N*且n≥2时，fn(x)＝eq\f(x,2n－1x＋2n).12．(15分)在公比为4的等比数列{bn}中，若Tn是数列{bn}的前n项积，则有eq\f(T20,T10)，eq\f(T30,T20)，eq\f(T40,T30)也成等比数列，且公比为4100；类比上述结论，相应地，在公差为3的等差数列{an}中，若Sn是{an}的前n项和．(1)写出相应的结论，推断该结论是否正确？并加以证明；(2)写出该结论的一个更为一般的情形(不必证明)．解：(1)数列S20－S10，S30－S20，S40－S30也是等差数列，且公差为300.该结论是正确的．证明如下：因为等差数列{an}的公差d＝3，所以(S30－S20)－(S20－S10)＝(a21＋a22＋…＋a30)－(a11＋a12＋…＋a20)＝10d＋10d＋…＋10eq\o