2024秋高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2反证法达标练习含解析新人教A版选修2-2

PAGE1-其次章推理与证明2.2干脆证明与间接证明2.2.2反证法[A级基础巩固]一、选择题1．实数a，b，c满意a＋b＋c＝0，则正确的说法是()A．a，b，c都是0B．a，b，c都不为0C．a，b，c中至少有一个为0D．a，b，c不行能均为正数答案：D2．用反证法证明“a，b∈N，假如ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应当是()A．a，b都能被5整除 B．a，b都不能被5整除C．a，b不都能被5整除 D．a能被5整除解析：由于反证法是否定命题的结论，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．“a，b中至少有1个能被5整除”的否定是“a，b都不能被5整除”．答案：B3．“实数a，b，c不全大于0”等价于()A．a，b，c均不大于0B．a，b，c中至少有一个大于0C．a，b，c中至多有一个大于0D．a，b，c中至少有一个不大于0解析：“不全大于零”即“至少有一个不大于0”，它包括“全不大于”．选项D正确．答案：D4．用反证法证明命题“若直线AB、CD是异面直线，则直线AC、BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：①则A、B、C、D四点共面，所以AB、CD共面，这与AB、CD是异面直线冲突；②所以假设错误，即直线AC、BD也是异面直线；③假设直线AC、BD是共面直线．则正确的序号依次为()A．①②③ B．③①②C．①③② D．②③①解析：结合反证法的证明步骤可知，其正确步骤为③①②.答案：B5．有下列叙述：①“a>b”的反面是“a<b”；②“x＝y”的反面是“x>y或x<y”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”．其中正确的叙述有()A．0个B．1个C．2个D．3个解析：①错：应为a≤b；②对；③错：应为三角形的外心在三角形内或在三角形的边上；④错：应为三角形可以有2个或2个以上的钝角．答案：B二、填空题6．用反证法证明命题“假如a>b，那么eq\r(3,a)>eq\r(3,b)”时，假设的内容应是______________．解析：“大于”的否定为“小于或等于”．答案：eq\r(3,a)＝eq\r(3,b)或eq\r(3,a)<eq\r(3,b)成立7．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°冲突，故假设错误．②所以一个三角形不能有两个直角．③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.上述步骤的正确依次为________．(填序号)答案：③①②8．有甲、乙、丙、丁四位歌手参与竞赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是________．解析：若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的话都是错的，同理可推知乙、丙、丁获奖的状况，最终可知获奖的歌手是丙．答案：丙三、解答题9．(1)当x>1时，求证：x2＋eq\f(1,x2)>x＋eq\f(1,x)；(2)已知x∈R，a＝x2－x＋1，b＝4－x，c＝x2－2x，试证明a，b，c中至少有一个不小于1.证明：(1)x2＋eq\f(1,x2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))＝eq\f(（x－1）2（x2＋x＋1）,x2)，因为x>1，所以(x－1)2>0，x2>0，x2＋x＋1>0，所以x2＋eq\f(1,x2)>x＋eq\f(1,x).(2)假设a，b，c都小于1，即a<1，b<1，c<1，则有a＋b＋c<3，①而a＋b＋c＝2x2－4x＋5＝2(x－1)2＋3≥3，②①与②冲突，故a，b，c中至少有一个不小于1.10．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根．证明：假设f(x)＝0有整数根n，则an2＋bn＋c＝0，由f(0)为奇数，即c为奇数，f(1)为奇数，即a＋b＋c为奇数，所以a＋b为偶数，又an2＋bn＝－c为奇数，所以n与an＋b均为奇数，又a＋b为偶数，所以an－a为奇数，即(n－1)a为奇数，所以n－1为奇数，这与n为奇数冲突．所以f(x)＝0无整数根．B级实力提升1．已知a，b，c∈(0，＋∞)，则下列三个数a＋eq\f(4,b)，b＋eq\f(9,c)，c＋eq\f(16,a)()A．都大于6 B．至少有一个不大于6C．都小于6 D．至少有一个不小于6解析：假设a＋eq\f(4,b)，b＋eq\f(9,c)，c＋eq\f(16,a)都小于6，则a＋eq\f(4,b)＋b＋eq\f(9,c)＋c＋eq\f(16,a)<18，利用基本不等式可得a＋eq\f(4,b)＋b＋eq\f(9,c)＋c＋eq\f(16,a)≥2eq\r(b·\f(4,b))＋2eq\r(a·\f(16,a))＋2eq\r(c·\f(9,c))＝4＋8＋6＝18，当且仅当a＝4，b＝2，c＝3时取等号．这与假设冲突，故假设不成立，故a＋eq\f(4,b)，b＋eq\f(9,c)，c＋eq\f(16,a)这三个数中至少有一个不小于6.答案：D2．若下列两个方程x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是________________．解析：若两方程均无实根，则Δ1＝(a－1)2－4a2＝(3a－1)(－a－1)＜0，解得a＜－1或a＞eq\f(1,3).Δ2＝(2a)2＋8a＝4a(a＋2)＜0，解得－2＜a＜0，所以－2＜a＜－1.所以，若两个方程至少有一个方程有实根，则有a≤－2或a≥－1.答案：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\a\vs4\al(|)a≤－2或a≥－1))3．求证：不论x，y取何非零实数，等式eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝eq\f(1,x＋y)总不成立．证明：假设存在非零实数x，y使得等式eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝eq\f(1,x＋y)成立．于是有y(x＋y)＋x(x＋y)＝