第24讲 进位制（教师版）

第24讲进位制（教师版）一、第24讲进位制1.化(5326)8为十进制．【答案】解：(5326)8=5×83+3×82+2×8+

=2774．反过来，十进制化g进制，用除法．【解析】【分析】一般地，g进制化十进制可以写成（a0a1……an）g=a0×gn+a1×gn-1+……+an×g，将g=8代入，计算即可.2.将2774化为八进制中的数．【答案】解：作除法(这种写法常称为短除法)：由此可见2774=5×83+3×82+2×8+6=(5326)8．也就是将余数从下往上写(5可以看作再除一次8，所得的余数)，便得出八进制中的数5326．二进制由于只有两个数字，可以用两种状态(例如电路的开关)模拟．二进制的运算也十分简单，因而应用十分广泛，尤其在计算机中，基本上都用二进制与八进制．二进制的四则运算与十进制基本相同，只是在加减运算中，“逢十进一”改为“逢二进一”．在乘除运算中，乘法口诀只剩一句：“一一得一”．完全不需要背乘法表．当然，0乘任何数，积为0．【解析】【分析】用短除法将2774除以8所得的余数，也就是将余数从下往上写便得出八进制中的数．3.

计算：（1）(111)2×(101)2；（2）(100011)2÷(101)2．【答案】（1）解：采用竖式(为简便计，略去(

)2)：∴(111)2×(101)2=(100011)2．

（2）解:

∴(100011)2÷(101)2=(111)2．不仅十进制与g进制可以互化，任意两种进位制都可以互化.【解析】【分析】（1）先将111×101用竖式计算，根据二进制“逢二进一”，计算即可得出答案.

（2）先将100011÷101用竖式计算，根据二进制“逢二进一”，反之，“借一当二”，计算即可得出答案.4.化八进制数(1532)8为四进制。【答案】解：解法一(1532)8=1×83+5×82+3×8+2

=512+320+24+2

=858，

所以(1532)8=(31122)4，解法二也可以将8的幂直接换成4的幂．(1532)8=83+5×82+3×8+2

=2×44+(1+4)×43+(2+4)×4+2

=2×44+(44+43)+(42+2×4)+2

=3×44+43+42+2×4+2

=(31122)4解法三8与4都是2的幂，可以借助二进制．(1532)8=(1000000000)2+(101)2×(1000000)2+(11)2×(1000)2+(10)2=(1101011010)2=(31122)4．最后一步二进制化四进制的办法是先将二进制的数从右到左每两位作为一节：

11，01，01，10，10，每一节变为四进制的一个数字：102，011，111×2+1=3．n位的二进制数，共有2n个，最小的为0，最大的为2n-1+2n-2+…+2+1=2n-1．所以，位数不超过n的二进制数恰好是十进制中的0到2n-1的2n个整数．如果用1克，2克，22克，…，2n-1克这n个砝码来称物体，而砝码只允许放在天平的一边，那么根据上面所说，可以称出不超过2n-1克的所有整数重量．【解析】【分析】分析可先将八进制化为十进制，再由十进制化为四进制．5.用一架天平，要称出1克至100克之间的所有整数克的重量，至少需要多少砝码(砝码可以放在天平的任一边)?【答案】解：用重量为a、b、c、d克的四个砝码，可以称出的重量为|ax+by+cz+du|

②克，

其中x可取0(即不用砝码盘a)、1(砝码a放在右盘)、-1(砝码a放在左盘)这3个值．

y、z、u也是如此，因此，②至多有3×3×3×3个不同的值．由于其中有一个为0(x=y=z=u=0)，并且在x、y、z、u同时变号时，②的值不变，实际上②只有(3×3×3×3+1)=41个值，即至多称出41种重量．要称出1～100克这100种重量，至少要5个砝码．另一方面，不难验证用重量为1、3、9、27的砝码可以称出1～40克的重量(例如37=27+9+3-2)．

再加1个60克的砝码就可以称出1～100克的重量(例如56=60-(3+1))．当然，1、3、9、27、60并不是唯一的解，用重为1、3、9、27、81克的5个砝码也能称出1～100克的整数重量．【解析】【分析】首先说明4个砝码不够．然后举出5个砝码可以称出1～100克的例子