第6讲 列方程（组）解应用题（教师版）

第6讲列方程（组）解应用题（教师版）一、解答题1.传说希腊数学家丢番图的墓碑上面刻着：“他的童年占去一生的，接着是少年时期，又过了的时光，他结婚了．5年以后，有了儿子．可是儿子命运不济，只活到父亲岁数的一半，就匆匆离去．4年后，他也因过分悲伤而离开了人世．”问丢番图活了多少岁?【答案】解：设丢番图活了x岁，根据题意，得去分母，得移项，合并同类项得所以答：丢番图活了84岁．【解析】【分析】设丢番图活了x岁，童年是岁，少年时期是岁，青年时期是岁，他和儿子一起生活的时间是年，把丢番图的一生分成几个阶段，然后利用总量等于各分量之和来列出等式，求解即可。2.一个两位数，十位数字与个位数字的和是8．这个两位数除以十位数字与个位数字的差，所得的商是11，余数是5，求这个两位数．【答案】解:设这个两位数的十位数字是x,则个位数字是(8-x)，从而这个两位数可以表示成．根据题意，得解得x=7所以8-x=1答:这个两位数是71．【解析】【分析】本题是一个数字问题．在这种问题中，经常要把一个整数用它的各位数字表示出来，设这个两位数的十位数字是x,则个位数字是(8-x)，从而这个两位数可以表示成10x+(8−x)，这个两位数十位数字与个位数字的差为：[x−(8−x)]，根据商乘以除数加上余数等于被除数，即可列出方程，求解即可。3.修一条公路，甲队单独修需10天完成，乙队单独修需要12天完成，丙队单独修需15天完成．现在先由甲队修2.5天，再由乙队接着修，最后还剩下一段路，由三队合修2天才完成任务．求乙队在整个修路工程中工作了几天?【答案】解:设乙队在整个修路工程中共工作了x天，由题意得

解得X=5

答:乙队在修路工程中共工作了5天．【解析】【分析】本题是一个工程问题，这类问题用到的主要关系式为：工作量=工作效率×工作时间．工作效率=工作量÷工作时问．工作时间=工作量÷工作效率．若没有给出具体的工作量，则通常把工作量看作1，设乙队在整个修路工程中共工作了x天，甲队工作了4.5天，丙队工作了2天，甲队的工作效率是，乙队的工作效率是，丙队的工作效率是，甲队的工作量是，,乙队的工作量是,丙队的工作量是，根据甲队修2.5天，再由乙队接着修，最后还剩下一段路，由三队合修2天才完成任务，列出方程，求解即可。4.A、B、C三个阀门，同时开放，1小时可注满水池．只开放A、C两个阀门，1.5小时可注满水池．只开放B、C两个阀门，2小时可注满水池．

问：只开放A、B两个阀门，需多少时间才能注满水池?【答案】解:设单独开放A、B、C三个阀门，分别需x、y、z小时才能注满水池．

由题意，得

将视为整体，解得

所以④

即只开放A、B两个阀门，注满水池需

（时）

答：需小时【解析】【分析】本题实际上也是一个工程问题．设单独开放A、B、C三个阀门，分别需x、y、z小时才能注满水池，这类问题通常将工作总量看成单位1，则A,B,C三个阀门的工作效率分式是：,,,根据工作效率乘以工作时间等于工作总量，由A、B、C三个阀门，同时开放，1小时可注满水池．只开放A、C两个阀门，1.5小时可注满水池．只开放B、C两个阀门，2小时可注满水池，列出方程组，(2)在解方程时，我们视为整体，这实际上用到了换元法的思想．（3）由可直接得出④及结果，从而得出答案。5.某班学生到A景点春游．队伍从学校出发，以每小时4千米的速度前进．走到1千米时，班长被派回学校取一件遗忘的东西．他以每小时5千米的速度回校，取了东西后又以同样的速度追赶队伍，结果在距景点1千米的地方追上了队伍．求学校到景点的路程．【答案】解:设学校到景点之间的路程为工x千米，则从班长离开队伍到追上队伍这段时间内，班长走了(x-1+1)千米，队伍走了(x-1-1)千米．由他们走完各自路程所用的时问相同，得

(x-1+1)÷5=(x-1-1)÷4，

解得

x=10．

答：学校到该景点之间的路程为10千米．【解析】【分析】本题是一个行程问题，这类问题用到的主要关系式有：路程=速度×时间．速度=路程÷时间．时间=路程÷速度．设学校到景点之间的路程为工x千米，则从班长离开队伍到追上队伍这段时间内，班长走了(x-1+1)千米，队伍走了(x-1-1)千米,根据路程除以速度等于时间得出班长所用的时间为：小时，队伍所用的时间为：小时，根据他们走完各自路程所用的时问相同，即可列出方程，求解即可。6.从甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路．没有平路．一辆汽车上坡时每小时行驶20千米，下坡时每小时行驶35千米．车从甲地到乙地需9小时．从乙地到甲地需7小时．问甲、乙两地间的公路有多少千米?其中从甲地到乙地的上、下坡路各多少千米?【答案】解：设从甲到乙的上坡路为x千米，下坡路为y千米，从乙到甲时上坡路为y千米，下坡路为x千米．由题意有解得所以甲、乙两地问的公路有140+70=210(千米)．答：甲、乙两地问的公路有210千米，从甲地到乙地的上、下坡路分别为140千米和70千米．【解析】【分析】设从甲到乙的上坡路为x千米，下坡路为y千米，从乙到甲时坡路为y千米，下坡路为x千米，则从甲地去乙地行上坡路所用的时间为小时，行下坡路所用的时间为小时，根据车从甲地到乙地需9小时，可以列出一个方程；从乙地去甲地行上坡路所用的时间为小时，行下坡路所用的时间为小时，根据车从乙地到甲地需小时，可以列出一个方程，从而列出方程组，求解即可得出答案。7.农场有两片试验田．甲田的面积比总面积的一半少7公顷．乙田的面积比总面积的多32公顷．问甲田和乙田各多少公顷?【答案】解：设这两片试验田的总面积为x公顷，则甲田的面积为公顷，乙田的面积为公顷，由题意，得解得X=150所以答：甲田有68公顷，乙田有82公顷．【解析】【分析】本题采用设间接未知数的方法．设这两片试验田的总面积为x公顷，则甲田的面积为公顷，乙田的面积为公顷，根据两块田的面积这和等于总面积x，即可列出方程，求解即可得出答案。8.甲、乙两书架各有若干本书．如果从乙架拿5本书放到甲架上，那么甲架上的书就比乙架上剩余的书多4倍．如果从甲架拿5本书放到乙架上，那么甲架上剩余的书是乙架上的书的3倍．问原来甲架、乙架各有书多少本?【答案】解:设原来甲架有x本书，乙架有y本书．根据题意，有解得答原来甲架有书95本，乙架有书25本．【解析】【分析】如从乙架上拿5本书到甲架，则乙架上的书少5本，而甲架上的书多5本，后一点千万别忘了．“甲架上的书比乙架上的书多4倍“相当于“甲架上的书是乙架上的书的5倍”．一般地。“a是b的k倍“与“a比b多k倍”这两句话的含义是不同的，前者相当于a=kb，后者相当于a=(k+1)b，设原来甲架有x本书，乙架有y本书，如果从乙架拿5本书放到甲架上，则乙书架有书（y-5）本，甲书架有书（x+5）本，根据甲架上的书就比乙架上剩余的书多4倍列出方程x+5=5(y−5)，如果从甲架拿5本书放到乙架上，则乙书架有书（y+5）本，甲书架有书（x-5）本，根据甲架上剩余的书是乙架上的书的3倍，列出方程x−5=3(y+5)，从而得出方程组，求解即可。9.小强问叔叔多少岁了．叔叔说：“我像你这么大时，你才4岁．你到我这么大时，我就40岁了．”问小强和叔叔今年各是多少岁?【答案】解法一：设小强今年x岁，叔叔今年y岁，根据小强和叔叔的年龄差不变，可得解得答：小强今年16岁，叔叔今年28岁．解法二设两人年龄的差为d，则小强今年(4+d)岁，叔叔(4+2d)岁，并且4+3d=40．所以d=12．小强4+d=16岁，叔叔4+2d=28岁．【解析】【分析】本题是一个与年龄有关的问题．解这类问题，关键是抓住年龄差不变这一特点来列方程(组)，解法一：设小强今年x岁，叔叔今年y岁，则小强4岁时，叔叔的岁数为：x岁，叔叔40岁时小强y岁,小强由四岁到x岁长了（x-4）岁，叔叔由x岁长到y岁长了（y-x）岁；由小强由四岁到x岁与叔叔由x岁长到y岁长的岁数是一样的，可以列出一个方程；小强由x岁到y岁长了（y-x）岁，叔叔由y岁长到40岁长了（40-y）岁；由小强由x岁到y岁与叔叔由y岁长到40岁长的岁数是一样的，可以列出一个方程,从而列出方程组，求解得出x,y的值；

解法二设两人年龄的差为d，则小强今年(4+d)岁，叔叔(4+2d)岁，由你到我这么大时，我就40岁，可知：叔叔40岁的时候，还需要长d岁，从而得出叔叔40岁时的年龄也可以表示为：(4+3d)岁，从而列出方程，求解即可得出答案。10.设有四个数，其中每三个数的和分别是17、21、25、30．求这四个数．【答案】解法一：设这四个数分别为z、y、z、w，则根据题意，有4个方程相加再除以3得z+y+z+w=31，用它分别去减上面的方程得答这四个数分别为10、6、1、14．解法二:设这四个数的和为x，则这四个数分别为(x-17),(x-21)，(x-25)，(x-30)．从而有(x-17)+(x-21)+(x-25)+(x-30)=x．解得X=31．所以_x-1=14，x-21=10，x-25=6，x-30=1．答这四个数分别为14、10、6、1．【解析】【分析】在一些条件不太明显或比较复杂的问题中，要列出算式，用算术法解应用题是比较困难的．而通过设未知数，往往可以直接或比较直接地把条件用等式表示出来，同样地，设一个未知数比较困难时，可以多设几个未知数，使列式更加简单．一般来说，解方程(组)相对列方程(组)而言是比较容易的

解法一：设这四个数分别为z、y、z、w，根据四个数，其中每三个数的和分别是17、21、25、30