第9章《中心对称图形-平行四边形》（解析）

2022-2023学年苏科版数学八年级下册易错题真题汇编（提高版）第9章《中心对称图形—平行四边形》考试时间：120分钟试卷满分：100分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023春•东台市月考）如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连接OE，下列结论：①∠CAD＝30°；②S▱ABCD＝AB•AC；③OB＝AB；成立的个数有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠BEA，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠BEA＝∠BAE，∴AB＝EB，∵∠ABE＝∠ADC＝60°，∴△ABE是等边三角形，∴AB＝BE＝AE，∵AB＝BC，∴BE＝BC，∴BE＝CE＝AE，∴∠EAC＝∠ECA，∴∠AEB＝∠EAC+∠ECA＝2∠ECA＝60°，∴∠ECA＝30°，∴∠CAD＝∠ECA＝30°，故①正确；∵∠EAC＝∠ECA＝30°，∠BAE＝60°，∴∠BAC＝∠EAC+∠BAE＝30°+60°＝90°，∴AC⊥AB，∴S▱ABCD＝AB•AC，故②正确；AB⊥OA，∴OB＞AB，∴OB≠AB，故③错误，故选：C．2．（2分）（2023•新城区一模）如图所示，增加下列一个条件可以使平行四边形ABCD成为矩形的是（）A．∠BAD＝∠BCD B．AC⊥BD C．∠BAD＝90° D．AB＝BC解：A∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD＝∠BCD，故选项A不符合题意；B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，故选项B不符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD＝90°，∴四边形ABCD是矩形，故选项C符合题意；D、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形，故选项D不符合题意；故选：C．3．（2分）（2022秋•增城区期中）如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点G在CD上，BC＝8，CE＝4，H是AF的中点，那么CH的长为（）A．4 B．2 C．4 D．2解：连接AC、CF，如图：∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，∴∠ACG＝45°，∠FCG＝45°，∴∠ACF＝90°，∵BC＝8，CE＝4，∴AC＝8，CF＝4，由勾股定理得，AF＝＝4，∵H是AF的中点，∠ACF＝90°，∴CH＝AF＝2，故选：B．4．（2分）（2022春•新泰市期末）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为（）A． B． C． D．解：如图，连接BD，AC．∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，∠BAO＝∠DAO＝60°，BD⊥AC，∴∠ABO＝∠CBO＝30°，∴OA＝AB＝1，OB＝OA＝，∵OE⊥AB，OF⊥BC，∴OE＝OF，∵OB＝OB，∴Rt△BEO≌Rt△BFO（HL），∴BE＝BF，∵∠EBF＝60°，∴△BEF是等边三角形，∵S△ABO＝•OA•OB＝•AB•OE，∴1×＝2OE，∴OE＝，Rt△BEO中，∠OBE＝30°，∴OB＝2OE＝，∴EF＝BE＝，同法可证，△DGH，△OEH，△OFG都是等边三角形，∴EF＝GH＝，EH＝FG＝OE＝，∴四边形EFGH的周长＝3+．故选：C．5．（2分）（2022春•荆门期末）如图，正方形ABCD中，E、F分别为BC，CD的中点，AF，DE交于点P，连接BP，CP．则下列结论中：①AF⊥DE；②AD＝BP；③∠BPE＝∠CDE；④．其中正确的结论个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解：∵正方形ABCD中，E、F分别为BC，CD的中点，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ADF＝∠DCE＝90°，DF＝CE，∴△ADF≌△DCE（SAS）．∴∠DAF＝∠EDC，∵∠EDC+∠ADP＝∠ADC＝90°，∴∠ADP+∠DAF＝90°，∴∠APD＝90°，∴①正确．如上图，设H是AD的中点，连接BH交AF于点K，∵四边形ABCD是正方形，E是BC的中点，∴HD∥BE，HD＝BE，∴四边形BEDH是平行四边形，∴HD∥DE，∵AF⊥DE，∴∠AKB＝∠APE＝90°，∵H是AD的中点，∴K是AP的中点，∴BP＝AB＝AD，∴②正确．由①知：∠DAF＝∠EDC，由②知：BP＝BA，∴∠BPA＝∠BAP，∴∠BPE＝∠APE﹣∠BPA＝90°﹣∠BAP＝∠DAF＝∠CDE．∴③正确．如上图，延长DE到点N，使EN＝PF，∵△ADF≌△DCE，∴∠AFD＝∠DEC，∴∠CEN＝∠CFD，∵E、F分别为BC，CD的中点，∴CE＝CF，∴△CEN≌△CFP（SAS）．∴PC＝NC，∠PCF＝∠NCE，∴∠PCN＝∠DCB＝90°，∴△PCN是等腰直角三角形．∴PN＝PC，∵PN＝PE+EN，＝PE+PF，∴PE+PF＝PC．∴④正确．故选：D．6．（2分）（2022春•河西区期末）如图，点E，F，P，Q分别是正方形ABCD的四条边上的点，并且AF＝BP＝CQ＝DE，则下列结论不一定正确的是（）A．∠AFP＝∠BPQ B．EF∥QP C．四边形EFPQ是正方形 D．四边形PQEF的面积是四边形ABCD面积的一半解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，∵AF＝BP＝CQ＝DE，∴DF＝CE＝BQ＝AP，∴△APF≌△DFE≌△CEQ≌△BQP（SAS），∴EF＝FP＝PQ＝QE，∠AFP＝∠BPQ，故A选项正确，不符合题意；∵EF＝FP＝PQ＝QE，∴四边形EFPQ是菱形，∴EF∥PQ，故B选项正确，不符合题意；∵△APF≌△BQP，∴∠AFP＝∠BPQ，∵∠AFP+∠APF＝90°，∴∠APF+∠BPQ＝90°，∴∠FPQ＝90°，∴四边形EFPQ是正方形．故C选项正确，不符合题意；∵四边形PQEF的面积＝EF2，四边形ABCD面积＝AB2，若四边形PQEF的面积是四边形ABCD面积的一半，则EF2＝AB2，即EF＝AB．若EF≠AB，则四边形PQEF的面积不是四边形ABCD面积的一半，故D选项不一定正确，符合题意．故选：D．7．（2分）（2022•宁波模拟）如图，O是▱ABCD对角线AC上一点，过O作EF∥AD交AB于点E，交CD于点F，GH∥AB交AD于点G，交BC于点H，连结GE，GF，HE，HF，若已知下列图形的面积，不能求出▱ABCD面积的是（）A．四边形EHFG B．△AEG和△CHF C．四边形EBHO和四边形GOFD D．△AEO和四边形GOFD解：A、在▱ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，∵EF∥AD，GH∥AB，∴AD∥EF∥BC，AB∥GH∥CD，∴四边形AEOG，BEOH，CFOH，DFOG都是平行四边形，∴S△EOG＝S▱AEOG，S△EOH＝S▱BEOH，S△FOH＝S▱OHCF，S△FOG＝S▱OGDF，∴四边形EHFG的面积＝×▱ABCD的面积，∴已知四边形EHFG的面积，可求出▱ABCD的面积，故A不符合题意；B、∵S△ABC﹣S△AEO﹣S△CHO＝S△ACD﹣S△AOG﹣S△CFO，∴S▱BEOH＝S▱GOFD，∵＝，∴S▱BEOH＝S▱OGDF＝＝2，∴已知△AEG和△CHF的面积，可求出▱ABCD的面积，故B不符合题意；C、已知四边形EBHO和四边形GOFD的面积，不能求出▱ABCD面积，故C符合题意；D、∵＝，∴＝，∴S▱OHCF＝S2▱OGDF•，∴已知△AEO和四边形GOFD的面积，能求出▱ABCD面积；故D不符合题意；故选：C．8．（2分）（2022春•岚山区期末）如图，BD是正方形ABCD的对角线，在BD上截取DE＝DC，在CB延长线上取一点F，连接EF，AF，且EF＝EC．下列四个结论：①BF＝BE；②∠BAF＝∠BCE；③∠AFE＝45°；④连接AE，则S四边形AECD＝2S四边形AFBE．其中正确的结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4解：①∵四边形ABCD是正方形，∴∠DBC＝∠BDC＝45°，∠DCB＝90°，∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠DCE＝＝67.5°，∴∠ECF＝90°﹣67.5°＝22.5°，∵EF＝EC，∴∠EFC＝∠ECF＝22.5°，∵∠CBE＝∠EFC+∠BEF，∴∠BEF＝45°﹣22.5°＝22.5°，∴∠BEF＝∠CFE，∴BF＝BE；故①正确；③连接AE，∵AD＝CD＝DE，∴∠DAE＝∠ADE＝67.5°，∵∠EFC＝∠ECF＝22.5°，∴∠FEC＝180°﹣2×22.5°＝135°，∴∠AEF＝90°，在△ADE和△CDE中，，∴△ADE≌△CDE（SAS），∴AE＝EC，∴AE＝EF，即△AEF为等腰直角三角形，∴∠AFE＝45°，故③正确；②由③得：∠BAF＝90°﹣45°﹣22.5°＝22.5°，∵∠BCE＝22.5°，∴∠BAF＝∠BCE；故②正确；④如图，过点E作EN⊥BC于N，作EM⊥CD于M，设BN＝EN＝y，则BF＝BE＝y，∵EF＝EC，EN⊥BC，∴FN＝CN＝EM＝DM＝y+y，∴S四边形AECD＝2S△CDE＝2××CD×EM＝（y+y）（y+y+y）＝（4+3）y2，2S四边形AFBE＝2（S△AEF+S△BEF）＝2×（EF2+•y•y）＝EF2+y2＝y2+（y+y）2+y2＝（4+3）y2，∴S四边形AECD＝2S四边形AFBE，故④正确；本题正确的结论有4个．故选：D．9．（2分）（2022春•龙华区期末）如图，在▱ABCD中，∠BAD＝60°，将▱ABCD绕顶点A逆时针旋转至▱AEFG，此时点D在AE上，连接AC、AF、CF、EB，线段EB分别交CD、AC于点H、K，则下列四个结论中：①∠CAF＝60°；②△DEH是等边三角形；③2AD＝3HK；④当AB＝2AD时，4S△ACF＝7S▱ABCD；正确的是（）A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③解：①∵▱ABCD绕点A逆时针旋转至▱AEFG，∴△AEF≌△ABC，∴∠EAF＝∠BAC，∵∠BAD＝60°，∴∠CAF＝∠EAF+∠CAD＝∠BAC+∠CAD＝∠BAD＝60°．故①正确；②∵AB∥DC，∴∠EDH＝∠DAB＝60°，∵∠AEF＝∠ABC＝120°，∴∠DEH＝180°﹣∠AEF＝60°，∴∠DHE＝∠EDH＝∠DEH＝60°，∴△DEH是等边三角形，故②正确；③过点H作HM∥AD交AB于点M，连接DM，∵△EDH是等边三角形，∴∠BHC＝∠EDH＝60°，∴△BHC是等边三角形，∴∠BHC＝∠BHM＝∠DHM＝∠DMH＝60°，∴△DMH≌△BHM≌△CBH（AAS），∴DH＝CH，∴点H为CD中点，∵∠CKH＝∠AKB，∠CHK＝∠ABK，∠HCK＝BAK∴△CKH∽△AKB，∴HK：BK＝CH：AB＝CH：CD＝1：2，∴HK＝BK＝BH＝AD，∴AD＝3HK，∴2AD＝3HK．故③错误；④过点C作CN⊥AB交CN的延长线于点N，∵∠BCD＝60°，∴∠BCN＝30°，∴BN＝BC＝AD，CN＝AD，∴AC＝AD，∴△ACF的高为AD，∴S△ACF＝AD×AD＝AD2．∴▱ABCD的高为AD，∴S▱ABCD＝2AD×AD＝AD2，∴4S△ACF＝7S▱ABCD，故④正确．故选：A．10．（2分）（2022春•綦江区期末）如图，在平行四边形ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边△ABE和等边△ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A、E之间，连接CE、CF、EF，则以下四个结论，正确的是（）①△CDF≌△EBC；②∠CDF＝∠EAF；③CG⊥AE；④△CEF是等边三角形．A．③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④解：∵△ABE、△ADF是等边三角形，∴FD＝AD，BE＝AB，∵AD＝BC，AB＝DC，∴FD＝BC，BE＝DC，∵∠CBE＝∠FDC，∠FDA＝∠ABE，∴∠CDF＝∠EBC，∴△CDF≌△EBC（SAS），故①正确；∵∠FAE＝∠FAD+∠EAB+∠BAD＝60°+60°+（180°﹣∠CDA）＝300°﹣∠CDA，∠FDC＝360°﹣∠FDA﹣∠ADC＝300°﹣∠CDA，∴∠CDF＝∠EAF，故②正确；在等边三角形ABE中，∵等边三角形顶角平分线、底边上的中线、高和垂直平分线是同一条线段，∴如果CG⊥AE，则G是AE的中点，∠ABG＝30°，∠ABC＝150°，题目缺少这个条件，CG⊥AE不能求证，故③错误；同理①②可得：∠CBE＝∠EAF＝∠CDF，∵BC＝AD＝AF，BE＝AE，∴△EAF≌△EBC（SAS），∴∠AEF＝∠BEC，∵∠AEF+∠FEB＝∠BEC+∠FEB＝∠AEB＝60°，∴∠FEC＝60°，∵CF＝CE，∴△ECF是等边三角形，故④正确．故选：B．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2022春•鄂州期中）如图，分别以△ABC的边AB，AC为边往外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接BG，CE，EG，若AB＝3，AC＝1，则BC2+EG2的值为20．解：如图，连接BE，CG，∵正方形ABDE和正方形ACFG，∴AB＝AE，AG＝AC，∠BAE＝∠CAG＝90°，∴∠BAG＝∠CAE，∴△BAG≌△EAC（SAS），∴∠ABG＝∠AEC，∵∠AHB＝∠OHE，∴∠EOH＝∠BAH＝90°，∴∠EOG＝∠BOC＝90°，∴BC2+EG2＝OB2+OC2+OE2+OG2＝BE2+CG2，∵AB＝3，AC＝1，∴BE2＝32+32＝18，CG2＝12+12＝2，∴BE2+CG2＝18+2＝20，∴BC2+EG2＝20．故答案为：20．12．（2分）（2022春•开江县期末）如图，在平行四边形ABCD中，AD⊥DF交AC于点F，E是AF的中点，且AE＝ED＝CD，∠BCD＝54°，则∠DFE的度数为72°．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∵AE＝ED，∴∠DAC＝∠ADE，∵∠DEC是△ADE的一个外角，∴∠DEC＝∠DAC+∠ADE，∴∠DEC＝2∠DAC＝2∠ACB，∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠DCE，∴∠DCE＝2∠ACB，∵∠BCD＝54°，∴∠ACB+∠BCD＝54°，∴3∠ACB＝54°，∴∠ACB＝18°，∴∠DAE＝∠ACB＝18°，∵AD⊥DF，∴∠ADF＝90°，∴∠AFD＝90°﹣∠DAE＝72°，故答案为：72°．13．（2分）（2023•南开区一模）如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，过B作BG⊥AE于G，延长BG至点F使∠CFB＝45°，延长FC、AE交点M，连接BM，若C为FM中点，BM＝10，则FD的长为．证明：过C点作CH⊥BF于H点，过B点作BK⊥CM于K，过D作DQ⊥MF交MF延长线于Q，连接DF．∵∠CFB＝45°，∴CH＝HF，∵∠ABG+∠BAG＝90°，∠FBE+∠ABG＝90°，∴∠BAG＝∠FBE，∵AG⊥BF，CH⊥BF，∴∠AGB＝∠BHC＝90°，在△AGB和△BHC中，∵∠AGB＝∠BHC，∠BAG＝∠HBC，AB＝BC，∴△AGB≌△BHC（AAS），∴AG＝BH，BG＝CH，∵BH＝BG+GH，∴BH＝HF+GH＝FG，∴AG＝FG；∵CH⊥GF，∴CH∥GM，∵C为FM的中点，∴CH＝GM，∴BG＝GM，∵BM＝10，∴BG＝2，GM＝4，∴AG＝4，AB＝10，∴HF＝2，∴CF＝，∴CM＝2，∵CK＝CM＝CF＝，∴BK＝3，∴△BKC≌△CQD（AAS），∴CQ＝BK＝3，DQ＝CK＝，∴QF＝3﹣2＝，∴DF＝＝．故答案为2．14．（2分）（2022春•门头沟区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCO是矩形，且B（8，4），动点E从点A出发，以每秒1个单位的速度沿线段AB向点B运动，同时动点F从点B出发，以同样每秒1个单位的速度沿折线BC→CO向点O运动，当E，F有一点到达终点时，点E，F同时停止运动．设点E，F运动时间为t秒，在运动过程中，如果AE＝3CF，那么t＝3或6秒．解：当F在BC边上，如图：由题意得：AE＝t，BF＝t，CF＝4﹣t，∵AE＝3CF，∴t＝3（4﹣t），∴t＝3．当F在OC上时，如图：AE＝t，CF＝t﹣4，∵AE＝3CF，∴t＝3（t﹣4），∴t＝6，∵当E，F有一点到达终点时，点E，F同时停止运动，∴0≤t≤8，∴t＝6符合题意．故答案为：3或615．（2分）（2022春•江汉区校级月考）如图，正方形ABCD中，E为其外面一点，且∠AEB＝45°，AE，BE分别交CD于F，G，若CG＝3，FG＝1，则AF＝．解：如图，过点A作AH⊥BE于N，交BC于H，连接HF，延长CB至M，使BM＝DF，连接AM，∵∠E＝45°，∠ANE＝90°，∴∠EAN＝45°，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB＝BC＝CD，∠D＝∠DAB＝∠ABC＝∠C＝90°，∴∠DAF+∠BAH＝45°，∵AD＝AB，∠D＝∠ABM，DF＝BM，∴△ADF≌△ABM（SAS），∴∠DAF＝∠BAM，AF＝AM，∴∠BAH+∠BAM＝45°＝∠EAN，∵AH＝AH，∴△MAH≌△FAH（SAS），∴FH＝MH，∵∠CBG+∠CGB＝∠CBG+∠BHN＝90°，∴∠CGB＝∠BHN，∵AB＝BC，∠ABH＝∠C，∴△ABH≌△BCG（AAS），∴CG＝BH＝3，设正方形的边长为x，则BM＝DF＝x﹣4，FH＝MH＝3+x﹣4＝x﹣1，在Rt△CHF中，FH2＝CH2+CF2，∴（x﹣1）2＝42+（x﹣3）2，∴x＝6，∴AD＝6，DF＝6﹣4＝2，由勾股定理得：AF＝＝2，故答案为：2．16．（2分）（2022春•乐山期末）如图，正方形ABCD的边长，AB＝2点P为AB边上一点（不与小B重合），过点P、B在正方形内部作正方形PBEF，交边BC于点E，连结DF、CF，当△CDF为等腰三角形时，PB的长为2﹣或1．解：连接BF，如图：∵四边形ABCD、PBEF是正方形，AB＝2，∴B、F、D共线，CD＝AB＝2，①当FD＝CD＝2时，BF＝BD﹣FC＝2﹣2，∴PB＝BF＝2﹣；②当FD＝FC时，∠DFC＝90°，∠FDC＝∠FCD＝45°，FD＝CD＝，∴BF＝BD﹣FD＝2﹣＝，∴PB＝BF＝1．∴当△CDE为等腰三角形时，PB＝2﹣或1．故答案为：2﹣或1．17．（2分）（2022•海曙区校级开学）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（6，4），过点A分别作AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，已知经过点P（2，3）的直线y＝kx+b将矩形OBAC分成的两部分面积比为3：5时，则k的值为﹣4或﹣．解：将点P（2，3）代入直线y＝kx+b，得3＝2k+b，∴b＝﹣2k+3，∴直线y＝kx++3﹣2k，当直线与线段AC、OB相交时，如图，设直线y＝kx+3﹣2k与x轴交于F，与AC交于E，则E（2+，4），F（2﹣，0），∴CE＝2+，OF＝2﹣，直线将矩形OBAC分成的两部分面积比为3：5，①当S四边形OFEC＝S矩形OBAC时，（CE+OF）•OC＝OB•AB，∴×（2++2﹣）×4＝×6×4，解得k＝﹣4；②当S四边形OFEC＝S矩形OBAC时，（CE+OF）•OC＝OB•AB，∴×（2++2﹣）×4＝×6×4，解得k＝﹣（此时直线y＝kx+3﹣2k与边OB无交点，舍去），当直线过点C时，如图：由P（2，3）、C（0，4）可得直线解析式为y＝﹣x+4，令x＝6得y＝1，∴Q（6，1），∴S梯形COBQ＝（1+4）×6＝15，S△ACQ＝×6×（4﹣1）＝9，∴S△ACQ：S梯形COBQ＝3：5，此时k＝﹣，综上所述，k＝﹣4或﹣．故答案为：﹣4或﹣．18．（2分）（2022春•福田区期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，把△ABC绕BC边的中点O旋转后得△DEF，若直角顶点E恰好落在AC边上，且DF边交AC边于点G，则△FCG的面积为．解：∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC＝5，∵点O是BC边的中点，∴OC＝OB＝BC＝2，∵把△ABC绕BC边的中点O旋转后得△DEF，若直角顶点E恰好落在AC边上，∴CO＝FO＝BO＝OE＝2，∠DFE＝∠ACB，∠ABC＝∠DEF，AC＝DF，∴CO＝OE，∴∠ACB＝∠OEC，∴∠DFE＝∠CEF，∴FG＝EG，如图，连接BE，∵∠DFE+∠D＝∠FEG+∠GED＝90°，∠COF＝∠BOE，∴∠D＝∠DEG，△COF≌△BOE（SAS），∴EG＝DG，BE＝CF，∠FCO＝∠OBE，∴EG＝DF＝，∵CO＝BO＝OE＝BC，∴∠BEC＝90°，∴BE＝＝，∴CE＝，CF＝，∴CG＝CE﹣EG＝﹣＝，∵∠BEC＝90°，∴∠OBE+∠BCE＝90°，∴∠FCO+∠ACB＝90°，即∠FCG＝90°．∴S△FCG＝•FC•CG＝××＝．故答案为：．19．（2分）（2022春•南京期末）如图，在▱ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动．点Q在BC边上以每秒4cm的速度从点C出发，在CB之间往返运动．两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动），设运动时间为t秒．当5＜t＜10时，运动时间t＝秒或8秒时，以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形．解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴PD∥BQ．若要以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，则PD＝BQ．当5＜t≤时，AP＝tcm，PD＝（10﹣t）cm，CQ＝（4t﹣20）cm，BQ＝（30﹣4t）cm，∴10﹣t＝30﹣4t，解得：t＝；当＜t≤10时，AP＝tcm，PD＝（10﹣t）cm，BQ＝（4t﹣30）cm，∴10﹣t＝4t﹣30，解得：t＝8．综上所述：当运动时间为秒或8秒时，以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形．故答案为：秒或8秒．20．（2分）（2021春•安顺期末）如图，在矩形ABCD中，AD＝AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①∠AED＝∠CED；②OE＝OD；③AB＝HF．其中正确的有①②．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AE＝AB，∵AD＝AB，∴AE＝AD，在△ABE和△AHD中，，∴△ABE≌△AHD（AAS），∴BE＝DH，∴AB＝BE＝AH＝HD，∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣45°）＝67.5°，∴∠CED＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，∴∠AED＝∠CED，故①正确；∵AB＝AH，∵∠AHB＝（180°﹣45°）＝67.5°，∠OHE＝∠AHB，∴∠OHE＝67.5°＝∠AED，∴OE＝OH，∵∠DHO＝90°﹣67.5°＝22.5°，∠ODH＝67.5°﹣45°＝22.5°，∴∠DHO＝∠ODH，∴OH＝OD，∴OE＝OD＝OH，故②正确；∵AB＝AH，∠BAE＝45°，∴△ABH不是等边三角形，∴AB≠BH，∴即AB≠HF，故③错误．∴其中正确的有①②．故答案为：①②．三．解答题（共7小题，满分60分）21．（6分）（2022秋•新泰市期末）如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且CF＝3BF，连接DB，EF．（1）求证：四边形DEFB是平行四边形：（2）若∠ACB＝90°，AC＝6cm，DE＝2cm，求四边形DEFB的面积．（1）证明：∵点D，E分别是AC，AB的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，BC＝2DE，∵CF＝3BF，∴BC＝2BF，∴DE＝BF，∴四边形DEFB是平行四边形；（2）解：由（1）得：DE＝BF＝2，∵D是AC的中点，AC＝6，∴CD＝AC＝3，∵∠ACB＝90°，∴四边形DEFB的面积＝BF•CD＝2×3＝6（cm2）．22．（6分）（2022春•鄂城区期末）如图，矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，点G，H在对角线AC上，且AE＝CF，AG＝CH．（1）求证：四边形FGEH是平行四边形；（2）若EG＝EH，AB＝2，BC＝4，求线段AE的长．（1）证明：∵矩形ABCD中，AB∥CD，∴∠FCH＝∠EAG，又∵AE＝CF，AG＝CH，∴△AEG≌△CFH（SAS），∴GE＝FH，∠CHF＝∠AGE，∴∠FHG＝∠EGH，∴FH∥GE，∴四边形EGFH是平行四边形；（2）解：如图，连接EF，CE，AC与EF交于点O，∵EG＝EH，四边形EGFH是平行四边形，∴四边形GFHE为菱形，∴EF垂直平分GH，又∵AG＝CH，∴EF垂直平分AC，∴AE＝CE，设AE＝x，则CE＝x，DE＝4﹣x，在Rt△CDE中，CD2+DE2＝CE2，∴22+（4﹣x）2＝x2，解得x＝2.5，∴AE＝2.5．23．（8分）（2021秋•建安区期中）数学兴趣小组活动时，提出了如下问题：如图1，在△ABC中若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．解决方法：延长AD到E．使得DE＝AD．再连接BE（或将ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD）．把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4．感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．迁移应用：请参考上述解题方法，证明下列命题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．（1）求证：BE+CF＞EF；（2）若∠A＝90°，探索线段BE，CF，EF之间的等量关系，并加以证明．（1）证明：如图，延长FD到G，使得DG＝DF，连接BG、EG．（或把△CFD绕点D逆时针旋转180°得到△BGD），∴CF＝BG，DF＝DG，∵DE⊥DF，∴EF＝EG．在△BEG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF．（2）解：BE2+CF2＝EF2．证明如下：∵∠A＝90°，∴∠EBC+∠FCB＝90°，由（1）知∠FCD＝∠DBG，EF＝EG，∴∠EBC+∠DBG＝90°，即∠EBG＝90°，∴在Rt△EBG中，BE2+BG2＝EG2，∴BE2+CF2＝EF2．24．（10分）（2022春•东海县期中）在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E、F是对角线AC上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中0≤t≤10．（1）若G，H分别是AD，BC中点，则四边形EGFH一定是怎样的四边形（E、F相遇时除外）？答：四边形EGFH是平行四边形；（直接填空，不用说理）（2）在（1）条件下，若四边形EGFH为矩形，求t的值；（3）在（1）条件下，若G向D点运动，H向B点运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，若四边形EGFH为菱形，求t的值．解：（1）∵四边形EGFH是平行四边形，理由如下：由题意得：AE＝CF＝t，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠GAE＝∠HCF，∵G，H分别是AD，BC中点，∴AG＝AD，CH＝BC，∴AG＝CH，∴△AEG≌△CFH（SAS），∴EG＝FH，∠AEG＝∠CFH，∴∠FEG＝∠EFH，∴EG∥HF，∴四边形EGFH是平行四边形；故答案为：四边形EGFH是平行四边形；（2）如图1，连接GH，由（1）得AG＝BH，AG∥BH，∠B＝90°，∴四边形ABHG是矩形，∴GH＝AB＝6，①如图1，当四边形EGFH是矩形时，∴EF＝GH＝6，∵AE＝CF＝t，∴EF＝10﹣2t＝6，∴t＝2；②如图2，当四边形EGFH是矩形时，∵EF＝GH＝6，AE＝CF＝t，∴EF＝t+t﹣10＝2t﹣10＝6，∴t＝8；综上，四边形EGFH为矩形时t＝2或t＝8；（3）如图3，M和N分别是AD和BC的中点，连接AH，CG，GH，AC与GH交于O，∵四边形EGFH为菱形，∴GH⊥EF，OG＝OH，OE＝OF，∴OA＝OC，AG＝AH，∴四边形AGCH为菱形，∴AG＝CG，设AG＝CG＝x，则DG＝8﹣x，由勾股定理可得：CD2+DG2＝CG2，即：62+（8﹣x）2＝x2，解得：x＝，∴MG＝﹣4＝，即t＝，∴当t＝时，四边形EGFH为菱形．25．（10分）（2022春•浦东新区校级期中）如图，已知正方形ABCD，边长AB＝6，E是AB的中点，点F在边BC上，且BF＝2FC，点P在线段CD上，连接PE、EF、PF．（1）若△PEF为等腰三角形，求PC的长度；（2）若EF平分∠BEP，求PC的长度．解：（1）正方形ABCD中，∵AB＝6，E是AB的中点，∴AE＝BE＝3，∵BF＝2FC，∴BF＝4，FC＝2，∴EF＝＝5，设PC＝x，∴PF＝＝，如图，过点P作PG⊥AB于点G，得矩形ADPG，∴AG＝DP＝DC﹣PC＝6﹣x，∴GE＝AE﹣AG＝3﹣（6﹣x）＝x﹣3，∴PE＝＝，∵△PEF为等腰三角形，∴分3种情况：①EF＝PF，∴5＝，解得x＝（负值舍去）；②EF＝PE，∴5＝，解得此方程无解；③PE＝PF，∴＝，解得x＝，＞6，点P在线段CD的延长线上，不符合题意，舍去．综上所述：PC的长度为；（2）如图，过点F作FH⊥