2025年人教A版高二数学上册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年人教A版高二数学上册阶段测试试卷716考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共8题，共16分)1、在数列{an}中，a1=-60，an+1=an+3，则|a1|+|a2|++|a30|=（）

A.-445

B.765

C.1080

D.3105

2、【题文】当时，函数取得最小值，则函数A.是奇函数且图像关于点对称B.是偶函数且图像关于点对称C.是奇函数且图像关于直线对称D.是偶函数且图像关于直线对称3、【题文】一个算法的程序框图如下图所示，若该程序输出的结果为则判断框中应填入的。

条件是（）

A.B.C.D.4、设函数f（x）=（x﹣4）3+x﹣1，{an}是公差不为0的等差数列f（a1）+f（a2）++f（a7）=21，则a1+a2++a7=（）A.0B.7C.21D.285、在△ABC中，若C=90°，a=6，B=30°，则c﹣b等于（）A.1B.-1C.2D.-26、命题“若x2＞1，则x＞1”，则它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是（）A.0B.1C.2D.37、在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若===则下列向量中与相等的向量是（）A.-++B.--+C.-+D.++8、学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”.

若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”.

如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，则这一组学生最多有(

)

A.2

人B.3

人C.4

人D.5

人评卷人得分二、填空题(共5题，共10分)9、【题文】如图，在中，分别为边的中点.为边上的点，且若则的值为____.

10、【题文】将函数的图象向左平移个单位后，得函数的图象，则等于____.11、命题“∃x∈（0，+∞），x2﹣3ax+9＜0”为假命题，则实数a的取值范围为____．12、用火柴棒按图的方法搭三角形：

按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是____．13、已知命题p?x隆脢[0,1]a鈮�ex

命题q

“?x隆脢Rx2+4x+a=0

”，若命题“p隆脛q

”是真命题，则实数a

的取值范围是______．评卷人得分三、作图题(共9题，共18分)14、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

15、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）16、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）17、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

18、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）19、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）20、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共2题，共8分)21、已知直线l：y=kx+1(k∈R),圆C:（1）当k=3时，设直线l与圆C交于点A、B，求；（2）求证：无论k取何值，直线l恒与圆C相交.22、已知动圆过定点F1（-3，0），且与圆O：（x-3）2+y2=100相内切；

（1）求动圆的圆心的轨迹曲线C．

（2）若P是C上的一点，F2为圆O的圆心且∠F1PF2=60°，求△F1PF2的面积．

评卷人得分五、计算题(共4题，共28分)23、1.（本小题满分12分）已知函数在处取得极值.(1)求实数a的值；(2)若关于x的方程在[，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；(3)证明：(参考数据：ln2≈0.6931).24、1.（本小题满分12分）已知数列满足且（）。（1）求的值；（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明。25、设L为曲线C：y＝在点(1,0)处的切线．求L的方程；26、已知复数z1满足（z1﹣2）（1+i）=1﹣i（i为虚数单位），复数z2的虚部为2，且z1•z2是实数，求z2．评卷人得分六、综合题(共3题，共18分)27、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．28、（2015·安徽）设椭圆E的方程为+=1(ab0),点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足=2直线OM的斜率为29、已知f（x）=﹣3x2+a（6﹣a）x+6．参考答案一、选择题(共8题，共16分)1、B【分析】

{an}是等差数列，an=-60+3（n-1）=3n-63；

∴=

由an≥0；解得n≥21．

∴|a1|+|a2|+|a3|++|a30|

=-（a1+a2++a20）+（a21++a30）

=S30-2S20

=765

故选B

【解析】【答案】根据已知写出等差数列的通项公式，令an≥0；可得到n的范围，结合绝对值的几何意义及等差数列的求和公式即可求解。

2、C【分析】【解析】

试题分析：根据题意，由于当时，函数取得最小值可知故可知函数因此可知为奇函数，同时关于直线对称；故选C.

考点：三角函数的性质。

点评：主要是考查了三角函数的性质的运用，属于基础题。【解析】【答案】C3、A【分析】【解析】略【解析】【答案】A4、D【分析】【解答】解：∵f（x）=（x﹣4）3+x﹣1，∴f（x）﹣3=（x﹣4）3+x﹣4；

令g（x）=f（x）﹣3；

∴g（x）关于（4；0）对称。

∵f（a1）+f（a2）++f（a7）=21；

∴f（a1）﹣3+f（a2）﹣3++f（a7）﹣3=0；

∴g（a1）+g（a2）++g（a7）=0；

∴g（a4）为g（x）与x轴的交点；

因为g（x）关于（4，0）对称，所以a4=4；

∴a1+a2++a7=7a4=28；

故选D．

【分析】根据f（x）=（x﹣4）3+x﹣1，可得f（x）﹣3=（x﹣4）3+x﹣4，构造函数g（x）=f（x）﹣3，从而g（x）关于（4，0）对称，利用f（a1）+f（a2）++f（a7）=21，可得g（a1）+g（a2）++g（a7）=0，从而g（a4）为g（x）与x轴的交点，由此可求a1+a2++a7的值．5、C【分析】【解答】c==4

b=atan30°=2

∴c﹣b=4﹣2=2

故选C.

【分析】利用c=b=atan30°分别求得c和b，则答案可得．6、C【分析】解：原命题“若x2＞1；则x＞1”；

则它的逆命题：若x＞1，则x2＞1；为真命题．

否命题：若x2≤1；则x≤1，为真命题．

逆否命题：若x≤1，则x2≤1；为假命题．

其中真命题的个数是：2．

故选：C．

利用逆命题；否命题、逆否命题的定义；不等式的性质、命题真假的判定方法即可得出．

本题考查了命题的定义、不等式的性质、命题真假的判定方法，属于基础题．【解析】【答案】C7、A【分析】解：平行六面体ABCD-A1B1C1D1中；

=+

=+

=+（+）

=+（+）

=+（-+）

=-++．

故选：A．

在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，根据空间向量的加法合成法则，对向量进行线性表示即可．

本题考查了空间向量的加法运算问题，解题时应结合图形进行解答，是基础题目．【解析】【答案】A8、B【分析】解：用ABC

分别表示优秀；及格和不及格；显然语文成绩得A

的学生最多只有1

个；

语文成绩得B

得也最多只有一个；

得C

最多只有一个；

因此学生最多只有3

人；

显然(AC)(BB)(CA)

满足条件；

故学生最多有3

个．

故选：B

．

分别用ABC

分别表示优秀；及格和不及格；根据题干中的内容推出文成绩得ABC

的学生各最多只有1

个，继而推得学生的人数．

本题主要考查了合情推理，关键是找到语句中的关键词，培养了推理论证的能力．【解析】B

二、填空题(共5题，共10分)9、略

【分析】【解析】

试题分析：为的中点，

考点：平面向量的基底表示【解析】【答案】10、略

【分析】【解析】

试题分析：将函数的图象向左平移个单位后得到函数因为得到的是又有所以等于

考点：本小题主要考查三角函数图象的平移.

点评：三角函数图象左右平移时，要注意平移的单位是相对于x说的.【解析】【答案】11、a≤2【分析】【解答】解：若命题“∃x∈（0，+∞），x2﹣3ax+9＜0”为假命题，则命题“∀x∈（0，+∞），x2﹣3ax+9≥0”为真命题；

即命题“∀x∈（0，+∞），a≤=”为真命题；

∵x∈（0，+∞）时，≥=2；

故a≤2；

故答案为：a≤2．

【分析】若命题“∃x∈（0，+∞），x2﹣3ax+9＜0”为假命题，则命题“∀x∈（0，+∞），x2﹣3ax+9≥0”为真命题，即命题“∀x∈（0，+∞），a≤=”为真命题，结合基本不等式可得答案．12、an=2n+1【分析】【解答】解：由题意，三角形的个数增加一个，则火柴棒个数增加2个，所以所用火柴棒数an与是一个首项为3；公差为2的等差数列。

所以火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是an=3+2（n﹣1）=2n+1

故答案为an=2n+1

【分析】由题设条件可得出三角形的个数增加一个，则火柴棒个数增加2个，所以所用火柴棒数an是一个首项为3，公差为2的等差数列，由此易得火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系式13、略

【分析】解：对于命题p?x隆脢[0,1]a鈮�ex隆脿a鈮�(ex)maxx隆脢[0,1]隆脽ex

在x隆脢[0,1]

上单调递增；

隆脿

当x=1

时；ex

取得最大值e

隆脿a鈮�e

．

对于命题q?x隆脢Rx2+4x+a=0隆脿鈻�=42鈭�4a鈮�0

解得a鈮�4

．

若命题“p隆脛q

”是真命题；则p

与q

都是真命题；

隆脿e鈮�a鈮�4

．

故答案为：e鈮�a鈮�4

．

对于命题p

利用ex

在x隆脢[0,1]

上单调递增即可得出a

的取值范围，对于命题q

利用判别式鈻�鈮�0

即可得出a

的取值范围；再利用命题“p隆脛q

”是真命题，则p

与q

都是真命题，求其交集即可．

本题考查了指数函数的单调性、一元二次方程有实数根与判别式的关系、简易逻辑的有关知识，考查了计算能力与推理能力，属于基础题．【解析】e鈮�a鈮�4

三、作图题(共9题，共18分)14、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

15、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．16、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．17、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

18、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．19、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．20、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共2题，共8分)21、略

【分析】（1）当k=3时，直线的方程为y=3x+1y=3x+1设AB由得（2分）解得带入y=3x+1,得（4分）(5分)（2）由y=kx+1得（7分）（8分）所以方程组有两个不同的解，所以直线l恒与圆C相交.（10分）【解析】【答案】22、略

【分析】

（1）设切点为N；动圆与圆O内切；

则F2，M，N三点共线，且|MF1|=|MN|

∴|MF1|+|MF2|=|MF1|+|MF2|=|NF2|

即M到定点F1，F2的距离之和为定值10＞|F1F2|=6

故M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆。

易知c=3，a=5，b=4

M的轨迹方程是．

（2）设|PF1|=r1，|PF2|=r2；

则r1+r2=2a=10⇒r12+2r1r2+r2=100（1）

又在△PF1F2中，由勾股定理得r12+r22-r1r2=4c2=36（2）

（1）-（2）得

∴

【解析】【答案】（1）设切点为N，动圆与圆O内切，则F2，M，N三点共线，且|MF1|=|MN|，所以M到定点F1，F2的距离之和为定值10＞|F1F2|=6；由此能求出M的轨迹方程．

（2）设|PF1|=r1，|PF2|=r2，则r1+r2=2a=10⇒r12+2r1r2+r2=100．在△PF1F2中，由勾股定理得r12+r23-r1r2=4c2=36，由此能求出△F1PF2的面积．

五、计算题(共4题，共28分)23、略

【分析】【解析】

(1)f'(x)＝1＋，由题意，得f'(1)＝0Þa＝02分(2)由(1)知f(x)＝x－lnx∴f(x)＋2x＝x2＋bóx－lnx＋2x＝x2＋bóx2－3x＋lnx＋b＝0设g(x)＝x2－3x＋lnx＋b(x＞0)则g'(x)＝2x－3＋＝4分当x变化时，g'(x)，g(x)的变化情况如下表。x(0，)(，1)1(1，2)2g'(x)＋0－0＋G(x)↗极大值↘极小值↗b－2＋ln2当x＝1时，g(x)最小值＝g(1)＝b－2，g()＝b－－ln2，g(2)＝b－2＋ln2∵方程f(x)＋2x＝x2＋b在[，2]上恰有两个不相等的实数根高考+资-源-网由ÞÞ＋ln2≤b≤28分(3)∵k－f(k)＝lnk∴nk＝2ó(n∈N，n≥2)设Φ(x)＝lnx－(x2－1)则Φ'(x)＝－＝当x≥2时，Φ'(x)＜0Þ函数Φ(x)在[2，＋∞)上是减函数，∴Φ(x)≤Φ(2)＝ln2－＜0Þlnx＜(x2－1)∴当x≥2时，∴＞2[(1－)＋(－)＋(－)＋(－)＋()]＝2(1＋－)＝.∴原不等式成立.12分'【解析】【答案】(1)a＝0(2)＋ln2≤b≤2(3)原不等式成立.24、略

【分析】【解析】

（1）由题得又则3分（2）猜想5分证明：①当时，故命题成立。②假设当时命题成立，即7分则当时，故命题也成立。11分综上，对一切有成立。12分【解析】【答案】（1）（2）有成立。25、解：所以当x=1时，k=点斜式得直线方程为y＝x－1【分析】【分析】函数的导数这是导函数的除法运算法则26、解：∴z1=2﹣i

设z2=a+2i（a∈R）

∴z1•z2=（2﹣i）（a+2i）=（2a+2）+（4﹣a）i

∵z1•z2是实数。

∴4﹣a=0解得a=4

所以z2=4+2i【分析】【分析】利用复数的除法运算法则求出z1，设出复数z2；利用复数的乘法运算法则求出z1•z2；利用当虚部为0时复数为实数，求出z2．六、综合题(共3题，共18分)27、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C，D四点坐标，根据线段之间的长度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC与圆相切．由于AB⊥l，故由垂径定理知及切线长定理知，另一点D与现在的点D关于x轴对称，所以另一点D的坐标为（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．（1分）

将（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）连接BC；交直线l于点D．

∵点B与点A关于直线l对称；

∴AD=BD．（4分）

∴AD+CD=BD+CD=BC．

由“两点之间；线段最短”的原理可知：

此时AD+CD最小；点D的位置即为所求．（5分）

设直线BC的解析式为y=kx+b；

由直线BC过点（3；0），（0，3）；

得

解这个方程组，得

∴直线BC的解析式为y=-x+3．（6分）

由（1）知：对称轴l为；即x=1．

将x=1代入y=-x+3；得y=-1+3=2．

∴点D的坐标为（1；2）．（7分）

说明：用相似三角形或三角函数求点D的坐标也可；答案正确给（2分）．

（3）①连接AD．设直线l与x轴的交点记为点E．

由（2）知：当AD+CD最小时；点D的坐标为（1，2）．

∴DE=AE=BE=2．