2025年中图版高二数学下册阶段测试试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年中图版高二数学下册阶段测试试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、甲乙两组统计数据用茎叶图表示，设甲乙两组数据的平均数分别为中位数分别为则A.＜＞B.<C.>>D.><2、若正实数满足则（）A.有最大值4B.有最小值C.有最大值D.有最小值3、设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）A.B.C.D.4、一组数据中的每一个数都减去90得到一组新的数据；如果求得新数据的平均数为1.2，方差为4.4，则原来数据的平均数和方差分别为（）

A.91.2；94.4

B.91.2；4.4

C.88.8；4.4

D.88.8；85.6

5、【题文】已知a、b是正实数，则下列不等式中不成立的是()A.B.C.D.6、在复平面内为坐标原点，复数与分别对应向量和则（）A.B.C.D.7、若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)，a、b的夹角的余弦值为则λ的值为()A.2B.－2C.－2或D.2或－8、已知向量且则的值等于（）A.B.C.D.9、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60鈭�

”的过程归纳为以下三个步骤：垄脵

因为A+B+C>60鈭�+60鈭�+60鈭�=180鈭�

这与三角形内角和为180鈭�

相矛盾；垄脷

所以一个三角形的内角中至少有一个不大于60鈭�垄脹

假设三角形的三个内角ABC

都大于60鈭�

正确顺序的序号为(

)

A.垄脹垄脵垄脷

B.垄脷垄脹垄脵

C.垄脵垄脹垄脷

D.垄脵垄脷垄脹

评卷人得分二、填空题(共8题，共16分)10、计算____（为虚数单位）．11、【题文】定义区间的长度均为已知实数则满足的x构成的区间的长度之和为____.12、【题文】设抛物线上一点到轴的距离是则点到该抛物线焦点的距离是____．13、【题文】在中，角所对的边分别为为的面积，若向量则角____．14、抛物线x2﹣2y﹣6xsinθ﹣9cos2θ+8cosθ+9=0的顶点的轨迹是（其中θ∈R）____．15、设x＜y＜0，p=（x2+y2）（x-y），q=（x2-y2）（x+y），则p与q的大小关系为______．16、德国数学家科拉茨1937

年提出一个著名的猜想：任给一个正整数n

如果n

是偶数，就将它减半(

即n2)

如果n

是奇数，则将它乘3

加1(

即3n+1)

不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1.

对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：如果对正整数n(

首项)

按照上述规则旅行变换后的第9

项为1(

注：1

可以多次出现)

则n

的所有不同值的个数为______．17、02[x2+1鈭�(x鈭�1)2]dx=

______．评卷人得分三、作图题(共5题，共10分)18、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

19、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）20、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）21、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

22、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）评卷人得分四、计算题(共2题，共10分)23、如图，正三角形ABC的边长为2，M是BC边上的中点，P是AC边上的一个动点，求PB+PM的最小值．24、已知a为实数，求导数评卷人得分五、综合题(共1题，共7分)25、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．参考答案一、选择题(共9题，共18分)1、B【分析】试题分析：甲的平均数乙的平均数所以<

甲的中位数为20，乙的中位数为29，所以

故选B.考点：1.茎叶图；2.众数、中位数、平均数．【解析】【答案】B2、C【分析】试题分析：本题是基本不等式的应用，我们可以举例说明一些不等式不成立，如则A不成立，B不成立，再如时，D不成立，因此选C．当然我们也可用基本不等式直接证明C正确，当且仅当时取等号，所以有最大值．考点：基本不等式．【解析】【答案】C3、D【分析】试题分析：函数在某个区间内可导，则若则在这个区间内单调递增；若则在这个区间内单调递减；对于若轴上方是导函数的图象，则下方的函数是单调递增，不符合；若轴下方是导函数的图象，则上方的函数是单调递减，不符合，其他三项符合．考点：函数的单调性与导数的关系．【解析】【答案】D4、B【分析】

平均数=（x1+x2++xn）=[（x1-a）+（x2-a）++（xn-a）]+a；

∴原来一组数据的平均数是90+1.2=91.2；

其方差不变；仍是4.4．

故选B．

【解析】【答案】根据平均数和方差的公式性质进行求解；原数据的平均数为1.2加90，方差不变，从而得到所求．

5、D【分析】【解析】由基本不等式不难得A；B选项正确；

若C正确，则即化简可得显然成立；

因为则两边同时乘上正数可得

D选项不正确.

此题主要考查基本不等式及其变形形式.【解析】【答案】D6、B【分析】【解答】由复数的几何意义知，则所以故选B.7、C【分析】【分析】用向量的内积公式建立方程；本题中知道了夹角的余弦值为8/9，故应用内积公式的变形来建立关于参数λ的方程求λ．

【解答】由题意向量=（1，λ，2)，=（2，-1，2)，且与的夹角余弦值为

故有cos＜＞===

解得：λ=-2或．

故应选C．8、D【分析】【解答】因为向量且所以解得

【分析】直接考查平面向量数量的坐标运算，属于基础题型.9、A【分析】解：反证法的步骤是先假设结论成立；然后推出矛盾，最后推出假设不成立，结论成立．

所以再确定步骤是垄脹垄脵垄脷

．

故选：A

．

利用反证法的步骤即可判断．

本题考查反证法、记住反证法的步骤先假设结论成立，然后推出矛盾，最后推出假设不成立，结论成立．【解析】A

二、填空题(共8题，共16分)10、略

【分析】【解析】试题分析：根据题意,由于故可知答案为考点：复数的计算【解析】【答案】11、略

【分析】【解析】

试题分析：本题实质上就是解分式不等式，把不等式变形为即且其中因此不等式的解为或因此所求长度之和为2．

考点：解含参数的分式不等式．【解析】【答案】212、略

【分析】【解析】

试题分析：如图，作垂直抛物线的准线于则由抛物线的定义得点到该抛物线焦点的距离．

考点：考查抛物线的定义及其几何性质．【解析】【答案】13、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】14、椭圆【分析】【解答】解：∵x2﹣2y﹣6xsinθ﹣9cos2θ+8cosθ+9=0；

∴2y=x2﹣6xsinθ﹣9（1﹣sin2θ）+8cosθ+9

∴y=（x﹣3sinθ）2+4cosθ；

设该抛物线的顶点为（x；y），则x=3sinθ，y=4cosθ；

消去参数θ，得=1；

即顶点的轨迹是椭圆．

故答案为：椭圆．

【分析】利用平方关系，通过配方法对抛物线进行变形，消去参数即可得到顶点的轨迹．15、略

【分析】解：p-q=（x2+y2）（x-y）-（x2-y2）（x+y）

=2xy（y-x）；

∵x＜y＜0；∴xy＞0，y-x＞0；

∴p-q＞0；p＞q；

故答案为：p＞q．

作差；求出p-q表达式，根据x，y的大小，求出p-q的符合，判断即可．

本题考查了不等式的大小比较，作差法是常用方法之一，本题是一道基础题．【解析】p＞q16、略

【分析】【分析】

本题主要考查归纳推理的应用；利用变换规则，进行逆向验证是解决本题的关键，考查学生的推理能力，属于中档题.

利用第9

项为1

出发，按照规则，逆向逐项即可求出n

的所有可能的取值．

【解答】

解：如果正整数n

按照上述规则施行变换后的第9

项为1

则变换中的第8

项一定是2

则变换中的第7

项一定是4

变换中的第6

项可能是1

也可能是8

变换中的第5

项可能是2

也可是16

变换中的第5

项是2

时；变换中的第4

项是4

变换中的第3

项是1

或8

变换中的第2

项是2

或16

变换中的第5

项是16

时；变换中的第4

项是32

或5

变换中的第3

项是64

或10

变换中的第2

项是20

或3

变换中第2

项为2

时；第1

项为4

变换中第2

项为16

时，第1

项为32

或5

变换中第2

项为3

时，第1

项为6

变换中第2

项为20

时，第1

项为40

变换中第2

项为21

时，第1

项为42

变换中第2

项为128

时，第1

项为256

则n

的所有可能的取值为456324042256

共7

个；

1隆煤2隆煤4隆煤{1隆煤2隆煤4隆煤{1隆煤2隆煤48隆煤16隆煤{5328隆煤16隆煤{5隆煤10隆煤{3隆煤620隆煤4032隆煤64隆煤{21隆煤42128隆煤256

故答案为7

．

【解析】7

17、略

【分析】解：由02[x2+1鈭�(x鈭�1)2]dx==鈭�02x2dx+鈭�021鈭�(x鈭�1)2dx

由鈭�02x2dx=13x3丨02=83

由定积分的几何意义可知：鈭�021鈭�(x鈭�1)2dx

表示以(1,0)

为圆心以1

为半径的圆的一半；

则鈭�021鈭�(x鈭�1)2dx=娄脨2

02[x2+1鈭�(x鈭�1)2]dx==鈭�02x2dx+鈭�021鈭�(x鈭�1)2dx=83+娄脨2

故答案为：83+娄脨2

．

利用定积分的运算性质及定积分的几何意义，分别求得鈭�02x2dx

和鈭�021鈭�(x鈭�1)2dx

的值．

本题考查定积分的运算，定积分的几何意义，考查计算能力，属于基础题．【解析】83+娄脨2

三、作图题(共5题，共10分)18、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

19、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．20、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．21、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

22、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．四、计算题(共2题，共10分)23、略

【分析】【分析】作点B关于AC的对称点E，连接EP、EB、EM、EC，则PB+PM=PE+PM，因此EM的长就是PB+PM的最小值．【解析】【解答】解：如图；作点B关于AC的对称点E，连接EP；EB、EM、EC；

则PB+PM=PE+PM；

因此EM的长就是PB+PM的最小值．

从点M作MF⊥BE；垂足为F；

因为BC=2；

所以BM=1，BE=2=2．

因为∠MBF=30°；

所以MF=BM=，BF==，ME==．

所以PB+PM的最小值是．24、解：【分析】【分析】由原式得∴五、综合题(共1题，共7分)25、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C，D四点坐标，根据线段之间的长度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC与圆