2025年外研衔接版高二数学下册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年外研衔接版高二数学下册阶段测试试卷24考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共6题，共12分)1、下列四个函数中，是奇函数且在区间（－1,0）上为减函数的是（）．A.B.C.D.2、在三棱锥A=BCD中；AC⊥底面BCD，BD⊥DC，BD=DC，AC=a，∠ABC=30°，则D到平面ABC的距离是（）

A.

B.

C.a

D.a

3、下列四个函数中，在上是增函数的是（）A.B.C.D.4、【题文】已知函数内是减函数，则（）A.0<≤1B.－1≤<0C.≥1D.≤－15、【题文】不共线的两个向量且与垂直，垂直，与的夹角的余弦值为（）A.B.C.D.6、定义：如果函数f(x)

在[a,b]

上存在x12(a<x1<x2<b)

满足f隆盲(x1)=f(b)鈭�f(a)b鈭�af隆盲(x2)=f(b)鈭�f(a)b鈭�a

则称函数f(x)

是[a,b]

上的“双中值函数”.

已知函数f(x)=13x3鈭�x2+a

是[0,a]

上“双中值函数”，则实数a

的取值范围是(

)

A.(1,3)

B.(32,3)

C.(1,32)

D.(1,32)隆脠(32,3)

评卷人得分二、填空题(共9题，共18分)7、如上图，在正方形内有一扇形（见阴影部分），扇形对应的圆心是正方形的一顶点，半径为正方形的边长。在这个图形上随机撒一粒黄豆，它落在扇形外正方形内的概率为____8、（文）在△ABC中，设A、B、C所对的边分别是a、b、c，若c，则A=____．9、等差数列{an}中，a1+3a6+a11=120，则2a7-a8=____．10、如图，P是双曲线上的动点，F1、F2是双曲线的焦点，M是∠F1PF2的平分线上一点，且．某同学用以下方法研究|OM|：延长F2M交PF1于点N，可知△PNF2为等腰三角形，且M为F2M的中点，得．类似地：P是椭圆上的动点，F1、F2是椭圆的焦点，M是∠F1PF2的平分线上一点，且．则|OM|的取值范围是____．

11、【题文】已知则的最小值为____12、【题文】已知sin是第二象限的角，且tan()=1,则tan的值为____13、【题文】一组样本数据的茎叶图如图所示，则这组数据的平均数等于____．

14、已知抛物线x2=2py（p＞0）的焦点到准线的距离为2，则直线y=x+1截抛物线所得的弦长等于____．15、隆露

九章算术?

商功隆路

中有这样一段话：“斜解立方，得两壍堵.

斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑.

”这里所谓的“鳖臑(bi篓楼n篓陇o)

”，就是在对长方体进行分割时所产生的四个面都为直角三角形的三棱锥.

已知三棱锥A鈭�BCD

是一个“鳖臑”，AB隆脥

平面BCDAC隆脥CD

且AB=2BC=CD=1

则三棱锥A鈭�BCD

的外接球的表面积为______．评卷人得分三、作图题(共9题，共18分)16、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

17、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）18、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）19、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

20、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）21、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）22、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、计算题(共2题，共10分)23、1.本小题满分12分）对于任意的实数不等式恒成立,记实数的最大值是（1）求的值；（2）解不等式24、解不等式组．评卷人得分五、综合题(共3题，共24分)25、（2009•新洲区校级模拟）如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1．这条曲线是函数y=的图象在第一象限的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a、b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN，垂足是M、N，直线AB分别交PM、PN于点E、F．则AF•BE=____．26、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．27、（2009•新洲区校级模拟）如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1．这条曲线是函数y=的图象在第一象限的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a、b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN，垂足是M、N，直线AB分别交PM、PN于点E、F．则AF•BE=____．参考答案一、选择题(共6题，共12分)1、D【分析】试题分析：由奇偶函数的定义可知：函数和为偶函数所以不符合题意；函数在上为减函数，所以应选D.考点：函数的性质.【解析】【答案】D2、C【分析】

如图所示；∵AC⊥底面BCD，∴AC⊥BC．

在Rt△ABC中，∵AC=a，∠ABC=30°，∴BC=a，∴=．

在Rt△BCD中，∵BD=DC，∴=

∴=．

设点D到平面ABC的距离为h；

∵VA-BCD=VD-ABC，∴．

∴解得h=．

故选C．

【解析】【答案】利用线面垂直的性质；三棱锥的体积计算公式、等积变形即可得出．

3、C【分析】【解析】

因为个函数中，在上是增函数是选项A中递减，错误，选项B中，先减后曾，错误。选项D中，递减函数，故选C【解析】【答案】C4、B【分析】【解析】

试题分析：由函数内是减函数，所以且即

考点：正切函数的图像与性质.【解析】【答案】B5、A【分析】【解析】因为不共线的两个向量且与垂直，垂直，则利用数量积为零得到的数量积与其模长的关系式，化简得到与的夹角的余弦值为选A【解析】【答案】A6、B【分析】解：由题意可知；

在区间[0,a]

存在x12(0<x1<x2<a)

满足f隆盲(x1)=f(a)鈭�f(0)a=13a3鈭�a2a=13a2鈭�a

隆脽f(x)=13x3鈭�x2+a

隆脿f隆盲(x)=x2鈭�2x

隆脿

方程x2鈭�2x=13a2鈭�a

在区间(0,a)

有两个解．

令g(x)=x2鈭�2x鈭�13a2+a(0<x<a)

则{鈻�=4+4a23鈭�4a>0g(0)=鈭�13a2+a>0g(a)=23a2鈭�a>0a>0

解得32<a<3

隆脿

实数a

的取值范围是(32,3)

．

故选：B

．

由新定义可知f隆盲(x1)=f隆盲(x2)=13a2鈭�a

即方程x2鈭�2x=13a2鈭�a

在区间(0,a)

有两个解；利用二次函数的性质可知实数a

的取值范围．

本题主要考查了导数的几何意义，二次函数的性质与方程根的关系，属于中档题．【解析】B

二、填空题(共9题，共18分)7、略

【分析】【解析】【答案】8、略

【分析】

因为在△ABC中，设A、B、C所对的边分别是a、b、c，若c；

由余弦定理可知cosA=所以A=．

故答案为：．

【解析】【答案】直接利用余弦定理求出coaA；然后求出A的大小即可．

9、略

【分析】

因为数列{an}是等差数列，所以，a1+a11=2a6；

又a1+3a6+a11=120，所以5a6=120，a6=24．

又a6+a8=2a7，所以，2a7-a8=a6=24．

故答案为24．

【解析】【答案】根据给出的数列是等差数列，运用等差中项的概念结合a1+3a6+a11=120可求a6，同样利用等差中项概念求得2a7-a8的值．

10、略

【分析】

延长F2M交PF1于点N，可知△PNF2为等腰三角形；

且M为F2M的中点；

则=a-|F2M|

∵a-c＜|F2M|＜a

故0＜|OM|＜c=

故|OM|的取值范围是

故答案为：

【解析】【答案】椭圆与双曲线都是平面上到定点和定直线距离之比为定值的动点的轨迹；故他们的研究方法；性质都是相似之处，我们由题目中根据双曲线的性质，探究|OM|值方法，类比椭圆的性质，推断出椭圆中|OM|的取值范围．

11、略

【分析】【解析】

试题分析：当且仅当时等号成立，的最小值为9

考点：均值不等式求最值。

点评：利用均值不等式求最值注意等号成立条件，等号成立时才能取得最值【解析】【答案】912、略

【分析】【解析】解：因为为第二象限角，

所以根据得到

则

又因为

把的值代入得

即

解得

故答案为：【解析】【答案】713、略

【分析】【解析】

试题分析：根据题意可知，这组数据的平均数为．

考点：茎叶图．【解析】【答案】．14、8【分析】【解答】解：由题设抛物线x2=2py（p＞0）的焦点到准线的距离为2；

∴p=2；

∴抛物线方程为x2=4y；焦点为F（0，1），准线为y=﹣1；

∴直线y=x+1过焦点F；

联立直线与抛物线方程消去x，整理得y2﹣6y+1=0

设交点的纵坐标分别为y1，y2，则y1+y2=6；

∴直线y=x+1截抛物线所得的弦长l=y1+y2+p=6+2=8

故答案为：8．

【分析】先确定抛物线的标准方程，确定直线y=x+1过焦点F，进而利用抛物线的定义，可计算弦长．15、略

【分析】【分析】本题考查三棱锥的外接球的表面积的求法，考查新宝定义、球等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题.

三棱锥A鈭�BCD

的外接球的半径：R=AD2=AB2+BC2+CD22

由此能求出三棱锥A鈭�BCD

的外接球的表面积．

【解答】解：隆脽

三棱锥A鈭�BCD

是一个“鳖臑”；

AB隆脥

平面BCDAC隆脥CD

且AB=2BC=CD=1

隆脿

三棱锥A鈭�BCD

的外接球的半径：

R=AD2=AB2+BC2+CD22=2+1+12=1

隆脿

三棱锥A鈭�BCD

的外接球的表面积为：

S=4娄脨R2=4娄脨

．

故答案为4娄脨

．【解析】4娄脨

三、作图题(共9题，共18分)16、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

17、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．18、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．19、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

20、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．21、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．22、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、计算题(共2题，共10分)23、略

【分析】【解析】

（1）由绝对值不等式，有那么对于只需即则4分（2）当时：即则当时：即则当时：即则10分那么不等式的解集为12分【解析】【答案】（1）（2）24、解：由{#mathml#}x+3x+1

{#/mathml#}≤2得：{#mathml#}x−1x+1

{#/mathml#}≥0，解得x＜﹣1或x≥1；由x2﹣6x﹣8＜0得：3﹣{#mathml#}17

{#/mathml#}＜x＜3+{#mathml#}17

{#/mathml#}，

∴不等式组得解集为（3﹣{#mathml#}17

{#/mathml#}，﹣1）∪[1，3+{#mathml#}17

{#/mathml#}）【分析】【分析】分别解不等式≤2与x2﹣6x﹣8＜0，最后取其交集即可．五、综合题(共3题，共24分)25、略

【分析】【分析】根据OA=OB，得到△AOB是等腰直角三角形，则△NBF也是等腰直角三角形，由于P的纵坐标是b，因而F点的纵坐标是b，即FM=b，则得到AF=b，同理BE=a，根据（a，b）是函数y=的图象上的点，因而b=，ab=，则即可求出AF•BE．【解析】【解答】解：∵P的坐标为（a，）；且PN⊥OB，PM⊥OA；

∴N的坐标为（0，）；M点的坐标为（a，0）；

∴BN=1-；

在直角三角形BNF中；∠NBF=45°（OB=OA=1，三角形OAB是等腰直角三角形）；

∴NF=BN=1-；

∴F点的坐标为（1-，）；

∵OM=a；

∴AM=1-a；

∴EM=AM=1-a；

∴E点的坐标为（a；1-a）；

∴AF2=（-）2+（）2=，BE2=（a）2+（-a）2=2a2；

∴AF•BE=1．

故答案为：1．26、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C，D四点坐标，根据线段之间的长度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC与圆相切．由于AB⊥l，故由垂径定理知及切线长定理知，另一点D与现在的点D关于x轴对称，所以另一点D的坐标为（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．（1分）

将（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）连接BC；交直线l于点D．

∵点B与点A关于直线l对称；

∴AD=BD．（4分）

∴AD+CD=BD+CD=BC．