2025年仁爱科普版高三数学下册阶段测试试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年仁爱科普版高三数学下册阶段测试试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共7题，共14分)1、已知cosα=m，0＜|m|＜1，且tanα=，则角α的终边在（）A.第一或第二象限B.第三或第四象限C.第一或第四象限D.第二或第三象限2、函数的最小正周期是（）A.πB.C.D.3、集合A={y|y=lgx，x＞1}，B={-2，-1，1，2}，则∁RA∩B=（）A.[-2，-1]B.（-∞，0]C.{1，2}D.{-2，-1}4、在二项式（2x+3）n的展开式中，若常数项为81，则含x3的项的系数为（）A.216B.96C.81D.165、某几何体的正视图和侧视图均为如图1所示；则在图2的四个图中可以作为该几何体的俯视图的是（）

A.（1）（3）B.（1）（4）C.（2）（4）D.（1）（2）（3）（4）6、给出下列命题：

（1）函数y=sinx+cosx的图象可由y=sinx的图象平移得到；

（2）已知非零向量、，则向量在向量的方向上的投影可以是•；

（3）在空间中；若角α的两边分别与角β的两边平行，则α=β；

（4）从总体中通过科学抽样得到样本数据x1、x2、x3xn（n≥2，n∈N+），则数值S=（为样本平均值）可作为总体标准差的点估计值．则上述命题正确的序号是[答]（）A.（1）、（2）、（4）B.（4）C.（2）、（3）D.（2）、（4）7、复数=（）

A.

B.-

C.i

D.-i

评卷人得分二、填空题(共6题，共12分)8、已知i是虚数单位，z=1+2i，则为____．9、已知D、E分别是△ABC边AB、AC上的点，且BD=2AD，AE=2EC，点P是线段DE上的任意一点，若=x+y，则xy的最大值为____．10、已知函数则．11、【题文】若抛物线的焦点与椭圆的左焦点重合，则的值为_________12、【题文】已知是内的一点，且定义：

其中分别为的面积，若则。

的最小值为______________________，此时__________________。13、（2016•山东）已知函数f（x）=其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是____．评卷人得分三、判断题(共7题，共14分)14、函数y=sinx，x∈[0，2π]是奇函数．____（判断对错）15、判断集合A是否为集合B的子集；若是打“√”，若不是打“×”．

（1）A={1，3，5}，B={1，2，3，4，5，6}．____；

（2）A={1，3，5}，B={1，3，6，9}．____；

（3）A={0}，B={x|x2+1=0}．____；

（4）A={a，b，c，d}，B={d，b，c，a}．____．16、函数y=sinx，x∈[0，2π]是奇函数．____（判断对错）17、已知函数f（x）=4+ax-1的图象恒过定点p，则点p的坐标是（1，5）____．（判断对错）18、已知A={x|x=3k-2，k∈Z}，则5∈A．____．19、空集没有子集．____．20、若b=0，则函数f（x）=（2k+1）x+b在R上必为奇函数____．评卷人得分四、作图题(共1题，共3分)21、在长方体ABCD-A′B′C′D′中，P、R分别为BC、CC′上的动点，当点P，R满足什么条件时，PR∥平面AB′D′？评卷人得分五、解答题(共4题，共32分)22、已知=1，=2，与的夹角为60°．求：

（1），

（2）与的夹角θ的值．23、如图；四边形ABCD中，DC∥AB，AD⊥AB，AB=4，AD=DC=2，E，F分别为AD，BC的中点，将梯形ABCD沿EF折起，使得二面角D-EF-A为直二面角。

（1）求折起后BD与CF所成角的余弦值；

（2）求二面角F-BC-D的大小．24、由函数y=f（x）确定数列{an}，an=f（n），若函数y=f（x）的反函数y=f-1（x）能确定数列{bn}，bn=f-1（n），则称数列{bn}是数列{an}的“反数列”．

（1）若函数确定数列{an}的反数列为{bn}，求bn；

（2）设cn=3n，数列{cn}与其反数列{dn}的公共项组成的数列为{tn}

（公共项tk=cp=dq，k、p、q为正整数）．求数列{tn}前10项和S10；

（3）对（1）中{bn}，不等式对任意的正整数n恒成立，求实数a的范围．25、已知函数g(x)＝＋1，h(x)＝x∈(－3，a]，其中a为常数且a>0，令函数f(x)＝g(x)·h(x)．(1)求函数f(x)的表达式，并求其定义域；(2)当a＝时，求函数f(x)的值域．评卷人得分六、证明题(共4题，共28分)26、（1）设a，b，c均为正数，求证：中至少有一个不小于2；

（2）设a＞0，b＞0，a+b=1，试用分析法证明．27、已知F1，F2是双曲线-=1的两个焦点，点P在双曲线上，且|PF1|•|PF2|=32，求证：PF1⊥PF2．28、下面有5个命题：

①分针每小时旋转2π弧度；

②若；且x+y=1，则A，B，C三点共线；

③在同一坐标系中；函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点；

④函数是奇函数；

⑤在△ABC中；若sinA=sinB，则A=B．

其中，真命题的编号是____（写出所有真命题的编号）29、已知在四边形ABCD中，AD=DC=2，AB=4，BC=2；DC⊥AD，沿AC折叠，使D在底面ABC上的射影P在△ABC边AB的高线上．

（1）设E为AC中点；求证：PE∥平面BCD；

（2）求BD与平面ABC的所成角的正切值．参考答案一、选择题(共7题，共14分)1、A【分析】【分析】由题意和同角三角函数基本关系可得sinα为正数，结合选项可得答案．【解析】【解答】解：∵cosα=m，0＜|m|＜1，且tanα=；

∴sinα=tanαcosα=＞0；

∴角α的终边在第一或第二象限．

故选：A．2、D【分析】【分析】根据函数y=Atan（ωx+φ）的周期为，得出结论．【解析】【解答】解：函数的最小正周期；

故选：D．3、D【分析】【分析】由条件根据补集的定义求得∁RA，再根据B利用两个集合的交集的定义求得∁RA∩B．【解析】【解答】解：∵A={y|y=lgx，x＞1}={y|y＞0}，∴∁RA={y|y≤0}；

再由B={-2，-1，1，2}，可得∁RA∩B={-2；-1}；

故选：D．4、B【分析】【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项【解析】【解答】解：二项式（2x+3）n的展开式的通项公式为Tr+1=•（2x）n-r•3r；

令n-r=0，求得r=n，∴常数项为3n=81；可得n=4．

再令4-r=3，可得r=1，∴含x3的项的系数×23×3=96；

故选：B．5、A【分析】【分析】由于几何体正视图与侧视图上部都是圆，下部都是正方形，推测出其几何特征，再对照所给的四个俯视图即可选出正确选项【解析】【解答】解：由几何体的正视图与侧视图可得出；此几何体上部一定是一个球，下部可以是一个正方体，或是一个圆柱体，故（1），（3）一定正确；

第二个几何体不符合要求的；这是因为球的投影不在正中，第四个不对的原因与第二个相同。

综上；A选项符合要求。

故选A6、D【分析】【分析】对于：（1）化简函数y=sinx+cosx；即可判断可由y=sinx的图象平移得到是不正确的；

（2）利用向量的数量积判断（2）的正误；

（3）在空间中；若角α的两边分别与角β的两边平行，则α=β；找出反例即可．

（4）从总体中通过科学抽样得到样本数据，即可作为总体标准差的点估计值，判断正误．【解析】【解答】解：（1）函数y=sinx+cosx=2sin（x）的图象；不可能由y=sinx的图象平移得到；所以不正确；

（2）已知非零向量、，则向量在向量的方向上的投影可以是•；符合向量的数量积的定义；正确；

（3）在空间中；若角α的两边分别与角β的两边平行，则α=β；可能有α=π-β，所以不正确．

（4）从总体中通过科学抽样得到样本数据x1、x2、x3xn（n≥2，n∈N+），则数值S=（为样本平均值）可作为总体标准差的点估计值；满足从总体中通过科学抽样得到样本数据，作为总体标准差的点估计值的依据．

故选D．7、C【分析】

复数===i；

故选C

【解析】【答案】把要求的式子的分子和分母同时乘以分母的共轭复数；化简可得结果．

二、填空题(共6题，共12分)8、略

【分析】【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解析】【解答】解：∵z=1+2i；

∴z2=1-4+4i=-3+4i

则=-3-4i．

故答案为：-3-4i．9、略

【分析】【分析】BD=2AD，AE=2EC，点P是线段DE上的任意一点，=x+y，可得=3x+，利用向量共线定理可得=1，再利用基本不等式的性质即可得出．【解析】【解答】解：如图所示，

∵BD=2AD，AE=2EC，点P是线段DE上的任意一点，=x+y；

∴=3x+；

∴=1；

∴2x+y=．

∵x；y＞0；

∵；

，当且仅当y=2x=时取等号．

则xy的最大值为．

故答案为：．10、略

【分析】试题分析：．考点：分段函数.【解析】【答案】11、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】-412、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】9，13、（3，+∞）【分析】【解答】解：当m＞0时，函数f（x）=的图象如下：

∵x＞m时，f（x）=x2﹣2mx+4m=（x﹣m）2+4m﹣m2＞4m﹣m2；

∴y要使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根；

必须4m﹣m2＜m（m＞0）；

即m2＞3m（m＞0）；

解得m＞3；

∴m的取值范围是（3；+∞）；

故答案为：（3；+∞）．

【分析】作出函数f（x）=的图象，依题意，可得4m﹣m2＜m（m＞0），解之即可．；本题考查根的存在性及根的个数判断，数形结合思想的运用是关键，分析得到4m﹣m2＜m是难点，属于中档题．三、判断题(共7题，共14分)14、×【分析】【分析】根据奇函数的定义进行判断即可得到答案．【解析】【解答】解：∵x∈[0；2π]，定义域不关于原点对称；

故函数y=sinx不是奇函数；

故答案为：×15、√【分析】【分析】根据子集的概念，判断A的所有元素是否为B的元素，是便说明A是B的子集，否则A不是B的子集．【解析】【解答】解：（1）1；3，5∈B，∴集合A是集合B的子集；

（2）5∈A；而5∉B，∴A不是B的子集；

（3）B=∅；∴A不是B的子集；

（4）A；B两集合的元素相同，A=B，∴A是B的子集．

故答案为：√，×，×，√．16、×【分析】【分析】根据奇函数的定义进行判断即可得到答案．【解析】【解答】解：∵x∈[0；2π]，定义域不关于原点对称；

故函数y=sinx不是奇函数；

故答案为：×17、√【分析】【分析】已知函数f（x）=ax-1+4，根据指数函数的性质，求出其过的定点．【解析】【解答】解：∵函数f（x）=ax-1+4；其中a＞0，a≠1；

令x-1=0，可得x=1，ax-1=1；

∴f（x）=1+4=5；

∴点P的坐标为（1；5）；

故答案为：√18、×【分析】【分析】判断5与集合A的关系即可．【解析】【解答】解：由3k-2=5得，3k=7，解得k=；

所以5∉Z；所以5∈A错误．

故答案为：×19、×【分析】【分析】根据空集的性质，分析可得空集是其本身的子集，即可得答案．【解析】【解答】解：根据题意；空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；

即空集是其本身的子集；则原命题错误；

故答案为：×．20、√【分析】【分析】根据奇函数的定义即可作出判断．【解析】【解答】解：当b=0时；f（x）=（2k+1）x；

定义域为R关于原点对称；

且f（-x）=-（2k+1）x=-f（x）；

所以函数f（x）为R上的奇函数．

故答案为：√．四、作图题(共1题，共3分)21、略

【分析】【分析】当PC：RC=BC：CC′时，满足要求，结合棱柱的几何特征和线面平行的判定定理，可证得结论．【解析】【解答】解：PC：RC=BC：CC′时；满足题意；

当PC：RC=BC：CC′时；

PR∥BC′；

又BC′∥AD′

所以PR∥AD′；

∵PR⊄平面AB′D′；AD′⊂平面AB′D′；

∴PR∥平面AB′D′五、解答题(共4题，共32分)22、略

【分析】【分析】（1）根据平面向量数量积的定义与性质；求模长即可；

（2）根据平面向量数量积求向量的夹角即可．【解析】【解答】解：（1）∵=1，=2，与的夹角为60°

∴=+2•+=12+2×1×2cos60°+22=7；

=-2•+=12-2×1×2cos60°+22=3；

∴=；

=；

（2）∵•（-）=•-=2×1×cos60°-22=-3；

∴与夹角θ的余弦值为。

cosθ===-；

又θ∈[0；π]；

∴θ=．23、略

【分析】【分析】（1）建立空间坐标系求出向量的夹角的余弦即可求折起后BD与CF所成角的余弦值；

（2）求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角F-BC-D的大小．【解析】【解答】解：（1）将梯形ABCD沿EF折起；使得二面角D-EF-A为直二面角；

则DE⊥AE；

以E为坐标原点；建立空间直角坐标系如图；

则AE=DE=1；DC=2，AB=4，EF=3；

即E（0；0，0），A（1，0，0），D（0，0，1）；

F（0；3，0），C（0，2，1），B（1，4，0）；

=（-1，-4，1），=（0；1，-1）；

则||===3，||=；

•=-4-1=-5；

则cos＜，＞==；

即折起后BD与CF所成角的余弦值为；

（2）∵=（-1，-1，0），=（-1，-2，1），=（0；2，0）；

∴设平面FBC的法向量为=（x，y，z），平面BCD的法向量为=（x；y，z）；

则由，令y=1，则x=-1，z=1，即=（-1；1，1）；

由；令x=1，则y=0，z=1；

即为=（1；0，1）；

则cos＜，＞==0；

即＜，＞=，即二面角F-BC-D的大小为．24、略

【分析】【分析】（1）由（x≥0），知（n为正整数），（x≥0），由此能求出数列{an}的反数列{bn}的通项．

（2）由cn=3n，dn=log3n，知3p=log3q，所以tn=3n，由此能求出{tn}的前n项和．

（3）由对任意正整数n恒成立，设Tn=，，数列{Tn}单调递增，所以（Tn）min=T1=1，要使不等式恒成立，只要．由此能求出使不等式对于任意正整数恒成立的a的取值范围．【解析】【解答】解：（1）（x≥0）⇒（n为正整数）；

（x≥0）

所以数列{an}的反数列{bn}的通项（n为正整数）．

（2）cn=3n，dn=log3n；

3p=log3q；

则；

有{cn}⊂{dn}，tn=3n；

所以{tn}的前n项和．

（3）对于（1）中{bn}；

不等式化为：；

对任意正整数n恒成立；

设Tn=；

；

数列{Tn}单调递增；

所以（Tn）min=T1=1；

要使不等式恒成立；

只要．

∵1-2a＞0，∴；

1-2a＞a2，．

所以，使不等式对于任意正整数恒成立的a的取值范围是：25、略

【分析】【解析】

(1)f(x)＝x∈[0，a]，(a>0)．(2)函数f(x)的定义域为[0，]，令＋1＝t，则x＝(t－1)2，t∈[1，]，f(x)＝F(t)＝＝∵t＝时，t＝±2∉[1，]，又t∈[1，]时，t＋单调递减，F(t)单调递增，F(t)∈[]．即函数f(x)的值域为[]．【解析】【答案】（1）x∈[0，a]，(a>0)（2）[]六、证明题(共4题，共28分)26、略

【分析】【分析】（1）假设都小于2，则a++b++c+＜6．再结合基本不等式；引出矛盾，即可得出结论．

（2）寻找使不等式成立的充分条件，直到使不等式成立的充分条件已经显然具备为止．【解析】【解答】证明：（1）假设都小于2，则a++b++c+＜6．

∵a、b、c∈R+；

∴a++b++c+=a+++b++c≥2+2+2=6；矛盾．

∴中至少有一个不小于2．

（2）要证成立，需证1+2a+2+1+2b≤8；

∵a+b=1；

∴只需证≤2；

∵≤=2

∴要证的不等式成立．27、略

【分析】【分析】求出双曲线的a，b，c，由双曲线的定义和勾股定理的逆定理，即可得证．【解析】【解答】证明：双曲线-=1的a=3，b=4，c==5；

由双曲线的定义可得||PF1|-|PF2||=2a=6；

又|PF1|•|PF2|=32；

则（|PF1|-|PF2|）2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|•|PF2|=36；

即有|PF1|2+|PF2|2=36+2×32=100；

|F1F2|=2c=10；

即有|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|