2025年沪科版高三数学下册阶段测试试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年沪科版高三数学下册阶段测试试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共6题，共12分)1、【文】设双曲线-=1（a＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，其一条渐近线与圆（x-a）2+y2=4相切于点M，则△F1MF2的面积为（）A.4B.2C.8D.42、函数f（x）在定义域R上的导函数是f′（x），若f（x）=f（2-x），且当x∈（-∞，1）时，（x-1）f′（x）＜0，设a=f（0、b=f（）、c=f（log28），则（）A.a＜b＜cB.a＞b＞cC.c＜a＜bD.a＜c＜b3、已知椭圆和双曲线焦点F1，F2相同，且离心率互为倒数，P是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当∠F1PF2=60°时，椭圆的离心率为（）A.B.C.D.4、A；B、C是表面积为64π的球面上三点；AB=2，BC=4，∠ABC=60°，O为球心，则直线OA与截面ABC所成角是（）

A.30°

B.45°

C.60°

D.不确定。

5、函数f（x）=7-4sinxcosx+4cos2x-4cos4x（x∈R）的最大值与最小值的和为（）

A.12

B.14

C.36

D.16

6、（2017•衡阳一模）《九章算术•商功》中将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的侧面积为（）A.4B.6+4C.4+4D.2评卷人得分二、填空题(共5题，共10分)7、若0＜a＜b＜1，则logab、logba、a、b的大小关系为____．8、设x∈（0，），则函数y=4sin2x•cosx的最大值为____．9、求值：sinπ=____．10、将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是4的倍数的概率是____．11、直线x=1的倾斜角为____．评卷人得分三、判断题(共5题，共10分)12、判断集合A是否为集合B的子集；若是打“√”，若不是打“×”．

（1）A={1，3，5}，B={1，2，3，4，5，6}．____；

（2）A={1，3，5}，B={1，3，6，9}．____；

（3）A={0}，B={x|x2+1=0}．____；

（4）A={a，b，c，d}，B={d，b，c，a}．____．13、函数y=sinx，x∈[0，2π]是奇函数．____（判断对错）14、判断集合A是否为集合B的子集；若是打“√”，若不是打“×”．

（1）A={1，3，5}，B={1，2，3，4，5，6}．____；

（2）A={1，3，5}，B={1，3，6，9}．____；

（3）A={0}，B={x|x2+1=0}．____；

（4）A={a，b，c，d}，B={d，b，c，a}．____．15、已知函数f（x）=4+ax-1的图象恒过定点p，则点p的坐标是（1，5）____．（判断对错）16、任一集合必有两个或两个以上子集．____．评卷人得分四、解答题(共2题，共8分)17、（Ⅰ）比较与的大小并证明；

（Ⅱ）已知a，b为正实数，求证：a3+b3≥a2b+ab2．18、已知a

为实常数；函数f(x)=lnx鈭�ax+1

．

(1)

若f(x)

在(1,+隆脼)

是减函数；求实数a

的取值范围；

(2)

当0<a<1

时函数f(x)

有两个不同的零点x12(x1<x2)

求证：1e<x1<1

且x1+x2>2.(

注：e

为自然对数的底数)

(3)

证明ln23+ln34+ln45++lnnn+1<n2鈭�n4(n隆脢N*,n鈮�2)

评卷人得分五、计算题(共1题，共2分)19、（2x-3）5展开式中第四项的系数是____．参考答案一、选择题(共6题，共12分)1、C【分析】【分析】利用渐近线与圆（x-a）2+y2=4相切，求出a，进而可得M的坐标，即可求出△F1MF2的面积．【解析】【解答】解：双曲线-=1的一条渐近线方程为y=x，即2x-ay=0；

∵渐近线与圆（x-a）2+y2=4相切；

∴=2；

∴a=2；

∴c=4；

直线MF2的方程为y=-（x-4）与y=x联立；可得M（2，2）；

∴△F1MF2的面积为=8；

故选：C．2、C【分析】【分析】先由x∈（-∞，1）时，（x-1）f′（x）＜0，得函数f（x）在（-∞，1）上为增函数；又f（x）=f（2-x）得f（x）图象关于x=1对称，则f（x）在（1，+∞）上为减函数，然后将f（0），f（），f（log28）化到同一单调区间内比较即可．【解析】【解答】解：∵x∈（-∞；1）时；

∴（x-1）f'（x）＜0；

∴f'（x）＞0；

∴f（x）在（-∞；1）上为增函数；

又∵f（x）=f（2-x）；

∴f（x）图象关于x=1对称；

∴f（x）在（1；+∞）上为减函数；

又∵a=f（0）=f（2），b=f（），c=f（log28）=f（3）；

∴3＞2＞；

∴c＜a＜b．

故选：C．3、A【分析】【分析】可设F1P=m，F2P=n，F1F2=2c，由余弦定理便得到4c2=m2+n2-mn，设a1是椭圆的长半轴，a1是双曲线的实半轴，由椭圆及双曲线定义即可得到m+n=2a1，m-n=2a1，从而可以求出m，n．再根据离心率互为倒数便可得到c2=a1a2，将m，n及c2都带入上式便可得出a1=3a2，从而有，这样便可求出椭圆的离心率．【解析】【解答】解：设F1P=m，F2P=n，F1F2=2c；

由余弦定理得，（2c）2=m2+n2-2mncos60°，即4c2=m2+n2-mn；

设a1是椭圆的长半轴，a2是双曲线的实半轴；

由椭圆及双曲线定义，得m+n=2a1，m-n=2a2；

∴m=a1+a2，n=a1-a2，将它们代入前式得3a22-4c2+a12=0；

∵离心率互为倒数；

∴，∴c2=a1a2；

∴（a2-a1）=0；

根据题意，a2≠a1，∴a1=3a2；

∴e1•e2=

即3e12=1；

∴e1=．

故选：A．4、C【分析】

由题意截面ABC所在小圆，BC为直径，A、B、C是表面积为64π的球的半径为：4πr2=64π，半径为4，即OA=4，BC的中点与球心连线与截面ABC垂直，所以直线OA与截面ABC所成角的余弦为：直线OA与截面ABC所成角为：60°．

故选C

【解析】【答案】由题意截面ABC所在小圆；BC为直径，求出球的半径，即可求出直线OA与截面ABC所成角．

5、D【分析】

∵f（x）=7-4sinxcosx+4cos2x-4cos4x

=7-2sin2x+4cos2x•sin2x

=7-2sin2x+sin22x

=（sin2x-1）2+6．

∴f（x）max=10，f（x）min=6．

∴f（x）max+f（x）min=16．

故选D．

【解析】【答案】利用正弦函数的二倍角公式将f（x）=7-4sinxcosx+4cos2x-4cos4x化为：f（x）═（sin2x-1）2+6；即可得到答案．

6、C【分析】【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的三棱柱，代入棱柱侧面积公式，可得答案．【解析】【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的三棱柱；

底面周长为：2+2×=2+2；

故棱柱的侧面积S=2×（2+2）=4+4；

故选：C．二、填空题(共5题，共10分)7、略

【分析】【分析】利用特殊值法，求出4个表达式的值，即可得到大小关系．【解析】【解答】解：0＜a＜b＜1，不妨令a=，b=；

logab=log=、log=3、a==-3、b==-．

∴logba＞logab＞b＞a．

故答案为：logba＞logab＞b＞a．8、略

【分析】【分析】利用同角的基本关系，将y转化为y=4cosx-4cos3x，将t代换成cosx，写出t的取值范围，利用导数求得y的极大值，也是最大值．【解析】【解答】解：y=4sin2x•cosx=4（1-cos2x）cosx；

=4cosx-4cos3x；

设cosx=t，x∈（0，）；t∈（0，1）；

∴y=4t-4t3；t∈（0，1）；

y′=4-12t2；y′=0；

解得t=；

当t∈（0，）；y′＞0，y单调递增；

当t∈（；1），y′＜0，y单调递减；

∴当t=；取极大值，也是最大值；

y的最大值为：．

故答案为：．9、略

【分析】【分析】利用诱导公式化简sinπ=sin，即可求得答案．【解析】【解答】解：sinπ=sin（4π+）=sin=；

故答案为：．10、略

【分析】【分析】将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，基本事件总数n=6×6=36，点数之和是4的倍数包含的基本事件的个数m=9，由此能求出点数之和是4的倍数的概率．【解析】【解答】解：将一颗骰子先后抛掷2次；观察向上的点数；

基本事件总数n=6×6=36；

点数之和是4的倍数包含的基本事件的个数m=9；

∴点数之和是4的倍数的概率p==．

故答案为：．11、略

【分析】【分析】利用直线的性质求解．【解析】【解答】解：∵直线x=1垂直于x轴；

∴直线x=1的倾斜角为90°．

故答案为：90°．三、判断题(共5题，共10分)12、√【分析】【分析】根据子集的概念，判断A的所有元素是否为B的元素，是便说明A是B的子集，否则A不是B的子集．【解析】【解答】解：（1）1；3，5∈B，∴集合A是集合B的子集；

（2）5∈A；而5∉B，∴A不是B的子集；

（3）B=∅；∴A不是B的子集；

（4）A；B两集合的元素相同，A=B，∴A是B的子集．

故答案为：√，×，×，√．13、×【分析】【分析】根据奇函数的定义进行判断即可得到答案．【解析】【解答】解：∵x∈[0；2π]，定义域不关于原点对称；

故函数y=sinx不是奇函数；

故答案为：×14、√【分析】【分析】根据子集的概念，判断A的所有元素是否为B的元素，是便说明A是B的子集，否则A不是B的子集．【解析】【解答】解：（1）1；3，5∈B，∴集合A是集合B的子集；

（2）5∈A；而5∉B，∴A不是B的子集；

（3）B=∅；∴A不是B的子集；

（4）A；B两集合的元素相同，A=B，∴A是B的子集．

故答案为：√，×，×，√．15、√【分析】【分析】已知函数f（x）=ax-1+4，根据指数函数的性质，求出其过的定点．【解析】【解答】解：∵函数f（x）=ax-1+4；其中a＞0，a≠1；

令x-1=0，可得x=1，ax-1=1；

∴f（x）=1+4=5；

∴点P的坐标为（1；5）；

故答案为：√16、×【分析】【分析】特殊集合∅只有一个子集，故任一集合必有两个或两个以上子集错误．【解析】【解答】解：∅表示不含任何元素；∅只有本身一个子集，故错误．

故答案为：×．四、解答题(共2题，共8分)17、略

【分析】【分析】（Ⅰ）；利用分析法证明步骤，找出使得结论成立的充分条件35＜36即可．

（Ⅱ）利用作差法，化简因式乘积的形式，结合已知条件证明即可．【解析】【解答】解：（Ⅰ）；

证明：要证；

只要证：；

即证明：；

也就是证明35＜36；

因为35＜36成立；

所以；

（Ⅱ）证明：a3+b3-a2b-ab2=a2（a-b）-b2（a-b）=（a-b）2（a+b）

因为a，b为正数，所以a+b＞0，（a-b）2≥0

所以（a-b）2（a+b）≥0，即a3+b3≥a2b+ab2．18、略

【分析】

(1)

先求导；根据导数和函数的单调性的关系，即可求出；

(2)

分两部分证明，根据导数函数的最值得关系，可证明1e<x1<1

再证根据导数和函数单调性的关系可得f(x2)=0

则有f(2a鈭�x1)>f(x2)

问题得以证明；

(3)

根据数列的函数特征，得到lnn2<n2鈭�1

即lnn+1<n鈭�12

累加即可证明．

本题考查利用导数研究函数的单调性、零点及不等式的证明等知识，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力、推理论证能力，本题综合性强，能力要求较高．【解析】解：(1)

因f(x)=lnx鈭�ax+1

则f鈭�(x)=1x鈭�a=1鈭�axx

又f(x)

在(1,+隆脼)

是减函数；

所以1鈭�ax鈮�0

在(1,+隆脼)

时恒成立；

隆脿a鈮�1x

在(1,+隆脼)

时恒成立；

隆脽y=1x

在(1,+隆脼)

为减函数；

隆脿a鈮�1

则实数a

的取值范围为[1,+隆脼)

(2)

证明：因当0<a<1

时函数f(x)

有两个不同的零点x12(x1<x2)

则有lnx1鈭�ax1+1=lnx2鈭�ax2+1=0

则有a=1+lnx1x1=1+lnx2x2.

设g(x)=1+lnxx(x>0)

则g隆盲(x)=lnx鈭�x2

．

当0<x<1

时，g隆盲(x)>0

当x>1

时，g隆盲(x)<0

所以g(x)

在(0,1)

上是增函数；在(1,+隆脼)

上是减函数，g(x)

最大值为g(1)=1

．

由于g(x1)=g(x2)

且0<a<1

所以0<1+lnx1x1=1+lnx2x2<1

又x1<x2

所以1e<x1<1

．

下面证明：当0<x<1

时，lnx<x2鈭�1x2+1

．

设h(x)=lnx鈭�x2鈭�1x2+1x>0

则h隆盲(x)=(x2鈭�1)2x(x2+1)2>0

．

则h(x)

在(0,1]

上是增函数；

所以当0<x<1

时，h(x)<h(1)=0

．

即当0<x<1

时，lnx<x2鈭�1x2+1

．

由0<x1<1

得h(x1)<0

．

所以ln1<x12鈭�1x12+1

．