第09讲-拓展四：三角形中周长(定值-最值-取值范围)问题-(高频精讲)(原卷版)

第09讲拓展四：三角形中周长（定值，最值，取值范围）问题(精讲）目录TOC\o"1-3"\h\u第一部分：知识点必背 2第二部分：高考真题回归 2第三部分：高频考点一遍过 5高频考点一：周长（边长）定值 5角度1：求周长 5角度2：求边的代数和 10高频考点二：周长（边长）最值 14角度1：周长最值 14角度2：边的最值 21角度3：边的代数和最值 27高频考点三：周长（边长）取值范围 37角度1：周长取值范围 37角度2：边的代数和取值范围 40角度3：锐角三角形中周长（边长）取值范围 49温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头第一部分：知识点必背1、基本不等式核心技巧：利用基本不等式，在结合余弦定理求周长取值范围；2、利用正弦定理化角核心技巧：利用正弦定理，，代入周长（边长）公式，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求周长（边长）的取值范围.第二部分：高考真题回归1．（2022·全国（新高考Ⅱ卷）·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．(1)求的面积；(2)若，求b．2．（2022·全国（乙卷文）·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．(1)若，求C；(2)证明：3．（2022·全国（乙卷理）·统考高考真题）记的内角的对边分别为，已知．(1)证明：；(2)若，求的周长．4．（2022·北京·统考高考真题）在中，．(1)求；(2)若，且的面积为，求的周长．5．（2022·全国（新高考Ⅰ卷）·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．第三部分：高频考点一遍过高频考点一：周长（边长）定值角度1：求周长典型例题例题1．（2023春·云南玉溪·高二云南省玉溪第一中学校考阶段练习）已知分别为三个内角的对边，且.(1)求；(2)已知的面积为，设为的中点，且，求的周长.例题2．（2023春·宁夏·高一六盘山高级中学校考阶段练习）在中，延长到，使，在上取点，使，(1)设，用表示向量及向量．(2)若，且的面积为，求的周长．例题3．（2023·全国·模拟预测）在中，角,,所对的边分别为，，，，为边上一点，.(1)若，求的面积；(2)若为的平分线，求的周长.练透核心考点1．（2023春·广东韶关·高二校考阶段练习）在中，角对应的边分别是，且．(1)求角的大小；(2)若，的面积，求的周长．2．（2023春·天津和平·高一校考阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．(1)求角C；(2)若，求的值；(3)若的面积为，求的周长．3．（2023·安徽·高二马鞍山二中校考学业考试）记△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．(1)求B的值；(2)若△ABC的面积为，b＝2，求△ABC周长．角度2：求边的代数和典型例题例题1．（2023春·云南丽江·高一丽江第一高级中学校考阶段练习）在中，角，，的对边分别为，，，且，.(1)若，求的值；(2)若的面积为，求的值.例题2．（2023春·山东济宁·高三校考阶段练习）在①；②；③；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答．问题：在中，内角,,的对边分别为，，，且_______．(1)求角；(2)若的内切圆半径为，求．例题3．（2023春·湖南长沙·高一雅礼中学校考阶段练习）已知分别为三个内角的对边，且.(1)求；(2)若，且的面积为，求的值.练透核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.(1)求A；(2)若，，角A的平分线交BC于点D，求AD.2．（2023春·广东江门·高二校考阶段练习）在中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，，，.(1)求的值；(2)若点D在边BC上且的面积为，求.3．（2023秋·甘肃天水·高二天水市第一中学校考期末）设的内角、、的对边分别为、、，(1)确定角B的大小；(2)若为锐角三角形，，的面积为，求的值．高频考点二：周长（边长）最值角度1：周长最值典型例题例题1．（2023·四川南充·统考二模）在中，内角,,的对应边分别为，，,已知，且的面积为，则周长的最小值为（

）A． B．6 C． D．例题2．（2023春·山东烟台·高一山东省招远第一中学校考期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，角的平分线交于点，且，则周长的最小值为______．例题3．（2023·河北邯郸·统考一模）已知函数在上单调．(1)求的单调递增区间；(2)若的内角，，的对边分别是，，，且，，求周长的最大值．例题4．（2023·福建漳州·统考三模）如图，平面四边形内接于圆，内角，对角线的长为7，圆的半径为.(1)若，，求四边形的面积；(2)求周长的最大值.练透核心考点1．（2023·全国·高一专题练习）在中，内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，已知，且的面积为，则周长的最小值为（

）A． B． C． D．2．（2023·四川广安·统考二模）中，角、、所对的边分别为、、.若，且，则周长的最大值为______.3．（2023春·四川成都·高三四川省成都市玉林中学校考阶段练习）在中，.(1)求；(2)若，求周长的最小值.4．（2023·甘肃兰州·兰州五十九中校考模拟预测）已知△ABC中，C＝，角A，B，C的对边分别为a，b，c.(1)若a，b，c依次成等差数列，且公差为2，求c的值；(2)若△ABC的外接圆面积为π，求△ABC周长的最大值.角度2：边的最值典型例题例题1．（2023春·全国·高三校联考阶段练习）在中，已知，，为的中点，则线段长度的最大值为（

）A．1 B． C． D．2例题2．（2023·青海西宁·统考二模）在中，内角的对边分别为，，，且.(1)求角的大小；(2)若，是边上的一点，且，求线段的最大值.例题3．（2023·全国·模拟预测）在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，且．(1)求；(2)若是线段上靠近的三等分点，，求的最大值．例题4．（2023·全国·高三专题练习）在中，角所对的边分别为，且.(1)求角的大小；(2)若角的平分线交于且，求的最小值.练透核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，csin=sinC，且a=1．(1)求A；(2)若AB=AC，D，E两点分别在边BC，AB上，且CD=DE，求CD的最小值．2．（2023·全国·模拟预测）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．在锐角中，内角的对边分别为，且______．(1)求；(2)若，，求线段长的最大值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．3．（2023·全国·高一专题练习）a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，已知．(1)若，证明：△ABC为等腰三角形；(2)若，求b的最小值．角度3：边的代数和最值典型例题例题1．（2023·全国·高一专题练习）在中，角所对的边分别是是边上一点，且，则的最小值是（

）A．4 B．6 C．8 D．9例题2．（2023·广西·统考一模）在中，角,,的对边分别是，，，满足.(1)求；(2)若角的平分线交于点，且，求的最小值.例题3．（2023·全国·模拟预测）从①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，然后解答补充完整的题目．已知的三个内角，，的对边分别为，，,且______．(1)求角B的大小；(2)若，求的最大值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．例题4．（2023·全国·高一专题练习）已知向量，，.(1)求的单调增区间；(2)在中，角,,的对边分别为，，,且，，求的最大值.例题5．（2023·全国·高三专题练习）中，已知，，为上一点，，.(1)求的长度；(2)若点为外接圆上任意一点，求的最大值.练透核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）已知三角形中，，D是边上一点，且满足，则的最大值是__________．2．（2023春·浙江宁波·高一余姚中学校考阶段练习）在中，角，，的对边分别是，，，满足(1)求角；(2)若角的平分线交于点，且，求的最小值.3．（2023·全国·高三专题练习）如图，△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求角B的大小；(2)已知，若D为△ABC外接圆劣弧AC上一点，求AD+DC的最大值.4．（2023春·福建龙岩·高一校考阶段练习）已知三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)求角B的大小；(2)若，求的最大值．5．（2023·山西·校联考模拟预测）在中，角、、的对边分别为、、，且．(1)求角的大小；(2)若，求的最大值．高频考点三：周长（边长）取值范围角度1：周长取值范围典型例题例题1．（2023春·江苏南通·高一江苏省南通中学校考阶段练习）设函数．(1)当时，求函数的最小值并求出对应的；(2)在中，角，，的对边分别为，，，若，且，求周长的取值范围．例题2．（2023·全国·高三专题练习）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．在中，内角的对边分别是，且满足_______，．(1)若，求的面积;(2)求周长的取值范围．练透核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）在中，角的对边分别为，且.(1)求角的大小；(2)若，求周长的取值范围.2．（2023春·河南南阳·高一南阳中学校考阶段练习）在中，角所对的边分别是，设向量，且．(1)求角A的值；(2)若，求的周长l的取值范围．角度2：边的代数和取值范围典型例题例题1．（2023春·湖南永州·高一永州市第一中学校考阶段练习）在锐角中，内角，，所对应的边分别是，，，且，则的取值范围是______．例题2．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）在①，②，③这三个条件中任选一个作为条件，补充到下面问题中，然后解答．已知锐角的内角，，所对的边分别为，，，且______（填序号）．(1)若，，求的面积；(2)求的取值范围．例题3．（2023春·云南丽江·高一丽江第一高级中学校考阶段练习）在锐角中，角，，所对的边为，，，已知，．(1)求；(2)求的取值范围．例题4．（2023·全国·高一专题练习）在中，内角的对边分别为，且．(1)求角；(2)若为锐角三角形，求的取值范围．练透核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)求C；(2)若A为钝角，求的取值范围．2．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）已知的内角的对边分别为，，，，且．(1)求的大小；(2)若的平分线交于点，且，求的取值范围．3．（2023·高一单元测试）设锐角三角形ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知．(1)求证：B＝2A；(2)求的取值范围．4．（2023秋·河南·高三安阳一中校联考阶段练习）已知，，分别是的内角，，所对的边，向量，(1)若，，证明：为锐角三角形；(2)若为锐角三角形，且，求的取值范围.5．（2023·全国·高一专题练习）在中，角，，的对边分别为，，．，，．(1)求；(2)求的取值范围．角度3：锐角三角形中周长（边长）取值范围典型例题例题1．（2023春·浙江杭州·高一浙江大学附属中学期中）的内角、、的对边分别是、、，已知.(1)求；(2)若是锐角三角形，，求周长的取值范围.例题2．（2023·广东汕头·金山中学校考模拟预测）在锐角中，角，，所对应的边分别为，，，已知.(1)求角的值；(2)若，求的取值范围．例题3．（2023春·重庆万州·高一重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）在锐角中，分别是角所对的边，，且.(1)求；(2)若周长的范围例题4．（2023秋·辽宁·高三校联考期末）在中，角所对的边分别为.且.(1)求证：；(2)若为锐角三角形，求的取值.练透核心考点1．（2023·辽宁·鞍山一中校联考模拟预测）在锐角中，角，的对边分别为，，，从条件①：，条件②：这两个条件中选择一个作为已知条件．(1)求角的大小；(2)若，求周