2025年中考数学总复习《与等腰(边)三角形有关的线段相等问题》专项测试卷含答案

第第页2025年中考数学总复习《与等腰(边)三角形有关的线段相等问题》专项测试卷含答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________知识与方法1.角平分线+垂线构造等腰三角形2.角平分线+平行线构造等腰三角形3.等边三角形的三边相等典例精析例1如图1-1-35,在矩形ABCD中,∠ABC的平分线BE与AD交于点E,∠BED的平分线EF与DC交于点F.若AB=12,DF=2FC,则BC的长是.答案：8【简析】解法一：角平分线+平行→等腰三角形如图1-1-36,延长BC,EF交于点G.设CG=a,由△CGF∽△DEF得DE=2a,∴AD=12+2a.由AD∥BC,EF平分∠BED得BE=BG.∴12+2a+a=12∴a=4∴BC=12+2a=12+8解法二：角平分线+双垂直如图1-1-37,过点F作FG⊥BE于点G,连接BF.设DE=a,等积法:SBEF=S四边形BCDE∴a=8解法三：角平分线+对称两边→全等如图1-1-38，在AD的延长线上截取.EB易得△BEF≌△B'EF,∴BF=B'F.∴解得a=8∴BC=12+a=8解法四：倍半角 由图1-1-39②易得tan22.5∘=12+1=2−1.∴BC=AD=12+例2已知△ABC是等边三角形,点D,E分别在直线BC,AC上.(1)如图1-1-40①,当BD=CE时,连接AD与BE交于点P,则线段AD与BE的数量关系是;∠APE的度数是.(2)如图②,若“BD=CE”不变,AD与EB的延长线交于点P，那么(1)中的两个结论是否仍然成立?请说明理由.(3)如图③,若AE=BD,连接DE与AB边交于点M.求证:M是DE的中点.【简析】(1)利用等边三角形的性质结合已知，证明△ABD≌△BCE(SAS)即可解决问题.(2)结论“AD=BE,∠APE=60°”仍然成立.利用等边三角形的性质结合已知，证明△ABD≌△BCE(SAS)即可解决问题.(3)过点E作EF∥BC交AB边于点F.证明△MEF≌△MDB即可解决问题.解:(1)AD=BE60°(2)结论“AD=BE,∠APE=60°”仍然成立.理由如下:如图1-1-41①,∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC,∠ABC=∠ACB=60°.∴∠ABD=∠BCE=120°.又∵BD=CE,∴△ABD≌△BCE(SAS).∴AD=BE,∠BAD=∠CBE,∠ADB=∠BEC.又∠APE=∠ADB+∠DBP,∠ACB=∠CBE+∠CEB=60°,∠DBP=∠CBE,∴∠APE=∠ACB=60°.(3)证明:∵△ABC是等边三角形,∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°.如图1-1-41②,过点E作EF∥BC交AB边于点F.∴∠AFE=∠ABC=60°,∠AEF=∠ACB=60°.∴△AEF是等边三角形.∴EF=AE.∵AE=BD,∴EF=BD.∵EF∥BD,∴∠EFM=∠DBM.∵∠EMF=∠DMB,∴△MEF≌△MDB(AAS).∴EM=DM,M是DE的中点. 进阶训练1.如图1-1-42,在△ABC中,AB=3AC,∠BAC的平分线交BC于点D,过点B作BE⊥AD,垂足为E,求证:AD=DE.2.如图1-1-43,AB∥CD,BE平分∠ABC,CE平分∠BCD,若E在AD上.求证:BC=AB+CD.3.问题:如图1-1-44,在▱ABCD中,AB=8,AD=5,∠DAB,∠ABC的平分线AE,BF分别与直线CD交于点E,F,求EF的长.答案:EF=2.探究:(1)把“问题”中的条件“AB=8”去掉,其余条件不变.①当点E与点F重合时,求AB的长;②当点E与点C重合时,求EF的长.(2)把“问题”中的条件“AB=8,AD=5”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求ADAB 4.如图1-1-45,在△ABC中,∠ACB=2∠B,∠BAC的平分线AO交BC于点D,点H为AO上一动点,过H作直线l⊥AO于点H,分别交直线AB,AC,BC于点N,E,M.(1)当直线l经过点C时(如图①),求证:BN=CD;(2)当M是线段BC的中点时(如图②)，写出线段CE和线段CD之间的数量关系，并证明.5.如图1-1-46,△ABC是等边三角形,CE是△ABC的外角∠ACM的平分线,点D为射线BC上一点,且∠ADE=∠ABC,DE与CE相交于点E.(1)如图①,如果点D在边BC上,求证:AD=DE.(2)如图②,如果点D在边BC的延长线上,那么(1)中的结论“AD=DE”还能成立吗?请说明理由.(3)如果△ABC的边长为4,且∠DAC=30°,请直接写出线段BD的长度(无需写出解题过程).6.如图1-1-47,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,M为AB中点,D为边AB上一动点，在CD右侧作等边三角形CDE，直线DE与直线CB交于点F,连接BE.(1)如图①,当点D与点M重合时,求证:CE=BE.(2)如图②，当点D在线段AM(不包括端点A,M)上时,CE=BE是否仍然成立?请说明理由.

答案|进阶训练|1.证明:如图,延长AC,BE交于点F,取CF的中点G,连接EG.在△ABE和△AFE中,∴△ABE≌△AFE(ASA).∴AB=AF,BE=FE.又∵AB=3AC,∴AF=3AC.∴CF=2AC.又CG=FG,∴AC=CG=FG.在△BCF中,∵CG=FG,BE=FE,∴EG∥BC.又∵AC=CG,∴AD=DE.2.解:解法一:如图,在BC上取点F,使BF=BA,连接EF.在△ABE和△FBE中AB=FB,∴△ABE≌△FBE(SAS).∴∠A=∠5.∵AB∥CD,∴∠A+∠D=180°.∴∠5+∠D=180.∵∠5+∠6=180°,∴∠6=∠D.在△CFE和△CDE中.∠6=∠D,∠3=∠4,CE=CE,∴△CDE∴CF=CD.∵BC=BF+CF,∴BC=AB+CD.解法二：过点E作AB的平行线EF与BC交于点F,可知AB,EF,CD互相平行,由BE平分∠ABC,易得BF=EF,由CE平分∠BCD易得CF=EF,所以BF=CF.根据平行线分线段成比例，可得EF是梯形ABCD的中位线,推出AB+CD=2EF,进而可得BC=AB+CD.3.解:(1)①如图①所示:∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB,BC=AD=5,AB∥CD.∴∠DEA=∠BAE.∵AE平分∠DAB,∴∠DAE=∠BAE.∴∠DEA=∠DAE.∴DE=AD=5.同理:BC=CF=5.∵点E与点F重合,∴AB=CD=DE+CF=10.②如图②所示：∵点E与点C重合,∴DE=DC=5.易得CF=BC=5,∴点F与点D重合.∴EF=DC=5.(2)分三种情况：①如图③所示：同(1)得:AD=DE,∵C，D，E，F相邻两点间的距离相等，∴AD=DE=EF=CF.∴ ②如图④所示：同(1)得:AD=DE=CF,∵DF=FE=CE,∴③如图⑤所示：同(1)得:AD=DE=CF,∵DF=DC=CE,∴ADB=2.综上所述，ADAB)；的值为13或4.解:(1)证明:连接ND,如图①所示:∵AO平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD.∵直线l⊥AO于点H,∴∠AHN=∠AHE=90°.∴∠ANH=∠AEH.∴AN=AC.∴NH=CH.∴AH是线段NC的垂直平分线.∴DN=DC.∴∠DNH=∠DCH.∴∠AND=∠ACB.∵∠AND=∠B+∠BDN,∠ACB=2∠B,∴∠B=∠BDN.∴BN=DN.∴BN=DC.(2)当M是BC中点时,CE和CD之间的数量关系为CD=2CE.理由如下:过点C作CN'⊥AO交AB于N',过点C作CG∥AB交直线l于点G，如图②所示.∵CG∥AB,∴∠ANE=∠CGE,∠B=∠BCG.易得△AHN≌△AHE,∴∠ANE=∠AEN.∴∠CGE=∠AEN.∴CG=CE.在□NN'CG中,N∴N∵M是BC中点,∴BM=CM.在△BNM和△CGM中∠B=∠BCG,∴△BNM≌△CGM(ASA).∴BN=CG.∴BN=CE.由(1)得B∴CD=B5.解:(1)证明:如图①,在AC上截取CN=CD.连接DN.∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=∠B=60°.∴△CDN是等边三角形.∴ND=CD=CN,∠CND=∠CDN=60°.∴∠AND=120°.∵∠ADE=∠B=60°,∴∠ADE=∠NDC.∴∠ADN=∠EDC.∵CE平分∠ACM,∴∠ACE=60°.∴∠DCE=120°=∠AND. 在△ADN和△EDC中,∠ADN=∠EDC,∴△ADN≌△EDC(ASA).∴AD=ED.(2)结论仍然成立.理由如下：如图②，在AC的延长线上截取CN=CD,连接DN.∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°.∴∠DCN=60°.∴△CDN是等边三角形.∴ND=CD=CN,∠CND=∠CDN=60°.∵CE平分∠ACM,∴∠ACE=∠DCE=60°.∴∠ECD=∠AND.∵∠ADE=∠B=60°,∴∠ADE=∠CDN.∴∠ADN=∠EDC.在△ADN和△EDC中,∴△ADN≌△EDC(ASA).∴AD=DE.(3)BD的长度为2或8.[解析]当点D在线段BC上时,∵△ABC是等边三角形，∠DAC=30∴BD=当点D在射线CM上时，∵∠DAC=30°,∠ACB=60°=∠DAC+∠ADC∴∠DAC=∠ADC=30°.∴AC=DC=4.∴BD=8.6.解:(1)证明:如图①中,∵∠ACB=90°,AD=DB,∴CD=AD=BD.∵∠A=60°,∴△ADC是等边三角形.∴∠ADC=60°.∵△CDE是等边三角形，∴∠CDE=60°.∴∠EDB=180°−60°=60°.∴∠CDF=∠BDF.∵DC=DB,∴DF⊥BC,CF=FB.∴DF是BC的垂直平分线.∴EC=E