2024年各地高考数学真题分类汇编（共9个专题）含答案及解析

2024年各地高考数学分类汇总合集

1.集合与常用逻辑用语.........................................................1

2.不等式与不等关系..........................................................4

3.复数和平面向量...........................................................13

4.数列......................................................................18

5.三角函数与解三角形.......................................................36

6.空间向量与立体儿何.......................................................49

7.空间向量与立体几何.......................................................70

8.计数原理与概率统计.......................................................91

9.函数与导数...............................................................109

1.集合与常用逻辑用语

一、单选题

1.（2024•全国1卷）已知集合力=卜|-5</<5}*={-3,-1,0,2,3},则力06=（）

A.{-1,0}B.{2,3}C.{-3,-1,0}D.{-1,0,2（

2.（2024•全国2卷）已知命题p：VXGR,|X+1|>1；命题g3x>0,/=%，则（）

A.〃和g都是真命题B.T7和q都是真命题

C.p和E都是真命题D.「P和r?都是真命题

3.（2024•全国甲卷文）集合力={123,4,5,9},8=卜卜+1丘力},则力口8=（）

A.{1,2,3,4}B.{1,2,3}C.{3,4}D.{1,2,9}

4.（2024•全国甲卷理）集合力={1,2,3,4,5,9},8=k则刎/C为=（）

A.{1,4,9}B.{3,4,9}C.{1,2,3}D.{2,3,5}

5.（2024•全国甲卷理）已知向量£=（x+I,x）,B=（x,2）,则（）

A.“x=-3”是F_LB”的必要条件B.“x=-3”是〃石”的必要条件

C.“x=0”是的充分条件D.“x=-l+6”是“工〃厂的充分条件

6.（2024•北京）已知集合M={x|-4<xW1},N={x[-I<x<3},则MuN=（）

A.{x|-4<x<3）B.{x|-I<x<l}

C.{0,1,2}D.{x|-l<x<4}

7.（2024•北京）已知向量b»则“（口+彼）倒-3）=0"是=B或7=-3”的（）条件.

A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件

C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件

8.（2024•天津）集合4={1天,3,4},5={2,3,4,5},则如3=（）

A.{1,2,3,4}B.{2,3,4}C.{2,4}D.{1}

9.（2024•天津）设a,beR,则是“3。=3〃”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

二、填空题

10.（2024・上海）设全集U={1,2,3,4,5},集合4={2,4},则力=.

参考答案：

1.A

【分析】化简集合A,由交集的概念即可得解.

【解析】因为4={x|-指＜X＜%},8={-3,-1,0,2,3},且注意到1＜后＜2,

从而＜A5={T,O}.

2.B

【分析】对于两个命题而言，可分别取产-1、x=l,再结合命题及其否定的真假性相反即

可得解.

【解析】对于〃而言，取尸-1,则有卜+1|=0＜1,故P是假命题，力是真命题，

对于4而言，取X=l，则有丁=13=1=x，故q是真命题，是假命题，

综上，~^p和q都是真命题.

3.A

【分析】根据集合8的定义先算出具体含有的元素，然后根据交集的定义计算.

【解析】依题意得，对于集合6中的元素X，满足x+l=l,2,3,4,5,9,

则x可能的取值为01,2,3,4,8,即3={0』,2,3,4,8},

于是4cB={1,2,3,4}.

4.D

【分析】由集合8的定义求出8,结合交集与补集运算即可求解.

【解析】因为<={1,2,3,4,5,9},8=卜|五6彳卜所以6={1,4,9,16,25,81},

则/口4={1,4,9},6,(/105)={2,3,5)

5.C

【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.

【解析】对A,当时，则=

所以x.(x+l)+2x=0,解得x=0或-3,即必要性不成立，故A错误：

对C,当x=0时，£=(1,0)3=(0,2),故>5=0，

所以£_LB，即充分性成立，故c正确；

对B，当"时，贝|J2(X+1)=/，解得入=1土百，即必要性不成立，故B错误；

对D,当x=T+百时，不满足2(x+l)=f,所以不成立，即充分性不立，故D错误.

6.A

【分析】直接根据并集含义即可得到答案.

【解析】由题意得MuN=(-4,3),

7.A

【分析】根据向量数量积分析可知值+6)・倒-6)=0等价于同叩|，结合充分、必要条件分

析判断.

【解析】因为(4+1)(力)=-2孑=o,可得/=片，即同=跖

可知(2+B)G-B)=o等价于同=忖，

若1书或”4,可得同=忖，即仅+孙口-5)=0,可知必要性成立；

若伍+B).R-B)=o,即同=跖无法得出IB或£=—兀

例如i=(l,o),E=(o,i),满足同=忖，但且£工—九可知充分性不成立；

综上所述，”(。+》).(。一4=()”是'工工6且3工一户’的必要不充分条件.

8.B

【分析】根据集合交集的概念直接求解即可.

【解析】因为集合4={1,2,3,4},5={2,3,4,5),

所以/1CI4={2,3,4},

9.C

【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件.

【解析】根据立方的性质和指数函数的性质，/=//和3“=3,，都当且仅当〃=人，所以二者

互为充要条件.

10.{1,3,5}

【分析】根据补集的定义可求7.

【解析】由题设有，={1,3,5},

2.不等式与不等关系

一、单选题

1.(2024•全国1卷)已知函数为“X)的定义域为R,/(.r)>/(x-l)+/(x-2),且当x<3时

/(x)=.V,则下列结论中一定正确的是()

A./(10)>100B./(20)>1000

C./(10)<1000D./(20)<10000

一x2—2at—cix<0

2.(2024•全国1卷)已知函数为/(、)='一，、'八，在R上单调递增，则。取值的

er+ln(x+l),x>0

范围是()

A.(-8,0]B.[-1,0]C.D.[0,+oo)

3.(2024•全国2卷)已知命题p：VxeR,|x+l|>l；命题g：3x>0,x3=x,则()

A.p和g都是真命题B.-'P和q都是真命题

C.〃和F都是真命题D.「P和「夕都是真命题

4.(2024•全国2卷)设函数/3=。+幻的。+与，若/(x)20,则/+/的最小值为()

11

A-B-

84D.

4x-3y-3>0

5.（2024・全国甲卷文）若实数再丁满足约束条件-一2），一24。，则z=x—5y的最小值为（）

2x+6^-9<0

A.5B.7C.-2D.」

22

6.（2024•北京）已知集合A/={x|-4<x«1},N={x[-I<x<3},则A/uN=（）

A.{Y|-4<r<3}B.{x\-\<r<l}

C.{0,1,2}D.{x|-l<x<4}

C_1

7.（2024・北京）记水的质量为d=U，并且d越大，水质量越好.若S不变，且4=2.1,

Inn

4=2.2,则勺与巧的关系为（）

A.4<%

B.

C.若Svl,则〃]<〃2：若S>1,则〃]>&；

D.若S<1,则〃1>巧；若S>1,则〃]<〃2：

8.（2024•北京）已知（4乂），（占多）是函数y=2'图象上不同的两点，则下列正确的是（）

A.]呜中>审B.bg,中〈审

一.y,+y,

C.log,J>内+%D.log]"昔〈再+x2

9.（2024•天津）若。=4.243,6=4.2°3,c=log420.2,则b,c的大小关系为（）

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a

一、填空题

10.（2024•上海）已知xwR,则不等式--2x-3<0的解集为

三、解答题

II.（2024•全国甲卷文）已知函数f（x）=a（x-l）-lnx+l.

⑴求/（x）的单调区间；

（2）若。<2时，证明：当x>l时，/（x）<ei恒成立.

12.(2024•全国甲卷理)已知函数〃x)=(l-at)ln(l+x)-x.

⑴当a=—2时，求/")的极值；

(2)当时，/(X)之。恒成立，求。的取值范围.

参考答案：

1.B

【分析】代入得至1」/(1)=1,/(2)=2,再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.

【解析】因为当x<3时/(x)=x,所以/⑴=1,"2)=2,

又因为2),

则/(3)>/(2)+/(1)=3,/(4)>/(3)+/(2)>5,

/(5)>7(4)4-/(3)>8,/(6)>/(5)+/(4)>13,/(7)>/(6)+/(5)>21,

/(8)>/(7)+/(6)>34,/(9)>/(8)+/(7)>55,/(10)>/(9)+/(8)>89,

/(11)>/(10)+/(9)>144,/(12)>/(11)+/(10)>233,/(13)>/(12)+/(11)>377

/(14)>/(13)+/(12)>610,/(15)>/(14)+/(13)>987,

/(16)>/(15)4-/(14)>1597>1000,则依次下去可知f(20)>1000,则B正确;

且无证据表明ACD一定E确.

2.B

【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.

【解析】因为/(x)在R上单调递增，且xNO时，/a)=e*+ln(x+l)单调递增，

-一>0

则需满足彳2x(-1),解得TKaKO,

-t?<e°+In1

即。的范围是

3.B

【分析】对于两个命题而言，可分别取x=T、x=l,再结合命题及其否定的真假性相反即

可得解.

【解析】对于P而言，取尸-1,则有|x+l|=0vl,故P是假命题，"是真命题，

对丁夕而言，取人=1,则有/=/=1=工，故夕是真命题，「夕是假命题，

综上，「P和9都是真命题.

4.C

【分析】解法一：由题意可知：/(x)的定义域为(-"+8),分类讨论-。与的大小关

系，结合符号分析判断，即可得力=。+1,代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分

析ln(x+b)的符号，进而可得x+a的符号，即可得力=。+1,代入可得最值.

【解析】解法一：由题意可知：/(X)的定义域为(-8+8)，

令x+a=()解得x=-a；令ln(x+6)=0解得工=1一〃；

若-aW-b,当xe(-Z>/一b)时，可知x+a>O,ln(x+/>)<0,

此时/(x)<0,不合题意；

若-b<-a<1-b,当xe(-4,l-b)时，可知x+a>O,ln(x+b)<0,

此时/(x)vO,不合题意;

若-a=1-b,当xe(一41一人)时，可知x+a<0,ln(x+〃)<0,此时/'a)>0；

当xw[l-〃,+8)时，可知x+qNOJn(x+/))NO,此时/(x)20；

可知若-a=l-b，符合题意；

若-a>1-b,当工£(1-1),-4)时，可知x+“0,ln(x+6))0,

此时/(x)<0,不合题意；

综上所述：一。=1-〃，即/)=a+l,

则/+/=/+(4+1)2=2(4+_1]+_12_!.,当且仅当"=一!*=:时，等号成立,

v7{2)2222

所以/+〃的最小值为g；

解法二：由题意可知：/⑴的定义域为(-"+8),

令x+a=0解得X=~a.令\n(x+b)=0解得x=1—8；

则当xe(-6,"力)时，ln(x+b)<0,故x+a<0,所以1-b+aWO；

xe(l—4+8)时，\n(x+b)>0,故x+a20,所以1一万+“20：

故1—力+”=0,贝I]+/)，=a?+(〃+1)2=2(〃+；)

当且仅当。=-；,力=；时，等号成立，

所以/+〃的最小值为1

5.D

【分析】画出可行域后，利用z的几何意义计算即可得.

4x-3y-3>0

【解析】实数MN满足,x-2y-2W0，作出可行域如图:

2x+6y-9<0

由z=x-5y可得y=3一卜,

即z的几何意义为y=的截距的—"

则该直线截距取最大值时，z有最小值，

此时直线y=过点A,

3

4x-3v-3=0右,2,即才4,1),

联立2»6；.9力解得

y=l8)

37

则Nmin=--5x1=--

6.A

【分析】直接根据并集含义即可得到答案.

【解析】由题意得MUN=(-4,3),

7.C

S-1

【分析】根据题意分析可得"=e'，讨论S与1的大小关系，结合指数函数单调性分析

/?-,=e22

判断.

/S-1115-1

4=------=2.1丁

Inn.n.=e2,1

【解析】由题意可得s_；，解得组

^2=------=2.2=1

In-

若S>1,则可得察〉皆，即

2.12.2c八

C_1C_1

若s=l,则笠=合=0,可得〃广〃2=1；

4・14・4

若S<1,则三丁<三不~，可得e*ve^，即勺<〃2；

2.12.2cy

结合选项可知C正确，ABD错误；

8.A

【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即

可.

【解析】由题意不妨设玉</，因为函数y=2'是增函数，所以0<2”<2占，即。〈必〈为，

7-r>4-a2/-----把力V4.I，91

对于选项AB：可得上―>J2%2"=22,即21±21>22>0,

22

,再死I

根据函数少=log?X是增函数，所以log?及尹>log?22="^.,故A正确，B错误；

对于选项C：例如*=。,巧=1,则凹=1,必=2,

可得1。82匕产=1。&：£(0,1)，即log?丐"■<1=再+与，故C错误：

对于选项D：例如玉=一1,X2=-2,则乂=g,必=:,

可得log?必：%=k)g2]=log23-3e(-2,-l),即log?」：%>—3=&+々,故D错误，

2o2

9.B

【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可.

【解析】因为y=42，在R上递增，月「0.3<0<0.3,

所以0<4.2一°3<4.2°<4.2心，

所以0<4.2~03<1<4.2°3,即0<a<1<〃，

因为y=logsx在(°，+4上递增，Jao<o.2<i,

所以log420-2<lognl=。，即c<0,

所以b>a>c,

10.{x|-l<x<3}

【分析】求出方程--2X-3=O的解后可求不等式的解集.

【解析】方程X2一2工一3=0的解为工=一1或x=3,

故不等式1—2x—3<0的解集为{刈-1<%<3},

故答案为：{x|7<x<3}.

11.(1)见解析

(2)见解析

【分析】(1)求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性；

(2)先根据题设条件将问题可转化成证明当时，尸-2x+l+lnx>0即可.

【解析】(1)/(x)定义域为(0,+00),f\)=--=—

xaxx

当时,广(用="二1<0,故〃*)在(0,*o)上单调递减;

x

当。>0时，时，八外>0，/(X)单调递增，

(1、

当xe0-时，/'(%)<0,7W单调递减.

ka)

综上所述，当。工0时，/⑴在(0,+8)上单调递减；

+8)上单调递增，在1、

a>0时，/(x)在0-上单调递减.

a)

(2)a<2,且x>l时，e'-1-f(x)=e'1-a(x-1)+Inx-1>ev-1-2x+1+Inx,

令g(x)=ex-'-2x+1+Inx(x>1),下证g(x)>0即可.

g\x)=e-l-2+-,再令方(x)=g'(x),则l(x)=ci—二，

XX

显然h'(x)在。,内)」:递增，则l(x)>/f(l)=e0-l=0,

即g'(x)=〃(x)在(l,+oo)上递增,

故g'(x)>g'(l)=e°-2+l=0,即g(x)在(1,XO)上单调递增，

故g(x)>g⑴=c°-2+l+lnl=0,问题得证

12.(1)极小值为0,无极大值.

⑵心-；

【分析】(1)求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值.

(2)求出函数的二阶导数，就-2<a<0、分类讨论后可得参数的取值范围.

22

【解析】(1)当。=—2时，/(x)=(l+2x)ln(l+x)-x,

故/'(x)=21n(l+x)+^^^-l=21n(l+x)-一—+1,

1+x1+x

因为y=21n(l+x),y=-」一+1在(-1,+8)上为增函数，

11X

故/(X)在(—1,+8)上为增函数，而/'⑼=0,

故当T<x<0时，当x>()时，/'«>0,

故/(工)在x=0处取极小值且极小值为/(o)=0,无极大值.

(2)//(.r)=-flln(l+.r)-haX-\=-aln(l0,

i殳s(x)——aIn(l+x)―,x>0,

,/、_-a("I)_4(x+l)+〃+l_ax+2(7+1

则S㈤一x+l(1+力2-(1+x)2_(l+x)2，

当时，s'(x)>0,故S(x)在(0,+8)上为增函数，

故s(x)>s(O)=O,Bp/(x)>0,

所以/(x)在［0,18)上为增函数，故/(x"/(O)=O.

当—<4<0时，当0<x<------时，<0,

2a7

故s(x)在(0,-"里)上为减函数，故在(0,-即里)上s(x)<s(O),

即在(0,-等)上/'(x)〈o即/⑴为减函数，

故在(0,-即里］上/(x)</(0)=0,不合题意，舍.

当a20,此时s'(x)<0在(0,+。)上恒成立，

同理可得在(0,+8)上/卜)</(0)=0恒成立，不合题意，舍；

综上，a^>――.

2

3,复数和平面向量

一、单选题

1.（2024•全国）若二一二l+i,贝ljz=（）

z-1

A.-1-iB.-l+iC.1-iD.1+i

2.（2024•全国）已知向量值=（0.1）3=（2,外,若5_L@-41）,则-=（）

A.-2B.-1C.1D.2

3.（2024•全国）已知z=-l-i,则|z|二（）

A.0B.1C.V2D.2

4.（2024•全国）已知向量满足,=1,3+2*2,且2））。，则B卜

B历

A.yc.8D.1

222

5.（2024・全国）设z=J5i，则z•5二（）

A.-iB.1C.-1D.2

6.（2024•全国）设z=5+i,则i（z+z）=（）

A.10iB.2iC.10D.-2

7.（2024•全国）已知向量a=（x+l,x）［=（x,2）,贝ij（）

A.“x=-3”是“£j_户的必要条件B.“工=-3”是“2/歹的必要条件

C.“x=0”是“的充分条件D.“x=T+石”是“2/宫”的充分条件

8.（2024•北京）已知：=i-l,则？=（）.

1

A.1-iB.-iC.-1-iD.1

9.（2024•北京）已知向星九人则“伍+5）仅一9=0”是5=族或£=1”的（）条件.

A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件

C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件

二、填空题

10.（2024・天津）已知i是虚数单位，复数（石+）（石-2i）=

11.（2024•天津）在边长为1的正方形力8C。中，点E为线段CO的三等分点，

1UUTUUTUUU'

CE=QDE,BE=^BA+〃BC,则％+〃=；若尸为线段上的动点，G为力产中点,

则AF-DG的最小值为.

12.（2024・上海）已知丘R,,=（2,5）,5=（6,R）,且1/而，则左的值为.

2

13.（2024・上海）已知虚数z,其实部为1,且z+—=加（〃蚱R）,则实数〃，为

Z

参考答案：

1.C

【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解.

【解析】因为‘T、="7—714-11=l+」17=l+i，所以z=l+1L"i.

z-1z-1z-\1

2.D

【分析】根据向量垂直的坐标运算可求r的值.

【解析】因为-所以"仅―4G）=0,

所以/一4工$=0即4+/-4X=0,故X=2,

3.C

【分析】由复数模的计算公式直接计算即可.

【解析】若2=-1-i,则目=/1）2+（_1）2=五.

4.B

【分析】由（B—2外出得片=21心结合,卜巾+2可=2,得1+4石+店=1+6片=4,

由此即可.得解.

【解析】因为R—23_1兀所以0-2£”=0,即片=2"，

又因为卜卜1,卜+2闸=2,

所以1+44.B+4斤=1+6月=4，

从而忖=孝.

5.D

【分析】先根据共扼复数的定义写出三，然后根据复数的乘法计算.

【解析】依题意得，；=心,故「=-2i?=2.

6.A

【分析】结合共挽复数与复数的基本运算直接求解.

【解析】由z=5+in三=5—i7+彳=10,则i仁+z）=IOi.

7.C

【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.

【解析】对A,当右时，则右=0，

所以x-（x+l）+2x=0,解得x=0或-3,即必要性不成立，故A错误；

对C,当x=0时，a==（0,2）,故7B=o，

所以Z_LB,即充分性成立，故C正确；

对B,当£〃5时，则2（x+l）=f,解得X=1±G，即必要性不成立，故B错误；

对D,当x=-l+百时，不满足2（x+l）=f,所以£〃分不成立，即充分性不立，故D错误.

8.C

【分析】直接根据复数乘法即可得到答案.

【解析】由题意得z=i（i-1）=-1,

9.A

【分析】根据向量数量积分析可知（不+3＞（1-彼）=0等价于同=问，结合充分、必要条件分

析判断.

【解析】因为伍+5）.（力）=-2孑=0,可得/=片,即同=同，

可知（不+孙e_8）=0等价于同二忖，

若或£=_九可得同=W，即伍+5）.（万＞）=0,可知必要性成立;

若（方+6）伞一6）=0,即同=W，无法得出£=B或£=一兀

例如1=(1,0),5=(0/)，满足同=W，但［/且］工―兀可知充分性不成立;

综上所述，肛倒-B)=o”是且力的必要不充分条件.

10.7-5/5i

【分析】借助复数的乘法运算法则计算即可得.

［解析］(x/5+i)-(>/5-2i)=5+^i-2x^+2=7-.

故答案为：7-x/5i.

45

11.--一

318

【分析】解法一：以｛函,3心｝为基底向量，根据向量的线性运算求乐，即可得义+〃，设

BF=kBE，求4EQG，结合数量积的运算律求酢•丽的最小值；解法二：建系标点，根

/\11UlUuuu

据向量的坐标运算求而，即可得4”,设厂(％3。)田€3，°，求“尸,。G，结合数量积

的坐标运算求~AF-DG的最小值.

Iuur2uwUJTuiiruuriuuruuur

【解析】解法一：因为CE=-OE,即。万=一84，贝ijB£=8C+C£=-8/l+8C,

233

I4

可得4=§，〃=1，所以4+〃=］；

由题意可知：|瑟卜|茄卜1,0•团=0,

因为歹为线段8E上的动点，设^^人出后二!&互5+A4乙Ac［0,l］,

则/二刀+而=而+*砺=(g左一1)BA+kRC,

则旃昉+前=_比+萍=叩+［*一时

又因为G为AF中点,

可得万•丽

乂因为％«0』］,可知：当女=1时，布加取到最小值-3；

1O

解法二：以4为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示,

则4(T0),8(0,0),c((M),o(TiI，

可得而=(-1,0),元=(O,l),而二(一,”,

因为丽=4函+〃胫=(—4〃)，则(一=-3,所以4+〃=；；

〃二1

因为点尸在线段8£:y=-3X,X€-1,0上，设厂(凡一?0),〃e-；,0

且G为力F中点，则G(?,j),

可得而=(。+1,-3力丽=(等”11

则"•丽=("1)+(一力5(a+-1--,

2V\2)[5)\0

且“W，所以当。=-!时，酢・万取到最小值为-3

J31o

12.15

【分析】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可.

【解析】:。//坂，.，.2"=5x6,解得4=15.

13.2

【分析】设z=l+6i,直接根据复数的除法运算，再根据复数分类即可得到答案.

【解析】设z=l+〃i,且小了0.

27b2+3(b3-b}.

Mz+rl+Z,i+-1=m.

b2+3

=m

\+b2

inGR,解得利=2,

b^-b

=0

\+b2

故答案为：2

4.数列

一、单选题

1.（2024•全国）等差数列｛%｝的前〃项和为S.，若Sg=l,/+%=（）

72

A.-2B.-C.1D.-

2.（202牛全国）等差数列｛4｝的前〃项和为S”，若$5=几，%=1,贝ijq=（）

7

A.-2B.-C.1D.2

二、填空题

3.（2024・全国）记S”为等差数列®｝的前〃项和，若％+4=7,3%+%=5,则

Sio=-

4.（2024•北京）已知历="&=&｝,%,“不为常数列且各项均不相同，下列正确的

是.

①为，2均为等差数列，则M中最多一个元素：

②为，包均为等比数列，则M中最多三个元素：

③。“为等差数列，4为等比数列，则M中最多三个元素；

④。“单调递增，以单调递减，则M中最多一个元素.

5.（2024•上海）无穷等比数列｛叫满足首项6>0,4>1,记/。=卜一），卜,），«囚,。2]3。"％+1]｝，

若对任意正整数〃集合/“是闭区间，则的取值范围是.

三、解答题

6.（2024•全国）设加为正整数，数列％,出，…，”.+2是公差不为0的等差数列，若从中删去

两项《和%（，・<_/）后剩余的4〃?项可被平均分为机组，且每组的4个数都能构成等差数列，

则称数列%吗,…，/叱2是（M）一可分数列.

⑴写出所有的亿））,13<，46,使数列小生，.…牝是亿力一可分数列：

⑵当〃吐3时，证明：数列。2,…，％+2是(2,13)-可分数列；

(3)从1,2,...,4m+2中一次任取两个数i和；(/<j),记数列％用，…,。+2是(，'，/)-可分数列的

概率为匕，证明：匕》"

O

7.(2024•全国)已知双曲线。：/一/=加(〃?>0),点分5,4)在。上，％为常数，OvCvl.按

照如下方式依次构造点勺(〃=2,3,...),过2T作斜率为k口勺直线与C的左支交于点Qz，令E

为关于y轴的对称点，记匕的坐标为(X”,以).

(I)若衣=~>求超，y2；

乙1

(2)证明：数列门“一以｝是公比为界的等比数列；

1—K

(3)设S”为AEE+M+2的面积，证明：对任意的正整数〃,SN=SN.

8.(2024•全国)已知等比数列｛《｝的前〃项和为S“，且2s,=36用-3.

(I)求｛牝｝的通项公式；

(2)求数列｛S“｝的通项公式.

9.(2024・全国)记g为数列｛〃“｝的前〃项和，且4S“=3%+4.

(1)求｛o”｝的通项公式；

(2)设“=(-1严〃%，求数列也｝的前〃项和为看.

10.(2024♦北京)设集合M={(jj,s,小w{l,2}Je{3,4},sw{5,6},/w{7,8},2|(i+/+s+/)}.对

于给定有穷数列力：｛叫（1。48）,及序列叫=&/,鼻，4）eM,定义变

换人将数列A的第/；",$"项加1,得到数列4（4）；将数列1（㈤的第邑人次，G列加1，得

到数列以（力）…；重复上述操作，得到数列4…也⑷，记为。（力）.

（1）给定数列4132,4,6,3,1,9和序列C:（l,3,5,7）,（2,4,6,8）（1,3,5,7）,写出C（4）；

⑵是否存在序列C,使得Q（力）为％+2,%+6吗+4M#2,牝+8,4+2,%+4M8+4,若存在,

写出一个符合条件的O：若不存在，请说明理由；

（3）若数列A的各项均为正整数，且勺+%+%+%为偶数，证明；”存在疗列C，使得。（/）

为常数列”的充要条件为“％+a2=%+4=%+4=%+

11.（2024•天津）已知数列也,｝是公比大于0的等比数歹U.其前〃项和为S”.若4=1,

（1）求数列｛%｝前〃项和5“；

⑵设“=：'”"：；,"=1,其中左是大于1的正整数.

（i）当〃=&+i时,求证：如之勺也;

（ii）求之”.

/=!

参考答案:

1.D

【分析】可以根据等差数列的基本量，即将题FI条件全转化成6和d来处理，亦可用等差数

列的性质进行处理，或者特殊值法处理.

【解析】方法一：利用等差数列的基本量

9x8

由、=1,根据等差数列的求和公式，+d=lo9q+364=1,

2

22

又小+%=q+2d+q+6d=2q+8"=§(9q+36d)=—.

方法二：利用等差数列的性质

根据等差数列的性质，由Sg=l,根据等差数列的求和公式,

9(。+旬)9(%+%)

故“％+生=§2•

-2---2-

方法三：特殊值法

12

不妨取等差数列公差4=0,则59=1=94]=%=§,则/+%=2《=§.

2.B

【分析】由$5=品结合等差中项的性质可得仆=0,即可计算出公差，即可得4的值.

【解析】由50-55=4十%+。8+49十％0=5。3=0,则6=0,

则等差数列｛4｝的公差”=色9=一；，故6=%-44=1—4x(

JJ'J/J

3.95

【分析】利用等差数列通项公式得到方程组，解出再利用等差数列的求和公式节即

可得到答案.

【解析】因为数列见为等差数列，则由题意得J,上型＜，解得',，

3(%+4)+%+4"=5[d=3

10x9

则品=10%+=—d=10x(-4)+45x3=95.

4.①③④

【分析】利用两类数列的敌点图的特征可判断①④的正误，利用反例可判断②的正误，结合

通项公式的特征及反证法可判断③的正误.

【解析】对于①，因为｛?｝,｛4｝均为等差数列，故它们的散点图分布在宜线上，

而两条直线至多有一个公共点，故”中至多一个元素，故①正确.

对于②,取q=2"T也=-(-2广,则｛%｝,｛4｝均为等比数列,

但当〃为偶数时，有%=2"7="=-(-2广，此时M中有无穷多个元素，

故②错误.

对于③，设，=阳"(阳W±l),4.+wO),

若M中至少四个元素，则关于〃的方程4/"=左〃+。至少有4个不同的正数解，

若g>O,qwl,则由夕=附”和y=&〃+b的散点图可得关于〃的方程/+b至多有两个

不同的解，矛盾；

若夕<0,夕*±1,考虑关于〃的方程//=5+方奇数解的个数和偶数解的个数，

当Aq''=kn+b有偶数解，此方程即为川/=的+力，

方程至多有两个偶数解，且有两个偶数解时Ak\n\q\>0,

否则Ak\n\q\<Ot因y=川//=加+6单调性相反,

方程川同”=加+6至多一个偶数解，

当=6+6有奇数解，此方程即为一川夕『=kn+b,

方程至多有两个奇数解，且有两个奇数解时一*ln》|>0即4In|^|<0

否则AkIn|^|>0,因尸-川心=M+b单调性相反，

方程力同"=£〃+6至多一个奇数解，

因为*1川司>0,*ln9|<0不可能同时成立，

故Aqn=kn+力不可能有4个不同的正数解，故③正确.

对于④，因为｛〃“｝为单调递增，｛"｝为递减数列，前者放点图呈上升趋势，

后者的散点图呈下降趋势，两者至多一个交点，故④正确.

5.q>2

【分析】当〃22时，不妨设xNy,则x-yw[O,生一结

合/“为闭区间可得夕-22-^下对任意的〃22恒成立，故可求q的取值范围.

【解析】由题设有。”=%尸，因为6>0国>1,故。T>%,故[凡此+1]=[4，1,。”[，

当〃=1时，肛)，Uq,4]，故—)，<=[〃]一〃2，〃2-"]，此时1为闭区间，

当〃之2时，不妨设xNy,若则x-ye[0«2-。』，

若)，«%,生]户6&,%+1，则”-)，E&-。2吗+「。』’

若x,yw值,4+J,则x-ye[^an+i-an],

综上，x-y«0M2-6]U[q,-%，-

又/“为闭区间等价于[0,生一一心，一。J=[°，。用一见]为闭区间，

而M+i>%+「%>%-《，故。川一凡之册一。2对任意〃22恒成立,

故。”+1-2〃“+生20即。网"'(^-2)+«2>0,故q"~~(^-2)+1>0,

故q-?N--二对任意的〃N2恒成立，因，/>1,

q'

故当〃->+8时，j->0,故g_2NO即gN2.

q

6.(1)(1,2),(1,6),(5,6)

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】(1)直接根据亿力-可分数列的定义即可:

(2)根据(3)-可分数列的定义即可验证结论；

(3)证明使得原数列是(。)-可分数列的(。)至少有(〃?+1)2-〃?个，再使用概率的定义.

【解析】(1)首先，我们设数列入。2,…，巴7的公差为〃，则丘0.

由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列，当且仅当该数列是等差数

列,

故我们可以对该数列进行适当的变形4=%马+1（攵=1，2，-，4，〃+2），

得到新数列4=攵（〃=1,2,...,4加+2）,然后对.，必+2进行相应的讨论即可.

换言之，我们可以不妨设4=〃（"=1,2,...,4〃?+2）,此后的讨论均建立在该假设下进行.

问到原题，第1小问相当于从L2,3,4,5,6中取出两个数i和/•（，</）,使得剩下四个数是等差

数列.

那么剩下四个数只可能是1,2,3,4,或2,3,4,5,或3,4,5,6.

所以所有可能的（盯）就是（1,2）,（1,6）,（5,6）.

（2）由于从数列1,2,...,4川+2中取出2和13后，剩余的4〃?个数可以分为以下两个部分，共

机组，使得每组成等差数列：

①{1,4,7,10},{3,6,9,12},{5,8,11,14},共3组；

②{15,16,17,18},{19,20,21、22},...,{4〃?一1,4m,4相+1,46+2},共〃「3组.

（如果加-3=0,则忽略②）

故数列1,2,...,痴+2是（2,13）一可分数列.

（3）定义集合力={4%+1|左=0,1,2〉..,〃“={1,5,9』3,…,4加+1},

B={软+2K=0,1,2,...,w}={2,6,10,14,...,4w+2）.

下面证明，对lKi</K4m+2,如果下面两个命题同时成立，

则数列12...,4〃?+2一定是（力）-可分数列：

命题1：f€力,/€3或i€B,./€力：

命题2：j-i^3.

我们分两种情况证明这个结论.

第一种情况：如果且_/—工3.

此时设i=4占+1,j=4k2+2,&],内£{0,1,2,...,〃”.

则由•可知44+1<4片2+2,即刈一尢>一5，故左2之片.

此时，由于从数列+2中取出i=他+1和/=*+2后,

剩余的4〃?个数可以分为以卜.三个部分，共机组，使得每组成等差数列:

①{1,2,3,4},{5,6,7,8},...,{轶「3,44—2,他—1,他},共匕组;

②

{4勺+2,4勺+3,4勺+4,4勺+5},{4勺+6,4用+7,4勺