9类导数新定义压轴（原卷版）

2 2 8 9 11 15 17 191、函数与导数新定义问题主要分两类：一是概念新定义型，主要是以函数新概念为背景，通常考查考生对函数新概念的理解，涉及函数的三要素的理解；二是性质新定义型，主要是以函数新性质为背景，重点考查考生灵活应用函数性质的能力，涉及函数的各种相关性质的拓展延伸.2、设P(x1,y1),Q(x2,y2)为平面上两点，则定义x2-x1+y2-y1为“折线距离”“直角距离”或“曼哈顿距离”，记作d(P,Q)=x2-x1+y2-y1.结论1：设点P(x0,y0)为直线l:Ax+By+C=0外一定点，Q为直线l上的动点，则结论2：设点P为直线Ax+By+C1=0上的动点，点Q为直线Ax+By+C2=0上的动点，则①圆C与曲线Γ有公共点A，且圆心在曲线Γ凹的一侧；②圆C与曲线Γ在点A处有相同的切线；③曲线Γ的导函数在点A处的导数（即曲线Γ的二阶导数）等于圆C在点A处的二阶导数（已知圆(x-a)2+(y-b)2=r2在点A(x0,y0)处的二阶导数等于；则称圆C为曲线Γ在A点处的曲率圆，其半径r称为曲率半径.(1)求抛物线y=x2在原点的曲率圆的方程；(2)求曲线y=的曲率半径的最小值；(3)若曲线y=ex在(x1,exx2,exx1≠x2)处有相同的曲率半径，求证：x1+x2<-ln2.【典例1-2】有一种速度叫“中国速度”，“中国速度”正在刷新世界对中国高铁的认知．由于地形等原因，在修建高铁、公路、桥隧等基建中，我们常用曲线的曲率（Curvature）来刻画路线弯曲度．如图所示的光滑曲线C上的曲线段AB，设其弧长为Δs，曲线C在A，B两点处的切线分别为lA,lB，记lA,lB的夹角为C:y=f(x)在其上一点A(x,y)处的曲率其中f,(x)为f(x)的导函数，f,,(x)为f,(x)的导函数）若f=sin(2)记圆x2+y2=2025上圆心角为的圆弧的平均曲率为a.①求a的值；②设函数g(x)=ln(x+45a)-xex-1，若方程g(x)=m(m>0)有两个不相等的实数根x1,x2，证明：x2-x1，其中e为自然对数的底数，e=2.71828….【变式1-1】定义：若h,(x)是h(x)的导数，h,,(x)是h,(x)的导数，则曲线y=h(x)在点(x,h(x))处的曲率(1)求实数a的值；(2)对任意恒成立，求实数m的取值范围；(3)设方程f(x)=g,(x)在区间内的根为x1,x2,…,xn，…比较xn+1与xn+2π的大小，并证明.闭幕.会展展出了国产全球首架电动垂直起降载人飞碟.观察它的外观造型，我们会被其优美的曲线折服.现代产品外观特别讲究线条感，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度.考察如图所示的光滑曲线C:y=f(x)上的曲线段AB，其弧长为Δs，当动点从A沿曲线段AB运动到B点时，A点的切线lA也随着转动到B点的切线lB，记这两条切线之间的夹角为Δθ（它等于lB的倾斜角与lA的倾斜角之差）.显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段AB的平均曲率；显然当B越接近A，即Δs越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义若极限存在）为曲线C在点A处的曲率.（其中y,，y,分别表示y=f(x)在点A处的一阶、二阶导数）(1)已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点到准线的距离为3，则在该抛物线上点(3,y)处的曲率是多少？(3)若动点A的切线沿曲线f(x)=2x2-8运动至点B(xn,f(xn))处的切线，点B的切线与x轴的交点为(xn+1,0)*nn-2，Tn是数列{bn}的前n项和，证明Tn<3.(x2,y2)，那么称d(A,B)=x1-x2+y1-y2为A，B两点间的曼哈顿距离.(1)已知点N1，N2分别在直线x-2y=0，2x-y=0上，点M(0,2)与点N1，N2的曼哈顿距离分别为d(M,N1)，d(M,N2)，求d(M,N1)和d(M,N2)的最小值；(2)已知点N是直线x+k2y+2k+1=0(k>0)上的动点，点M(0,2)与点N的曼哈顿距离d(M,N)的最小值记为f(k)，求f(k)的最大值；f(m,n)，求f(m,n)的最小值.张距离，它由n个绝对值之和组成，其中n为正整数.如：M(2,6)=2x-1+2x-2+2x-3+2x-4+2x-5+2x-6夫斯基提出来的．如图是抽象的城市路网，其中线段AB是欧式空间中定义的两点最短距离，但在城市路网中，我们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过，所以在“曼哈顿几何”中，这两点最短距离用B(x2,y2)，则d(A,B)=x(1)①点A(3,5)，B(2,-1)，求d(②求圆心在原点，半径为1的“曼哈顿单位圆”方程.)，直线2x-y+2=0，求B点到直线的“曼哈顿距离”最小值；的平均值即d，求d最大值，并列举最值成立时的一组坐标.(1)求函数y=cosh(2x)+sinh(x)的最小值；(2)若函数f(x)=log9cosh(2x)-asinh(x)在R上的最小值为-1，求正实数a的值；(3)求证：对任意实数k，关于x的方程=kx+总有实根.线.1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程y=，其中c为参数.当c=1时，就是双曲余弦函数coshx=类似地我们可以定义双曲正弦函数sinhx=它们与正、余弦函数有许多类似的性质.(1)类比正弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数的一个正确的结论:sinh2x=.（只写出即可，不要求证明试比较cosh(sinx)与sinh(cosx)的大小关系，并证明你的结论.【变式3-1】（2024·上海宝山·模拟预测）在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦：sinh双曲余弦函数：cosh是自然对数的底数）.（2）写出双曲正弦与两角和的正弦公式类似的展开式：sinh(x+y)=，并证明；（3）无穷数列{an}，a1=a，an+1=2a-1，是否存在实数a，使得a2021=若存在，求出a的值，若不存在，说明理由.【典例4-1】（2024·江苏苏州·模拟预测）定义：函数f(x)的导函数为f,(x)，我们称函数f,(x)的导函数（2）已知定义在R上的函数g(x)满足：对任意R，g,,(x)>0恒成立.P为曲线y=g(x)上的任意一点.求证：除点P外，曲线y=g(x)上每一点都在点P处切线的上方；（3）试给出一个实数a的值，使得曲线y=p(x)与曲线y=q(x)有且仅有一条公切线，并证明你的结论.【典例4-2】记f,(x)=(f,(x)),，f,(x)为f(x)的导函数．若对x∈D，f,,(x)>0，则称函数y=f(x)为D上的“凸函数”．已知函数=ex-x3-ax2-1，a∈R.（1）若函数f(x)为R上的凸函数，求a的取值范围；（2）若函数y=f(x)-x在(1,+∞)上有极值，求a的取值范围.,【变式4-1】设g,(x)为g(x)的导函数，若g,(x)是定义域为D的增函数，则称g(x)为D上的“凹函数”已知函数f(x)=xex+ax2+a为R上的凹函数.,(1)求a的取值范围；证明：fx2+x+上具有性质M.①y=f(x)在D上的导数f,(x)存在；②y=f,(x)在D上的导数f,,(x)存在，且f,,(x)>0（其中f,,(x)=f,(x),）恒成立.(1)判断函数y=lg在区间(0,+∞)上是否具有性质M？并说明理由.(2)设a、b均为实常数，若奇函数=2x3+ax2+在x=1处取得极值，是否存在实数c，使得y=g(x)在区间[c,+∞)上具有性质M？若存在，求出c的取值范围；若不存在，请说明理由.合A中的任意一个有序实数对(x,y)，按照某种确定的关系f，在B中都有唯一确定的数z和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个二元函数，记作z=f(x,y),(x,y)∈A，其中A称为二元函数f的定义域.f=2,x1x2+y1y2=1，求f在D上沿u方向单调递增.已知f(x,y)=ex+y+ex-y,x∈R,y∈R.请问f在{(x,y)∣x,y∈R}上沿向量(1,1)方向单调递增吗？为什么？(3)设二元函数f的定义域为D，如果存在实数M满足：0,y0)∈D，使得f(x0,y0)=M.那么，我们称M是二元函数f的最小值.求f(x,y)=y+sin2x+cos2x,的最大值.f(x,y)在约束条件g(x,y)的可能极值点，首先构造出一个拉格朗日辅助函数L(x,y,λ)=f(x,y)+λg(x,y)，其中λ为拉格朗日系数．分别对L(x,y,λ)中的x,y,λ部分求导，并使之为0，得到三个方程组，如下：(x,y)g(x,y)的可能极值点．x,y的值代入到f(x,y)中即为极值.补充说明：【例】求函数f(x,y)=x2+xy+y2关于变量x的导数．即：将变量y当做常数，即：fx(x,y)=2x+y，下标加上x，代表对自变量x进行求导．即拉格朗日乘数法方程组之中的Lx,Ly,Lλ表示分别对x,y,λ进行求导.(1)求函数f(x,y)=x2y2+2xy+xy2关于变量y的导数并求当x=1处的导数值.(2)利用拉格朗日乘数法求：设实数x,y满足g(x,y)=4x2+y2+xy-1=0，求f(x,y)=2x+y的最大值.(3)①若x,y,z为实数，且x+y+z=1，证明：x2+y2+z2≥②设a>b>c>0，求2a2+-10ac+25c2的最小值.【变式5-1】（2024·全国·模拟预变量z按照一定的规律f，总有唯一确定的x，y与之对应，则称变量z为变量x，y的二元函数，记作z=f(x,y)．已知二元函数=2x+y若xy>0，求f的最小值.(2)对任意实数x，不等式f(x,a)+f(x,2a)≥a恒成立，求实数a的取值范围.【典例6-1】若两个函数y=f(x)与y=g(x)在x=x0处有相同的切线，则称这两个函数相切，切点为x0,f(x0)).(1)判断函数y=sinx与y=x是否相切；两个公共点；【典例6-2】对给定的在定义域内连续且存在导函数的函数f(x)，若对在f(x)定义域内的给定常数a，存在数列{an}满足a1在f(x)的定义域内且a1>a，且对n≥2,n∈N*,y=f(x)在区间(a,an-1)的图象上有且仅有在x=an一个点处的切线平行于(a,f(a))和(an-1,f(an-1))的连线，则称数列{an}为函数f(x)的“a关联切线伴随数列”.(1)若函数f(x)=x2，证明：a∈R,f(x)都存在“a关联切线伴随数列”；公式；(3)若函数h(x)=mx3+6sinx，数列{【变式6-1】（2024·广西·二模）定义：若函数f(x)图象上恰好存在相异的两点P,在P和Q处的切线重合，则称P,Q为曲线y=f(x)的“双重切点”，直线PQ为曲线y=f(x)的“双重切直线y=x-是否为曲线x2-2x+2lnx的“双重切线”，请说明理由；(3)已知函数h(x)=cosx，直线PQ为曲线y=h(x)的“双重切线”，记直线PQ的斜率域上近似求解方程的方法．比如，我们可以先猜想某个方程f(x)=0的其中一个根r在x=x0的附近，如图所示，然后在点(x0,f(x0))处作f(x)的切线，切线与x轴交点的横坐标就是x1，用x1代替x0重复上面的过程得到x2；一直继续下去，得到x0，x1，x2，……，xn．从图形上我们可以看到x1较x0接近r，x2较x1接近r，等等．显然，它们会越来越逼近r．于是，求r近似解的过程转化为求xn，若设精度为ε，则把首次满足xn-xn-1<ε的xn称为r的近似解．(1)当a=1时，试用牛顿迭代法求方程f(x)=0满足精度ε=0.5的近似解（取x0=-1，且结果保留小数点后第二位(2)若f(x)-x3+x2lnx≥0，求a的取值范围．【典例7-1】（2024·湖南长沙·二模）极值的广义定义如下：如果一个函数在一点的的开区间）内处处都有确定的值，而以该点处的值为最大（小这函数在该点处的值就是一个极大（小）值.对于函数y=f(x)，设自变量x从x0变化到x0+Δx，当Δx>0，是一个确定的值，则称函数y=f(x)在点x0处右可导；当Δx<0，是一个确定的值，则称函数y=f(x)在点x0处左可导.当函数y=f(x)在点x0处既右可导也左可导且导数值相等，则称函数y=f(x)在点x0处可导.(1)请举出一个例子，说明该函数在某点处不可导，但是该点是该函数的极值点；(2)已知函数f(x)=x2eax+1-x3sinx-ex2.(ⅰ)求函数g(x)=eax+1-xsinx-e在x=0处的切线方程；(ⅱ)若x=0为f(x)的极小值点，求a的取值范围.f(x1)=f(x2)，且f(x)在点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))处的切线斜率相同，则称f(x)为“切合函数”(1)证明：f(x)=x3-2x为“切合函数”；(2)若g(x)=xlnx-x2+ax为“切合函数”，并设满足条件的两个数为x1,x2.2n-1恒成立，则称函数y=f(x),x∈D是“绝对差有界函数”x1-x2f(x1)-fx1-x2恒成立，求证：函数y=f(x),x∈[a,b]为“绝对差有界函数”数y=f(x)满足以下①②两个性质中的任意一个时，则称区间I是y=f(x)的一个“美好区间”.性质①：对于任意x∈I，都有f(x0)∈I；性质②：对于任意x∈I，都有f(x0)∈I.说明理由；已知fx3-x2-3x+12且m>0，若区间[0,m]是函数y=f(x)的一个“美好区间”，求实数m的取值范围；(3)已知函数y=f(x)的定义域为R，其图像是一条连续不断的曲线，且对于任意a<b，都有f(a)-f(b)>b-a．求证：函数y=f(x)存在“美好区间”，且存在x0∈R，使得x0不属于函数y=f(x)的任意一个“美好区间”.x0∈R，满足f(x0)=g(x0)且f,(x0)=g,(x0)，则称x0为函数f(x)与g(x)的一个“S点”.（1）证明：函数f(x)=x与g(x)=x2+2x-2（2）若函数f(x)=ax2-1与g(x)=lnx存在“S点”，求实数a的值.【典例8-2】对于函数f（x若存在实数x0满足f(x0)=x0，则称x0为函数f（x）的一个不动点.已知函数（ii）若存在x0既是f（x）的极值点，又是f（x）的不动点，求b的值：(2)若f（x）有两个相异的极值点x1，x2，试问：是否存在a，b使得x1，x2均为f（x）的不动点？证明你的结论.【变式8-1】记y=f,(x)，y=g,(x)分别为函数y=f(x)，y=g(x)的导函数．若存在x0∈R，满足f(x0)=g(x0)且f,(x0)=g,(x0)，则称x0为函数y=f(x)与y=g(x)的一个“好点”.(1)判断函数f(x)=x与g(x)=x2-x+1是否存在“好点”，若存在，求出“好点”；若不存在，请说明珵由；(2)若函数f(x)=ax3-1与g(x)=lnx存在“好点”，求实数a的值；【变式8-2】给出定义：设f,(x)是函数y=f(x)的导函数，f,,(x)是函数f,(x)的导函数，若方程f,,(x)=0有实数解x=x0，则称(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.经研究发现所有的三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)都有“拐点”，且该“拐点”也是函数y=f(x)图象的对称中心.(1)若函数f(x)=x3+3x2-9x-1，求函数f(x)图象的对称中心；<x2)，求证：0<x1<<x2.【变式8-3】（2024·河南·三模）设函数f(x)的导函数为f,(x),f,(x)的导函数为f,,(x),f,,(x)的导函数为f,(x).若f,,(x0)=0，且f,(x0)≠0，则(x0,f(x0))为曲线y=f(x)的拐点.(1)判断曲线y=x6是否有拐点，并说明理由；(2)已知函数=ax5-5x3，若为曲线y=f(x)的一个拐点，求f(x)的单调区间与极值.【典例9-1】定义：函数m(x)，n(x)的定义域的交集为D，A≤D，若对任意的x0∈A，都存在x1,x2∈D，使得x1，x0，x2成等比数列，m(x1)，n(x0)，m(x2)成等差数列，那么我们称m(x)，n(x)为一对“K函(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间；求证：f【典例9-2】（2024·山东·模拟预测）如果h(x)是定义在区间D上的函数，且同时满足：①h,(x)h(x)>0；②h,(x)与h(x)的单调性相同，则称函数h(x)在区间D上是“链式函数”.已知函数=ex--x-1，（1）判断函数f(x)与g(x)在(0,+∞)上是否是“链式函数”，并说明理由；xf(s+t)>f(s)+f(t)恒成立，则称函数y=f(x)为“Σ增函数”.(1)求证：函数y=sinx不是“Σ增函数”；(2)若函数y=2x-1-x-a是“Σ增函数”，求实数a的取值范围；(3)设g(x)=exln(1+x)，若曲线y=g(x)在x=x0处的切线方程为(1)若f(x)在其定义域内是增函数，求a的取值范围；(2)定义：若f(x)在其定义域内单调递增，且f(x)+g(x)在其定义域内也单调递增，则称g(x)为f(x)的“协同增函数”.已知函数g(x)=4x3-18ax2+12(2-a)x，若g(x)是f(x)的“协同增函数”，求a的取值范围.|f(x)-l0(x)|，则称l0(x)为函数f(x)在x∈[a,b]上“最接近”直线．已知函数222024·高三·浙江宁波·期末）在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲线C：y=f(x)上的曲线段，其弧长为Δs，当动点从A沿曲线段AB运动到B点时，A点的切线lA也随着转动到B点的切线lB，记这两条切线之间的夹角为Δθ（它等于lB的倾斜角与lA的倾斜角之差显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当B越接近A，即Δs越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义若极限存在）为曲线C在点A处的曲率其中yy分别表示y=f(x)在点A处的一阶、二阶导数）(1)求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率；(2)求椭圆+y2=1在处的曲率；为曲线y=f(x)的“柯西曲率”．已知在曲线f(x)=xlnx-2x上存在两点x23Px1,f(x1))和Q(x2,f(x2))，且P，Q处的“柯西曲率”相同，求+x23的取值范围.线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若f,(x)是f(x)的导函数，(2)求余弦曲线h(x)=cosx(x∈R)曲率K2的最大值；4．已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f,(x)，若f,(x)≤1对任意x∈R恒成立，则称函数f(x)为“线性控制函数”.(1)判断函数f(x)=sinx和g(x)=ex是否为“线性控制函数”，并说明理由；(2)若函数f(x)为“线性控制函数”，且f(x)在R上严格增，设A、B为函数f(x)图像上互异的两点，设直线AB的斜率为k，判断命题“0<k≤1”的真假，并说明理由；(3)若函数f(x)为“线性控制函数”，且f(x)是以T(T>0)为周期的周期函数，证明：对任意x1,x2都有f(x1)-f(x2)≤T.f(x1)-f(x2)≤(x1+1)k-(x2+1)k，则称函数y=f(x)为L(k)函数.(0,1)上仅存在一个极值点，分别记f(x)max、f(x)min为函数y=f(x)的最大、小值，求f(x)max-f(x)min的取值范围；g(x)-g(y)≤M，记M的最小值为M(a)，求a的取值范围及M(a)关于a的表达式.62024·上海奉贤·二模）设函数y=f(x)的定义域是R，它使得f(x+m)=-f,(x)对一切x恒成立，那么称函数y=f(x)具有性质P(m).(1)求证：函数y=ex不具有性质P(m)；(2)判别函数y=sinx是否具有性质P(m)．若具有求出m的取值集合；若不具有请说明理由.(2)设定义在I上的函数y=h(x)在点P(x0,y0)处的切线方程为y=l(x)，对任意x≠x0，若所有“好点”的横坐标（结果用k表示）.8．对于定义在D上的函数f(x)，其导函数为f,(x)．若存在k∈D，使得f,(k)=f(k)，且x=k是函数f(x)的极值点，则称函数f(x)为“极致k函数”.①若f(x)是单调函数，求实数a的取值范围；②证明：函数f(x)不是“极致0函数”.9．曲线的曲率定义如下：若f'(x)是f(x)的导函数，f"(x)是f'(x)的导函数，则曲线y=f(x)在点(x,f(x))处的曲率已知函数f(x)=excosx，g(x)=acosx+x(a<0)，曲线点(0,g(0))处的曲率为4（1）求实数a的值；（2）对任意的恒成立，求实数t的取值范围；（3）设方程f(x)=g,(x)在区间内的根从小到大依次为x1,x2,…,xn,…，求证：xn+1-xn>2π.102024·湖南永州·三模）曲线的曲率定义如下：若f’(x)是f(x)的导函数，令φ(x)=f’(x)，则曲线y=f(x)在点(x,f(x))处的曲率已知函数且f(x)在点(0,f(0))处的曲率.2112024·江苏淮安·三模）定义可导函数y=f(x)在x处的弹性函数为，其中f’为f的导函数．在区间D上，若函数f(x)的弹性函数值大于1，则称f(x)在区间D上具有弹性，相应的区间D也称作f(x)的弹性区间.（1）若r(x)=ex-x+1，求r(x)的弹性函数及弹性函数的零点；（2）对于函数f(x)=(x-1)ex+lnx-tx（其中e为自然对数的底数）f(x)的弹性区间D；(ⅱ)若f(x)>1在（i）中的区间D上恒成立，求实数t的取值范围.（1）求函数f(x)的图象在x=e（e为自然对数的底数）处的切线方程；（2）若对任意的x∈D，均有m(x)≤n(x)，则称m(x)为n(x)在区间D上的下界函数，n(x)为m(x)在区间D上的上界函数.,求证：g为f在上的上界函数；为f在上的下界函数，求实数k的取值范围.132024·高三·全国·课后作业）设f(x)是定义在区间(1，+∞)上的函数，其导函数为f'(x).如果存在实数a和函数h(x)，其中h(x)对任意的x∈(1，+∞)都有h(x)>0，使得f'(x)=h(x)(x2-ax+1)，则称函数f(x)具有性质P(a).(1)设函数=lnx+，其中b为实数.①求证：函数f(x)具有性质P(a).②求函数f(x)的单调区间.(2)已知函数g(x)具有性质P(2)，给定x1，x2∈(1，+∞)，x1<x2.设m为实数，(1-m)x2,β=(1-m)x2+mx2，且α>1,β>1.若g(α)-g(β)<g(x1)-g(x2),求实数m的取值范围x（2）设y=t(x)可求导数，且它的导函数t'(x)仍可求导数，则t'(x)再次求导所得函数称为原函数y=t(x)的二阶函数，记为t''(x)，利用二阶导函数可以判断一个函数的凹凸性．一个二阶可导的函数在区间[a,b]上是凸函数的充要条件是这个函数在(a,b)的二阶导函数非负.若不是凸函数，求a的取值范围.15．已知函数f(x)=x2-(a+2)x+alnx，其中实数a>0.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)设定义在D上的函数y=h(x)在点P(x0,h(x0))处的切线的方程为y=g(x)，0在D内恒成立，则称P为y=h(x)的“类对称点”当a=4时，试问y=f(x)是否存在“类对称点”？若存在，请至少求出一个“类对称点”的横坐标；若不存在，请说明理由.16．曲率是曲线的重要性质，表征了曲线的“弯曲程度”，曲线曲率解释为曲线某点切线方向对弧长的转动f,为f(x)的导函数，f,,(x)为f,(x)的导函数，已知f=x2lnx-(1)a=0时，求f(x)在极值点处的曲率；(2)a>0时，f,(x)是否存在极值点，如存在，求出其极值点处的曲率； x12xe17．用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇，衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若f,(x)是f(x)的导函数，f,,(x)是f,(x)的导函数，(2)求余弦曲线h(x)=cosx(x∈R)曲率K2的最大(3)余弦曲线h(x)=cosx(x∈R)，若g(x)=exh(x)+xh,(x)，判断g(x)在区间上零点的个出证明过程.18．对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)．定义：①f(x)的导数为f,(x)，f,(x)的导数为f,,(x)，若方程f,,(x)=0有实数解x0，则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”；②设x0为常数，若定义在R上的函数y=f(x)对于定义域内的一切实数x，都有f(x0+x)+f(x0-x)=2f(x0)恒成立，则函数y=f(x)的图象关于点(x0,f(x0))对称.(1)已知f(x)=x3-3x2+2x+2，求函数f(x)的“拐点”A的坐标；(2)检验（1）中的函数f(x)的图象是否关于“拐点”A对称.19．一般地，设函数f(x)在区间[a，b]上成n个小区间．每个小区间长度为Δx(Δx=xi-xi-1)．在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点ξi(i=1,2,…,n)作和数S，那么称该常数S为函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记为S=dx．当f≥0时，定积分 的几何意义表示由曲线y=f(x)，两条直线x=a,x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积．如下图如果函数f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F,，那么dx=F求(2)设函数f(x)=ln(x+1),g(x)=x.f,(x)(x≥0).①若f(x)≥mg(