9类导数新定义压轴（解析版）

2 14 40 1、函数与导数新定义问题主要分两类：一是概念新定义型，主要是以函数新概念为背景，通常考查考生对函数新概念的理解，涉及函数的三要素的理解；二是性质新定义型，主要是以函数新性质为背景，重点考查考生灵活应用函数性质的能力，涉及函数的各种相关性质的拓展延伸.2、设P(x1,y1),Q(x2,y2)为平面上两点，则定义x2-x1+y2-y1为“折线距离”“直角距离”或“曼哈顿距离”，记作d(P,Q)=x2-x1+y2-y1.结论1：设点P(x0,y0)为直线l:Ax+By+C=0外一定点，Q为直线l上的动点，则结论2：设点P为直线Ax+By+C1=0上的动点，点Q为直线Ax+By+C2=0上的动点，则①圆C与曲线Γ有公共点A，且圆心在曲线Γ凹的一侧；②圆C与曲线Γ在点A处有相同的切线；(x-a)2+(y-b)2=r2在点A(x0,y0)处的二阶导数等于；则称圆C为曲线Γ在A点处的曲率圆，其半径r称为曲率半径.(1)求抛物线y=x2在原点的曲率圆的方程；(2)求曲线的曲率半径的最小值；(3)若曲线y=ex在(x1,exx2,ex(x1≠x2)处有相同的曲率半径，求证：x1+x2<-ln2.记f(x)=x2，设抛物线y=x2在原点的曲率圆的方程为x2+(y-b)2=b2，其中b为曲率半径.则f,(x)=2x，f,,(x)=2，故2=f,,即，所以抛物线y=x2在原点的曲率圆的方程为（2）设曲线y=f(x)在(x0,y0)的曲率半径为r．则0,y03-x+)所以解方程可得xx2法二：函数y=ex的图象在(x,ex)处的曲率半径令t1221t23x3x3x 122(1)(1)22x1)x2.ex故G(x)单调递增，G(x)法四：函数y=ex的图象在(x,ex)处的曲率半径4x2x2x.+6e2x2e2x=2e2x(e2x+1)2(2e2x1)， 122所以x1,ln2x22故H(x)单调递增2【典例1-2】有一种速度叫“中国速度”，“中国速度”正在刷新世界对中国高铁的认知．由于地形等原因，在修建高铁、公路、桥隧等基建中，我们常用曲线的曲率（Curvature）来刻画路线弯曲度．如图所示的光滑曲线C上的曲线段AB，设其弧长为Δs，曲线C在A，B两点处的切线分别为lA,lB，记lA,lB的夹角为C:y=f(x)在其上一点A(x,y)处的曲率其中f,(x)为f(x)的导函数，f,,(x)为f,(x)的导函数）若f=sin(2)记圆x2+y2=2025上圆心角为的圆弧的平均曲率为a.x2x1，其中e为自然对数的底数，e=2.71828….【解析】（1）f(x)=sin(2x),f,(x)=2cos(2x),f,,(x)=一4sin(2x)，22弧的两端点处的切线对应的夹角Δθ=π,3所以该圆弧的平均曲率也即x1,x(1)所以3t∈|(2,1,使得g(t)=0，即g(x)的图象与x轴有且仅有两个交点(0,0),(t,0)，易得g(x)在(0,(1)在(t,0)处的切线方程为lt:y=下面证明两切线l0,lt的图象不在g(x)的图象的下方:t1,即g(x)的图象恒在其图象上的点(t,0)处的切线的下方(当且仅当x=t时重合).2设直线y=m(m>0)与两切线l0,l1交点的横坐标分别为X0,Xt，<Xt，t1,【变式1-1】定义：若h,(x)是h(x)的导数，h,,(x)是h,(x)的导数，则曲线y=h(x)在点(x,h(x))处的曲率(0,g(0))处的曲率为；(1)求实数a的值；并证明.xcosxsinx1≥0恒成立，n由已知方程f(x)=g,(x)可化为excosx-sinx-1=0，令φ(x)=excosx-sinx-1，则φ,(x)=ex(cosx-sinx)-cosx，所以φ,(x)<0，所以φ(x)在区间上单调递减， 2nπ+-1则φ(xn+1-2π)=ex-2πcos(xn+1-2π)-sin(xn+1-2π)-1x-2πcosxn+1-sinxn+1-1x-2πcosxn+1-excosxn+1exn+1-2π-exn)闭幕.会展展出了国产全球首架电动垂直起降载人飞碟.观察它的外观造型，我们会被其优美的曲线折服.现代产品外观特别讲究线条感，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度.考察如图所示的光滑曲线C:y=f(x)上的曲线段AB，其弧长为Δs，当动点从A沿曲线段AB运动到B点时，A点的切线lA也随着转动到B点的切线lB，记这两条切线之间的夹角为Δθ（它等于lB的倾斜角与lA的倾斜角之差）.显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段AB的平均曲率；显然当B越接近A，即Δs越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义若极限存在）为曲线C在点A处的曲率.（其中y,，y,,分别表示y=f(x)在点A处的一阶、二阶导数）(1)已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点到准线的距离为3，则在该抛物线上点(3,y)处的曲率是多少？(3)若动点A的切线沿曲线f(x)=2x2-8运动至点B(xn,f(xn))处的切线，点B的切线与x轴的交点为*n-2，Tn是数列{bn}的前n项和，【解析】（1）:抛物线x2=2py(p>0)的焦点到准线的距离为3，:p=3，即抛物线方程为x2=6y，即f则， 即在该抛物线上点(3,y)处的曲率为；:g(x)在R上为奇函数，又g(x)在R上为减函数.又因为两个函数都是偶函数，记=cos①x，q则曲线p(x)恒在曲线q(x)上方，（3）由题可得f,(x)=4x，所以曲线y=f(x)在点(xn,f(xn))处的切线方程是y-f(xn)=f,(xn)(x-xn)，2即y-2n，所以数列{an}是等比数列，n-1a1n-1lg所以，:bn=xn-2=-12bn-2*.(x,y2，那么称d(A,B)=x1-x2+y1-y2为A，B两点间的曼哈顿距离.(1)已知点N1，N2分别在直线x-2y=0，2x-y=0上，点M(0,2)与点N1，N2的曼哈顿距离分别为d(M,N1)，d(M,N2)，求d(M,N1)和d(M,N2)的最小值；(2)已知点N是直线x+k2y+2k+1=0(k>0)上的动点，点M(0,2)与点N的曼哈顿距离d(M,N)的最小值记为f(k)，求f(k)的最大值；(3)已知点M(ek,kek)，点N(m,n)（k，m，n∈R，e是自然对数的底当k≤1时，d(M,N)的最大值为f(m,n)，求f(m,n)的最小值.则d(M,N1)≥2，即d(M,N1)的最小值为2；则d(M,N2)≥1，即d(M,N2)的最小值为1.2≥1时，d(M,N)=x+y-2，,所以f(k)的最大值为5.kkek-ne-md(Mkkek-ne-m=max{x+xlnx-m-n,x-xlnx-m+nle,le,ll,f(m,n)的最小值e+张距离，它由n个绝对值之和组成，其中n为正整数.如：M(2,6)=2x-1+2x-2+2x-3+2x-4+2x-5+2x-6(1)若M(1,2)≤5，求x的取值范围；所以x的取值范围是{x|-1≤x≤4}.（2）M(3,2)=3x-1+3x-2≥m对一切实数x恒成立，222夫斯基提出来的．如图是抽象的城市路网，其中线段AB是欧式空间中定义的两点最短距离，但在城市路网中，我们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过，所以在“曼哈顿几何”中，这两点最短距离用B(x2,y2)，则d(A,B)=x2-x1+y2-y1(1)①点A(3,5)，B(2,-1)，求d(A,B)的值.②求圆心在原点，半径为1的“曼哈顿单位圆”方程.(3)设三维空间4个点为Ai=(xi,yi,zi)，i=1,2,3,4，且xi，yi，的平均值即d，求d最大值，并列举最值成立时的一组坐标.②设“曼哈顿单位圆”上点的坐标为(x,y)，则x-0+y-0=1，即x+y=1.（2）设直线2x-y+2=0上任意一点坐标为C(x1,2x1+2)，则d(C,B)=x1-1+2x1+2，综上所述，d(C,B)的最小值为2.如图，ABCD—EFGH为正方体，边长为1，则Ai对应正方体的八个顶点，当四个点在同一个面上时，例如：A,B,C,D，此时当四个点不在同一个平面时，例如：A,C,H,D，此时例如：A,B,E,D，此时例如：A,B,E,H，此时(1)求函数y=cosh(2x)+sinh(x)的最小值；(2)若函数f(x)=log9cosh(2x)—asinh(x)在R上的最小值为—1，求正实数a的值；(3)求证：对任意实数k，关于x的方程=kx+总有实根.xex在R上单调递增，函数y=cosh(2x)+sinh(x)有最小值.（2）函数f(x)=log9cosh(2x)—as即函数y=cosh(2x)—asinh(x)有最小值.8所以正实数a的值为3证明：令p定义域为R，又，所以p是奇函数，因为y=e2x是R上的增函数，所以在R上单调递增，且当x趋近于+∞时，p(x)趋近于1，如图所示：无论k取任何实数，直线y=kx+与函数p(x)的图象都有交点，即对任意实数k，关于x的方程=kx+总线.1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程y=，其中c为参数.当c=1时，就是双曲余弦函数coshx=类似地我们可以定义双曲正弦函数sinhx=.它们与正、余弦函数有许多类似的性质.(1)类比正弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数的一个正确的结论:sinh2x=.（只写出即可，不要求证明试比较cosh(sinx)与sinh(cosx)的大小关系，并证明你的结论.又e2x2xxx)2222，于是x因此显然函数上单调递减，max依题意，coshsinhcosxcosx，【变式3-1】（2024·上海宝山·模拟预测）在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦：sinh双曲余弦函数：cosh(x)=e是自然对数的底数）.（2）写出双曲正弦与两角和的正弦公式类似的展开式：sinh(x+y)=，并证明；1，是否存在实数a，使得a2021=若存在，求出a的值，若不存在，说明理由.右边ex+y+ex-y-ey-x-e-x-yex+y+ey-x-ex-y-e-x-yex+y-e-x-y4∴左边等于右边，即sinh(x+y)=sinh(x)cosh(y)+cosh(x)sinh(y)成立=cosθ成立，kθ)2kθ成立.2n-1θ).n2021a1，存在不为0的实数m，使得cosh(m)=a1，类比余弦二倍角公式，猜测cosh(2x)=2cosh2(x)-1.证明如下：类比a1=cosh(m)，易证a2=2cosh2(m)-1=cosh(2m)，1(1-1)5【典例4-1】（2024·江苏苏州·模拟预测）定义：函数f(x)的导函数为f,(x)，我们称函数f,(x)的导函（2）已知定义在R上的函数g(x)满足：对任意R，g,,(x)>0恒成立.P为曲线y=g(x)上的任意一点.求证：除点P外，曲线y=g(x)上每一点都在点P处切线的上方；（3）试给出一个实数a的值，使得曲线y=p(x)与曲线y=q(x)有且仅有一条公切线，并证明你的结论..（2）设P(x0,g(x0))，则曲线y=g(x)在点P处的切线方程为y=g,(x0)(x-x0)+g(x0)，00(x)上每一点都在点P处切线的上方.下面证明它们只有这一条公切线.设h(x)=p(x)-q(x)，则h,(x)=p,(x)-q,(x)，x(x+2)2≥0，当且仅当x=-2时取等号，②再证明它们没有其它公切线.若它们还有一条公切线y=t(x)，它与曲线y=p(x)切于点(x1,p(x1))，x2又由①与p(x1)≥q(x1)矛盾，故它们只有这一条公切线.综上，当a=2时，曲线y=p(x)与曲线y=q(x)有且仅有一条公切线..【典例4-2】记f,,(x)=(f,(x)),，f,(x)为f(x)的导函数．若对x∈D，f,,(x)>0，则称函数y=f(x)为D上的“凸函数”．已知函数f(x)=ex-x3-ax2-1，a∈R.（1）若函数f(x)为R上的凸函数，求a的取值范围；【解析】（1）:f,(x)=ex-x2-2ax，若函数f(x)为R上的凸函数，则f,,(x)=ex-2x-2a>0，即2a<ex-2x，:ymin=eln2-2ln2=2-2ln2，:2a<2-2ln2，解得：a<1-ln2，:a的取值范围为(-∞,1-ln2).,2-x（2）:y=f(x)-x=ex-x3-ax2-x-,2-x:y=f(x)-x在(1,+∞)上有极值，:g(x)=exex-x2-2ax-1，-2ax-1在(1,+∞)有变号零点，g,(x)=ex-2x-2a，令m(x)=ex-2x-2a，则m,(x)=ex-2，Qx>1，:m,(x)>0，:m(x)在(1,+∞)上单调递增，:g,(x)=m(x)>m(1)=e-2-2a；:g(x)=ex-x2-2ax-1在(1,+∞)无零点，不合题意；00)=0，:g(x)单调递减，0,0)=0，:g(x)单调递增，:g(x)在x∈(1,+∞)上有零点，且在零点左右两侧g(x)符号相反，即该零点为g(x)的变号零点，:y=f(x)-x在(1,+∞)上有极值；综上所述：a的取值范围为已知函数f(x)=xex+ax2+a为R上的凹函数.(1)求a的取值范围；所以m(x)在(-∞,-3)上是减函数，在(-3,+∞)上增函数.因为f(x)为R上的凹函数，所以-+2a≥0，（2）证明h,(x)=ex-x-1，h,所以h,(x)在(-∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，所以h,(x)的最小值为h,(0)=0，则h,(x)≥0，h(x)证明：由=xex-x3-x2-x≥0，x32所以x3232故x2上具有性质M.①y=f(x)在D上的导数f,(x)存在；②y=f,(x)在D上的导数f,,(x)存在，且f,,(x)>0（其中f,,(x)=f,(x),）恒成立.(1)判断函数y=lg在区间(0,+∞)上是否具有性质M？并说明理由.(2)设a、b均为实常数，若奇函数g(x)=2x3+ax2+在x=1处取得极值，是否存在实数c，使得y=g(x)在区间[c,+∞)上具有性质M？若存在，求出c的取值范围；若不存在，请说明理由.令y=f，∴函数y=lg在区间(0,+∞)上具有性质M； ∵g(x)在x=1处取得极值，且g(x)为奇函数，∴g(x)在x=-1处也取得极值，0，解得∴存在实数c，使得y=g(x)在区间[c,+∞)上具有性质M，c的取值范围是(0,+∞)；令G(x)=x-ln(x+1)-1，0)-1=0，0,0∴k的最大值为3.合A中的任意一个有序实数对(x,y)，按照某种确定的关系f，在B中都有唯一确定的数z和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个二元函数，记作z=f(x,y),(x,y)∈A，其中A称为二元函数f的定义域.(1)已知f(x,y)=222x+yx2=1，求f;在D上沿u方向单调递增.已知f(x,y)=ex+y+ex-y,x∈R,y∈R.请问f在{(x,y)∣x,y∈R}上沿向量(1,1)方向单调递增吗？为什么？(3)设二元函数f的定义域为D，如果存在实数M满足：①(x,y)∈D，都有f(x,y)≥M，②3(x0,y0)∈D，使得f(x0,y0)=M.那么，我们称M是二元函数f的最小值.求又:f(x,y)=ex+y+ex-y，:f(a-+hu)-f(a-)=ex+h+y+h+ex+h-y-h-ex+y-ex-y=ex+y+2h-ex+y>0，（3）由题意可类似的知道f(x,y)的最大值的含义，yysin2其中tanφ=（或者直接使用柯西不等式，y2sin2xx又≤y≤2，根据对勾函数单调性易知当y=或2时，函数f(x,y)取最大值为.f(x,y)在约束条件g(x,y)的可能极值点，首先构造出一个拉格朗日辅助函数L(x,y,λ)=f(x,y)+λg(x,y)，其中λ为拉格朗日系数．分别对L(x,y,λ)中的x,y,λ部分求导，并使之为0，得到三个方程组，如下：(x,y,λ)=fx(x,y)+λgx(x,y)=0{Ly(x,y,λ)=fy(x,y)+λgy((x,y,λ)=fx(x,y)+λgx(x,y)=0lLλ(x,y,λ)=g(x,y)=0g(x,y)的可能极值点．x,y的值代入到f(x,y)中即为极值.f(x,y)=x2+xy+y2关于变量x的导数．即：将变量y当做常数，即：fx(x,y)=2x+y，下标加上x，代表对自变量x进行求导．即拉格朗日乘数法方程组之中的Lx,Ly,Lλ表示分别对x,y,λ进行求导.(1)求函数f(x,y)=x2y2+2xy+xy2关于变量y的导数并求当x=1处的导数值.(2)利用拉格朗日乘数法求：设实数x,y满足g(x,y)=4x2+y2+xy-1=0，求f(x,y)=2x+y的最大值.2f(x,y)=x2y2+2xy+xy2，对变量y求导得：fy(x,y)=2x2y+2x+2xy，（2）令L(x,y,λ)=2x+y+λ(4x2+y2+xy-1)，则{Ly(x,y,λ)=1+2λy+λx=0则{Ly(x,y,λ)=1+2λy+λx=0，解得{y=-或{y=，λ=λ=-lLλ(x,y,λ)=4x2+y2+λ=λ=-于是函数f(x,y)在约束条件g(x,y)=0的可能极值点是当,y=-0时，函数f的一个极值为函数f的一个极值为函数方程4x2+y2+xy-1=0视为关于x的方程：4x2+yx+y视为关于y的方程：y2+xy+4x2-1=0，则Δ2=x2-4(4x2-1)≥0，解得|xf(x,y)对应的图形是封闭的，而10>-所以f(x,y)的最大值为.2222 2+ab+a(a-b)-10ac 【变式5-1】（2024·全国·模拟预变量z按照一定的规律f，总有唯一确定的x，y与之对应，则称变量z为变量x，y的二元函数，记作z=f(x,y)．已知二元函数f(x,y)=2x+(y≠0).(xy,(1)若xy>0，求f(x,y).f(|1,1(xy,(2)对任意实数x，不等式f(x,a)+f(x,2a)≥a恒成立，求实数a的取值范围.当且仅当2xy=即xy=1时f取得最小值为9.∵f(x,a)+f(x,2a)i≥a恒成立，∴a≤,综上，实数a的取值范围是【典例6-1】若两个函数y=f(x)与y=g(x)在x=x0处有相同的切线，则称这两个函数相切，切点为x0,f(x0)).(1)判断函数y=sinx与y=x是否相切；(2)设反比例函数y=与二次函数y=ax2+bx(a≠0)相切，切点有两个公共点；(3)若0<a<1，指数函数y=ax与对数函数y=logax相切，求实数a的值；(4)设（3）的结果为a0，求证：当0<a<a0时，指数函数y=ax与对数函数y=logax的图象有三个公共点.x=0=1，且yx=0=0，所以，曲线y=sinx在x=0处的切线方程为y=x，因此，函数y=sinx与y=x相切.（2）反比例函数y=与二次函数y=ax2+bx(a对函数求导得y,=-对函数y=ax2+bx(a≠0)求导得y,=2ax+b，3代入=at2+bt可得-，所以，27a2=4b3，此时令=ax2+bx得ax3+bx2-1=0，它的一个解为x1=t=-所以，方程ax3+bx2-1=0可化为 解得x2=-，x3=所以，方程ax3+bx2-1=0的三个解为x1=x2=t，x3=-（3）设指数函数y=ax与对数函数y=logax在x=x0处有相同的切线，对函数y=ax求导得y,=axlnx0x0ax022，2≥0且f,(t)不恒为零，所以，函数f(t)=t-)在(-∞,0)上为增函数，且f(-1)=0，故方程t-)=0的唯一解为t=-1，x0所以，函数h(x)在(0,-logae)上为减函数，在(-logae,+∞)上为增函数，2，所以，函数h(x)在(-logae,+∞)内也存在一个零点，2所以，函数g(x)有一个极大值g(x1)和一个极小值g(x2)，设函数y=ax与直线y=x的交点为(x3,x3)，所以，x3为函数y=ax-x的一个零点，所以，ax=x3，则x3=所以，x3也为函数g(x)=ax-logax的一个零点，1-e时，函数y=ax为减函数，则函数y=ax-x也为减函数，且ae<，x3-x3，所以，x3<，1所以，函数g(x)在(x3,1)内有一个零点，也是(x3,+∞)上的唯一零点，所以，函数g(x)在(a,x3)内有一个零点，也是(0,x3)内的唯一零点，-e时，函数g(x)=ax-logax共有三个零点.【典例6-2】对给定的在定义域内连续且存在导函数的函数f(x)，若对在f(x)定义域内的给定常数a，存在数列{an}满足a1在f(x)的定义域内且a1>a，且对n≥2,n∈N*,y=f(x)在区间(a,an-1)的图象上有且 仅有在x=an一个点处的切线平行于(a,f(a))和(an-1,f(an-1))的连线，则称数列{an}为函数f(x)的“a关联切线伴随数列”.(1)若函数f(x)=x2，证明：a∈R,f(x)都存在“a关联切线伴随数列”；(3)若函数h(x)=mx3+6sinx，数列{bn}n【解析】（1）因为f(x)=x2，则f,(x)=2x，n-1可知数列{an-a}为以a1-a为首项，为公比的等比数列，显然这样的数列对于给定的a1>a是存在的，所以a∈R,f(x)都存在“a关联切线伴随数列”. 定义h,(x)的导函数为h,,(x),h,,(x)的导函数为h,,(x)，-x)，-x)(x>0)，-bn)，，nn-1n-1n-1n-1n【变式6-1】（2024·广西·二模）定义：若函数f(x)图象上恰好存在相异的两点P,Q满足曲线y=f(x)在P和Q处的切线重合，则称P,Q为曲线y=f(x)的“双重切点”，直线PQ为曲线y=f(x)的“双重切线”.22(1)直线y=x-5是否为曲线f(x)=1x2-2x+2lnx的“双重切线22(3)已知函数h(x)=cosx，直线PQ为曲线y=h(x)的“双重切线”，记k在点P处的切线的方程为=x-1，即y=x-，在点Q的切线方程为y-2ln2+2=x-2，即y=x-4+2ln2与直线y=x-不重合，所以直线y=x-=x2-2x+2lnx的“双重切线”.x+1,x（2）由题意g,(x)={,x>0，函数x+1,x所以在点P处的切线的方程为y-ex+1=ex+1(x-x1)，在点Q的切线方程为y-(6-)=(x-x2)，x2(x1(x1则t,(x)=xex+1-2e(x+1）=e(x+1)[xe(x+1)-2]<0，所以t(x)是减函数，在点P(-1,1)处切线方程为y-1=x+1，即y=x在点Q(2,4)处的切线方程为y-4=x-2，即y=x+2，所以“双重切线”方程为y=x+2；（3）证明：设k1对应的切点为(x1,cosx1),(x1,,cosx1,)，x1<x,x2<x2，由于(cosx),=-sinx，所以k1=-sinx1=-sinx1,，k2=-sinx=-sinx2,，由余弦函数的周期性，只要考虑-π<x2<x1<-的情形，又由余弦函数的图象，只需考虑x1+x1,=π，x2+x2,=3π情形，π其中-π<x2<x1<-，22，π-π<x<-时，sinx<0，cosx<0，2令F(x)=+x-（-π<x<-则F(x1)=0，F,(x)=+1=-+1=-<0，在上单调递减，又F(-)=、i3--<0，所以-π<x1<-，所以-π<x2<x1<-，此时-1<cosx2<cosx1<0，则0<<1，域上近似求解方程的方法．比如，我们可以先猜想某个方程f(x)=0的其中一个根r在x=x0的附近，如图所示，然后在点(x0,f(x0))处作f(x)的切线，切线与x轴交点的横坐标就是x1，用x1代替x0重复上面的过程得到x2；一直继续下去，得到x0，x1，x2，……，xn．从图形上我们可以看到x1较x0接近r，x2较x1 接近r，等等．显然，它们会越来越逼近r．于是，求r近似解的过程转化为求xn，若设精度为ε，则把首次满足xn-xn-1<ε的xn称为r的近似解．(1)当a=1时，试用牛顿迭代法求方程f(x)=0满足精度ε=0.5的近似解（取x0=-1，且结果保留小数点后第二位(2)若f(x)-x3+x2lnx≥0，求a的取值范围.f(x)=x3-x+1，则f,(x)=3x2-1，曲线f(x)在x0=-1处的切线为y-1=2(x+1)→x1=-1.5，且x1-x0≥0.5曲线f(x)在x1=-1.5处的切线为→x2=-且ix2-x1i<0.5故，用牛顿迭代法求方程f(x)=0满足精度ε=0.5的近似解为-1.35.【典例7-1】（2024·湖南长沙·二模）极值的广义定义如下：如果一个函数在一点的的开区间）内处处都有确定的值，而以该点处的值为最大（小这函数在该点处的值就是一个极大（小）值.对于函数y=f(x)，设自变量x从x0变化到x0+Δx，当Δx>0，是一个确定的值，则称函数y=f(x)在点x0处右可导；当Δx<0，是一个确定的值，则称函数y=f(x)在点x0处左可导.当函数y=f(x)在点x0处既右可导也左可导且导数值相等，则称函数y=f(x)在点x0处可导.(1)请举出一个例子，说明该函数在某点处不可导，但是该点是该函数的极值点；(2)已知函数f(x)=x2eax2+1-x3sinx-ex2.(ⅰ)求函数g(x)=eax2+1-xsinx-e在x=0处的切线方程；(ⅱ)若x=0为f(x)的极小值点，求a的取值范围.xx,x=0为该函数的极值点，则该函数在x=0处的左导数为-1，右导数为1，所以该函数在x=0处不可导.又g,(x)=2axeax2+1-sinx-xcosx，则k=g,(0)=0，所以切线方程为y=0；(ⅱ)f(x)=x2eax2+1-x3sinx-ex2=x2(eax2+1-xsinx-e)，g(x)=eax2+1-xsinx-e，先考察g(x)的性质，由于g(x)为偶函数，只需分析其在(0,+∞)上的性质即可，g,(x)=2axeax2+1-sinx-xcosx，g,(0)=0,，则g,(x)在区间(0,m)内小于0，则g(x)故f(x)在区间(0,m)内小于0，则x=0不可能为f(x)的极小值点.ax2+1-xsinx-ex2+1-xsinx-e， x2+1-xsinx-e，h,(x)=ex2+1-sinx-xcosx，x2+1-sinx-xcosx，2)x2-2cosx+xsinx，),ex2故y=-2cosx+xsinx在区间(0,22)x2-2cosx+xsinx在区间(|(0,),上单调递增.故h,(x)在区间(|(0,),上单调递增，(2,(2,ax2f(x)>0，故x=0为f(x)的极小值点，所以a的取值范围为a≥.f(x1)=f(x2)，且f(x)在点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))处的切线斜率相同，则称f(x)为“切合函数”(1)证明：f(x)=x3-2x为“切合函数”；(2)若g(x)=xlnx-x2+ax为“切合函数”，并设满足条件的两个数为x1,x2.x22x1x2-vx1x2<.【解析】（1）假设存在两个不同的数x1,易知f,(x)=3x2-2，由题意可得f(x1)=f(x2)，即x-2x1=x-2x2，(x1-x2)2，因为f,(x1)=f,(x2)，即3x-2=3x-2，=-x2，22所以f(x)=x3-2x为“切合函数”.因为g(x)=xlnx-x2+ax为“切合函数”，故存在不同的数x1,x2(不妨设0<x1<x2)使得x1x1-x2lnx2-x+ax2整理得{x2-x1x整理得{x2-x1xx,,,x1x2x1x1x2x1x2x2x1x1lnx1-x2lnx2(x2+x1)x1lnx1-x2lnx2(x2+x1)(lnx2-lnx1)=x2-x1+2(x2-x1)=x2-x1+2(x2-x1)lnx2-lnx12(x1lnx1-x2lnx2)+(x2+x1)(lnx2-lnx1)x1ln(x1x2)-x2ln(x1x2)=2(x2-x1)=2(x2-x1)所以a>ln2且x1x2=e-2a，只需证(a+1)2e-2a-e-a<，即e2a+ea-(a+1)2>0(a>ln2)，则即证h(a)>0(a>ln2)h,(a)=×2e2a+ea-2(a+1)=e2a+ea-2(a+1)，即k(a)也就是h,(a)在(ln2,+∞)单调递增，h,(a)>h,(ln2)=e2ln2+eln2-2(ln2+1)=×4+2-2ln2-2=2(3-ln2)>0，所以h(a)在(ln2,+∞)单调递增，2所以原不等式成立.x12n-1<xn的实数x1,x2,…,xn-1,xn，其中x1,x2,…,xn-1,xn∈D，都有不等式恒成立，则称函数y=f(x),x∈D是“绝对差有界函数”函数fx≥是“绝对差有界函数”，求常数M的取值范围；(2)对于函数y=f(x),x∈[a,b]，存在常数k，对任意的x1,x2∈[a,b]，有f(x1)-f(x2)≤kx1-x2恒成立，求证：函数y=f(x),x∈[a,b]为“绝对差有界函数”,:f'=0，:x=e，f(x)单调递减.f(x)单调递增时，f(xn)-f(xn-1)>0，f(x)单调递减时，f(xn)-f(xn-1)<0.且当x无限趋向于正无穷大时，f(x)无限趋向于0，i-xi-1成立，则可取M=k(b-a)，所以函数y=f(x),x∈[a,b]为“绝对差有界函数”4个8个所以对任意常数M>0，只要n足够大，就有区间[0,1]的一个划分数y=f(x)满足以下①②两个性质中的任意一个时，则称区间I是y=f(x)的一个“美好区间”.性质①：对于任意x0∈I，都有f(x0)∈I；性质②：对于任意x0∈I，都有f(x0)呋I.说明理由；已知fx3-x2-3x+12且m>0，若区间[0,m]是函数y=f(x)的一个“美好区间”，求实数m的取值范围；(3)已知函数y=f(x)的定义域为R，其图像是一条连续不断的曲线，且对于任意a<b，都有f(a)-f(b)>b-a．求证：函数y=f(x)存在“美好区间”，且存在x0∈R，使得x0不属于函数y=f(x)的任意一个“美好区间”.由f(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1，当二所以区间[0,2]是函数y=f(x)的“美好区间”由x3-x2-3x+12，可得f,=x2-2x-3=所以当x<-1或x>3时，f,(x)>0，则f(x)的单调递增区间为：(-∞,-1)，(3,+∞)；当-1<x<3时，f,(x)<0，则f(x)的单调递增区间为：(-1,3)，且=12，f=3，f=12，得到f在的大致图像如下：(i)当0<m<3时，f(x)在区间[0,m]上单调递减，且f(m)>f(3)=3，所以S=[f(m),12]，则S∩I=⑦,即对于任意x0∈I，都有f(x0)呋I，满足性质②,f(x)的一个 (iii)当<m<12时，f(x)在区间[0,3]上单调递减，在(3,m]上单调递增，且f(m)>12S=[3,f(m)]，f(x)的一个“美好区间”；(iv)当m≥12时，f(x)在区间[0,3]上单调递减，在(3,m]上单调递增，且f(m)>12，此时S=[3,f(m)]，构造函数m3-m2-4m+12则g,(m)=m2-2m-4=(m-1)2-5，综上，实数m的取值范围是(0,3)因为对于任意a<b，都有f(a)-f(b)>b-a，所以f(x)在区间I上单调递减，故S=[f(b),f(a)]，因为f(a)-f(b)>b-a，即S的长度大于I的长度，故f(x)不满足性质①,所以若I为y=f(x)的“美好区间”必满足性质②,即S∩I=⑦,即只需要f(a)<a或f(b)>b，由f(x)=x显然不恒成立，所以存在常数c使得f(c)≠c，如果f(c)<c，取a=c，则区间I=[a,b](a<b)满足性质②;如果f(c)>c，取b=c，则区间I=[a,b](a<b)满足性质②;综上，函数y=f(x)一定存在“美好区间”；记g(x)=f(x)-x，则g(x)的图象连续不断，下证明g(x)有零点，由于f(x)在R上单调递减，则g(x)在R上是减函数，记f(0)=t0若t>0，则f(t)<f(0)=t，记g(0)>0，g(t)<0综上，g(x)有零点x0，即f(x0)=x0，因为f(x)所有“美好区间”I都满足性质②,故x0呋I，否则f(x0)=x0∈I与性质②矛盾；即存在x00不属于函数y=f(x)的任意一个“美好区间”，证毕.f,(x)、g,(x)分别为函数f(x)、g(x)的导函数．若存在x0∈R，满足f(x0)=g(x0)且f,(x0)=g,(x0)，则称x0为函数f(x)与g(x)的一个“S点”.（1）证明：函数f(x)=x与g(x)=x2+2x-2不存在“S点”；)，可得{此方程组无解，因此，函数f(x)=x与g(x)=x2+2x-2不存在“S点”；函数f=ax2-1，g=lnx，则f,=2ax，g,可得lnx0=-解得x0=e【典例8-2】对于函数f（x若存在实数x0满足f(x0)=x0，则称x0为函数f（x）的一个不动点.已知函数（ii）若存在x0既是f（x）的极值点，又是f（x）的不动点，求b的值：(2)若f（x）有两个相异的极值点x1，x2，试问：是否存在a，b使得x1，x2均为f（x）的不动点？证明你的结论.当b≥0时，f'(x)≥0恒成立，f(x)在R上递增，没有极值点.则f(x)在区间(-∞,x1),(x2,+∞),f'(x)>0,f(x)递增；在区间(x1,x2),f'(x)<0,f(x)递减，所以f(x)的极大值点为-，极小值点为.（ii）若x0是f(x)的极值点，又是f(x)的不动点，x3x-1)+x0-1=0，0-10-1)2x+2x0f(x)有两个相异的极值点，也即f'(x)=3x2+2ax+b有两个不同的零点x1,x2，依题意，若x1,x2是f(x)的不动点，-x2，x22--+b-1=0，a2-3b=-，这与①矛盾，所以不存在符合题意的a,b.【变式8-1】记y=f,(x)，y=g,(x)分别为函数y=f(x)，y=g(x)的导函数．若存在x0∈R，满足f(x0)=g(x0)且f,(x0)=g,(x0)，则称x0为函数y=f(x)与y=g(x)的一个“好点”.(1)判断函数f(x)=x与g(x)=x2-x+1是否存在“好点”，若存在，求出“好点”；若不存在，请说明珵由；(2)若函数f(x)=ax3-1与g(x)=lnx存在“好点”，求实数a的值；(3)已知函数f(x)=-x2+a，g(x)=，若存在实数a>0，使函数y=存在“好点”，求实数b的取值范围.（2）f,(x)=3ax2，g,00【变式8-2】给出定义：设f,(x)是函数y=f(x)的导函数，f,,(x)是函数f,(x)的导函数，若方程f,,(x)=0有实数解x=x0，则称(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.经研究发现所有的三次函数(1)若函数f(x)=x3+3x2—9x1，求函数f(x)图象的对称中心；222.【解析】（1）因为f(x)=x3+3x29x1，所以f,(x)=3x2+6x9，322m22.【变式8-3】（2024·河南·三模）设函数f(x)的导函数为f,(x),f,(x)的导函数为f,,(x),f,,(x)的导函数为f,,,(x).若f,,(x0)=0，且f,,,(x0)≠0，则(x0,f(x0))为曲线y=f(x)的拐点.(1)判断曲线y=x6是否有拐点，并说明理由；(2)已知函数f(x)=ax5—5x3，若((|,为曲线y=f(x)的一个拐点，求f(x)的单调区间与极值.由30x4=0，得x=0，又由120x3=0，得x=0，所以曲线y=x6没有拐点.2ax23，因为为曲线y=f(x)的一个拐点，所以f,,.当x<1或x>1时，f¢(x)>0，则f(x)的单调递增区间为(∞,1),(1,+∞)；当1≤x≤1时，f,(x)≤0，且f,(x)=0不恒成立，则f(x)的单调递减区间为[1,1]，故当x=1时，f(x)取得极大值，且极大值为2；当x=1时，f(x)取得极小值，且极小值为—2.使得x1，x0，x2成等比数列，m(x1)，n(x0)，m(x2)成等差数列，那么我们称m(x)，n(x)为一对“K(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间；求证：ff(x)，g(x)为一对“K函数”，求证：S二1,e4)e为自然对数综上，,x2 ax2a2 ax2a+lnx1x2ln=2+lnx0ln. 令x00,e3e3,32由零点存在性定理得存在x3（e3<x3<e4使得l(x3)=0，e34.4故2ax0令x04.4【典例9-2】（2024·山东·模拟预测）如果h(x)是定义在区间D上的函数，且同时满足：①h,(x)h(x)>0；②h,(x)与h(x)的单调性相同，则称函数h(x)在区间D上是“链式函数”.已知函数f(x)=ex——x—1，2g(x)=1cosx.（1）判断函数f(x)与g(x)在(0,+∞)上是否是“链式函数”，并说明理由；xxx1,则m,(x)=ex1，:x>0,:m,(x)>0,:f,(x)在(0,+∞)上单调递增，又f,(0)=0,:当x>0时，f,(x)>0，f(x)在(0,+∞)上单调递增，又f(0)=0,:当x>0时，f(x)>0，∴当x>0时，f,(x)f(x)>0，f,(x)与f(x)在(0,+∞)上均单调递增，∴f(x)在(0,+∞)上是“链式函数”.∴g(x)在(0,+∞)上是“链式函数”.令xf(s+t)>f(s)+f(t)恒成立，则称函数y=f(x)为“Σ增函数”.(1)求证：函数y=sinx不是“Σ增函数”；(3)设g(x)=exln(1+x)，若曲线y=g(x)在x=x0处的切线方程为y=x，求x0的值，并证明函数y=g(x)是“Σ增函数”.有2s+t-1-(s+t)-a>2s-1-s-a+2t-1-t-a恒成立，s+t-1-2s-1-2t-1>-a恒成立，所以恒成立，s,2t令μ(x)=g,(x)，故y=g,(x)在(0,+∞)上是严格增函数，所以x0=0是唯一解，=0，此时在(x0,g(x0))处的切线方程即为y=x，故x0得g,(s+t)>g,(s)，所以w(s)=g(s+t)-g(s)-g(t)在(0,+∞)上是严格增函数，(1)若f(x)在其定义域内是增函数，求a的取值范围；(2)定义：若f(x)在其定义域内单调递增，且f(x)+g(x)在其定义域内也单调递增，则称g(x)为f(x)的“协同增函数”.已知函数g(x)=4x3-18ax2+12(2-a)x，若g(x)是f(x)的“协同增函数”，求a的取值范围.因为fx2+12ax，所以f,.x2+2x+12a=12xlnx+12a，令h(x)=xlnx，则h,(x)=lnx+1.则在上单调递减，在上单调递增.因为f(x)在其定义域内是增函数，所以12a-≥0，解得a≥.设F(x)=f(x)+g(x)=4x3+(6lnx-18a-3)x2+24x，则F,(x)=12x2+12xlnx-36ax+24.因为F(x)在其定义域内是增函数，所以F,(x)≥0在(0,+∞)上恒成立，即12x2+12xlnx-36ax+24≥0在(0,+∞)上恒成立，因为a≥,所以≤a≤1，}，若l0(x)|f(x)-l0(x)|，则称l0(x)为函数f(x)在x∈[a,b]上“最接近”直线．已知函数其中x02:g(x)在区间[r,s]上的最大值为gmax(x)=g(1)=2，根据函数g(x)的图象特点，可知对任意l(x)∈A，均有maxg{g(r)-l(r),g(s)-l(s),g(1)-l(1)，l，下面讨论l(r),l(s)的大小：①若l(r),l(s)至少有一个大于等于1，则[,]|g(x)-l(x)|≥1，因为l(x)是直线，故对任意x∈[r,s]，均有l(xg(x)-l(x)≥,]{l(r),l(s),2-l(1)}>1maxmaxg(r)-l(r),g(s)-l(s),g(1)-l(1)max|g(x)g(r)-1,lg(s)-1,g(1)-1结论证毕.（2）设h(x)=(2ln2-3)(x-1)+2，:f,(x)在区间[1,2]上单调递减，00-200]时，f,(x)>0，f(x)单调递增，x∈[x0,2]时，f,(x)<0，f(x)单调递减，:f(x)在区间[1,2]上的最大值为f(x0)，则f(x)在区间[1,2]上大于等于0，由（1）问分析知，对定义在[a,b]上的函数f(x)≥0，若f(x)满足f(a)=f(b)=0，且x0∈[a,b]为f(x)唯一的最大值点，则对任意的时取等号，,]f(x)-l(x)=,]g(x)-h(x)-l(x)，:g(x)在x∈[1,2]上的“最接近”直线为22024·高三·浙江宁波·期末）在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲线C：y=f(x)上的曲线段，其弧长为Δs，当动点从A沿曲线段运动到B点时，A点的切线lA也随着转动到B点的切线lB，记这两条切线之间的夹角为Δθ（它等于lB的倾斜角与lA的倾斜角之差显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当B越接近A，即Δs越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义若极限存在）为曲线C在点A处的曲率其中yy分别表示y=f(x)在点A处的一阶、二阶导数）(1)求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率；(2)求椭圆+y2=1在处的曲率；为曲线y=f(x)的“柯西曲率”．已知在曲线f(x)=xlnx-2x上存在两点x23Px1,f(x1))和Q(x2,f(x2))，且P，Q处的“柯西曲率”相同，求x23的取值范围.=lnx-1，f,,其中s=，令t13ix1，t222线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若f,(x)是f(x)的导函数，所以K2的最大值为1.4．已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f,(x)，若f,(x)≤1对任意x∈R恒成立，则称函数f(x)为“线性控制函数”.(1)判断函数f(x)=sinx和g(x)=ex是否为“线性控制函数”，并说明理由；(2)若函数f(x)为“线性控制函数”，且f(x)在R上严格增，设A、B为函数f(x)图像上互异的两点，设直线AB的斜率为k，判断命题“0<k≤1”的真假，并说明理由；(3)若函数f(x)为“线性控制函数”，且f(x)是以T(T>0)为周期的周期函数，证明：对任意x1,x2都有f(x1)-f(x2)≤T.（2）命题为真，理由如下：设A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))，其中x1<x2由于f(x)在R上严格增，故f(x1)<f(x2)，因此k=>0由于f(x)为“线性控制函数”，故f,(x)≤1，即f,(x)-1≤0令F(x)=f(x)-x，故F,(x)=f,(x)-1≤0，因此F(x)在R上为减函数由于f(x)为“线性控制函数”，故f,(x)≥-1，即f,(x)+1≥0令G(x)=f(x)+x，故G,(x)=f,(x)+1≥0，因此F(x)在R上为增函数f(a)-f(b)+1=(f(a)+a)-(f(b)+b)=G(a)-G(b)≥0→f(a)-f(b)≥-1a-ba-ba-ba-b则f(x1)-f(x2)=0≤T恒成立若x2-x1>T时，则存在x3∈[x1,x1f(x2)=if(x1)-f(x3)i<T综上所述，对任意x1,x2都有f(x1)-f(x2)≤T.（事实上，对任意x1,x2都有f(x1)-f(x2)≤,此处不再赘述）x1,x2)-f(x2)≤(x1+1)k-(x2+1)k，则称函数y=f(x)为L(k)函数.(2)函数﹖请说明理由；(2)若y=f(x)为L(1)函数，图像在x∈[0,1]是一条连续的曲线，f(0)=0，f(1)上仅存在一个极值点，分别记f(x)max、f(x)min为函数y=f(x)的最大、小值，求f(x)max-f(x)min的取值范围；g(x)-g(y)≤M，记M的最小值为M(a)，求a的取值范围及M(a)关于a的表达式.20为f(x)在区间(0,1)上仅存的一个极大值点，则f(x)在(0,x0)严格递增，在(x0,1)严格递f(x0)f(10为f(x)在区间(0,1)上仅存的一个极小值点，则f(x)在(0,x0)严格递减，在(x0,1)严格增，lf(x0)-f(1)≤x0-144f(x0)-f(0)≤ix0，同理可得lf(x0)-f(1)≤x0-144f(1综上所述：所求取值范围为此时f(x1)<f(x2)，由为L函数，得f恒成立，即易知上述不等号右边的函数为[0,1]上的减函数，62024·上海奉贤·二模）设函数y=f(x)的定义域是R，它的导数是f,(x)．若存在常数m(m∈R)，使得f(x+m)=-f,(x)对一切x恒成立，那么称函数y=f(x)具有性质P(m).(1)求证：函数y=ex不具有性质P(m)；(2)判别函数y=sinx是否具有性质P(m)．若具有求出m的取值集合；若不具有请说明理由.【解析】（1）假设y=ex具有性质P(m)，即ex+m=-(ex)化简ex+m=-ex得到em=-1，显然不存在实数m使得em=-1成立，所以假设错误，因此函数y=ex不具有性质P(m).（2）假设y=sinx具有性质P(m)，即sin(x+m)=-(sinx),对一切x即sin(x+m)=-cosx对一切x恒成立，则sinxcosm+(sinm+1)cosx=0对一切x恒成立，所以y=sinx具有性质P(m)，m的取值集合(1)当k=1时，过坐标原点O作曲线y=f(x)的切线，求切线方程；(2)设定义在I上的函数y=h(x)在点P(x0,y0)处的切线方程为y=l(x)，对任意x≠x0，若(h(x)-l(x))(x-x0)>0在所有“好点”的横坐标（结果用k表示）.f(x)=2x--2lnx，f,(x)=2+-，设切点坐标为(x0,f(x0))，则切线方程为：因为切线过原点，代入原点坐标可得-lnx0+1=0所以切点坐标为(1,1)，切线斜率为k=f,(1)=1，切线方程为：y=x.（2）设点P(x0,y0)是函数y=f(x)上一点，且在点P(x0,y0)处的切线为y=l(x)，令F(x)=f(x)-l(x)，所以F(x0)=f(x0)-l(x0)=0,①当(k+1)x0-k≤0，即x00,0-k20-k点ii）x000(f(x)-l(x))(x-x0)>00,0(f(x)-l(x))(x-x0)>0好点.8．对于定义在D上的函数f(x)，其导函数为f,(x)．若存在k∈D，使得f,(k)=f(k)，且x=k是函数f(x)的极值点，则称函数f(x)为“极致k函数”.①若f(x)是单调函数，求实数a的取值范围；②证明：函数f(x)不是“极致0函数”.【解析】（1）①由题意，得f,（i）若f(x)在(|(-,),上单调递减，则f,(x)≤0恒成立，即a≤-cos2x恒成立，所以a≤-1；（ii）若f(x)在(|(-,),上单调递增，则f,(x)≥0恒成立，即a≥-cos2x恒成立，所以a≥0.②假设f(x)是“极致0函数”，则x=0是f(x)的极值点，由①可知，当a=-1时，f(x)在(|(-,),上单调递减，与x=0是f(x)的极值点矛盾，故f(x)不是“极致0函数”.以g(x)在x=0处取得极大值，此时g(x)是“极致0函数”；②当1-m≥0，即m≤1时，由可知，h在上单调递增，所以g(x)在x=0处取得极小值，此时g(x)是“极致0函数”；,使得φ2所以g(x)在x=0处取得极小值，此时g(x)是“极致0函数”．综上，对任意m∈R，g(x)均为“极致0函9