重难点26 手拉手模型

重难点26手拉手模型第126天等边共线三等分1．如图1，和都是等边三角形．探究发现（1）与是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由．（2）若、、三点不在一条直线上，且点E在点C的右侧，，，，求的长．（3）若、、三点在一条直线上，且点E在点C的右侧（如图，且和的边长分别为1和2，求的面积及的长．1.解:(1)小鹿来帮大家总结一下,两个等边三角形会构成手拉手模型哦.全等,证明如下:∵和都是等边三角形,∴,∴,即.∵,∴;(2)好像不太好求,小鹿想起(1)问的全等了,会不会好求点呢?还真是,就变成勾股定理了.由得:.∵是等边三角形,∴∵,∴,在中,,∴;(3)小鹿提示一下,求面积,作高很有必要.过点作于点,作图就交给你了.∵三点在一条直线上,∴,∵和都是等边三角形,∴,∴在中,,∴,∴,,在中,.第127天最值旋转常关联2．如图，和都是以为直角顶点的等腰直角三角形，（1）如图1，连接，，试判断与的数量关系和位置关系，并说明理由；（2）如图2，连接，，若点恰好在上，且为的中点，，求的面积；（3）如图3，当点恰好在直线上，，点为的中点，若点C在直线AB上运动，连接ED，求线段ED的最小值。2.解:结论:.理由:如解图(1),设交于点交于点.又∵,∴.∵,∴∴;(2)如解图(2),过点作于点.∵,∴.设,∵点为的中点,∴.∵,在Rt中,∵,∴,解得或(舍去),∴.由知;(3)小鹿分析了一下，一个定点,一个动点,要想线段长最小,垂直的时候就最短了,好了,想通了,就动手吧!如解图(3),连接.∵,∴,∴SAS,∴,∴,∴点的运动轨迹在直线上,当时，的长最短.∵,点为的中点,∴,∵,∴的最小值为.第128天旋转构造辅助线3.问题探究(1)如图(1),在四边形中,,求的长度.甲同学受到启发,以为边在左侧构造了一个等边,并连接,将进行转化再计算,请根据甲同学构造的辅助线完成计算;拓展应用：(2)如图(2),在四边形中,,求的长.3.解:(1)∵和是等边三角形,∴,∴,∴.在中,,∴;(2)在的外部,以点为直角顶点作等腰直角,连接.你们试试吧.∵,∵,即,∵,∴SAS.∵,∴,又∵,∴,∴.第129天旋转平行角特别4.如图在中，，，将绕点A逆时针旋转得到,连接并延长交于点.【问题发现】(1)如图(1),当时,线段与之间的数量关系是,.【类比探究】(2)当旋转到如图(2)所示的位置时,请判断线段与之间的数量关系及的度数,并说明理由;【问题解决】(3)当点在直线的右侧,且时,请直接写出的长.4.解:;(2);旋转自身是一个综合条件,通过旋转,我们也可以获得许多信息,比如边的相等,角的相等,别觉得小鹿唠叨哦,苦口婆心还是为了你们.理由如下:由旋转的性质知,,.∵∴.∵,∴,∴.∵,,∴;(3).【解法提示】如解图,当点在直线的右侧时,过点作于点.∵,由知第130天等线等角是关键5.如图,在等腰中,,射线绕点旋转,交射线于点,,若点为射线上一点,且,连接.(1)如图(1),若,请直接写出线段之间的数量关系;(2)如图(2),若,(1)中的结论是否仍然成立?请说明理由;(3)若,点到射线的距离为1,求线段的长.5.解:(1);(2)不成立.理由如下:将绕点顺时针旋转,得到,则点落在上,.易得是顶角为的等腰三角形,∴,∴,∴中的结论不成立;(3)小鹿提示,确定的位置,还是同样的解题思路.如解图(1),当射线在内部时,将绕点顺时针旋转,得到,则点落在上,过点作于点,易得为等腰三角形,且,,∵;如解图（2）,当射线在外部时,将绕点顺时针旋转,得到,则点落在上,过点作于点,司理可得,∴.综上所述,的长为或.综合强化训练261.如图，点E是等边内部一点，以为边，在的左侧作等边，点为的中点,连接,若,则的长为.1.小手不能闲,把能做的事情做好,先让辅助线降临嘛.【解析】连接,延长至点,使,连接与均为等边三角形,∴,为的中点,∴,又∵∴,又∵,∴.2.在等腰中,.(1)如图(1),是等腰斜边上两点,且,将绕点逆时针旋转后,得到,连接.(1)求证:;(2)当时,求的长;(2)如图(2),点是等腰斜边上一点,连接,以点为直角顶点作等腰,当时,求的长.2.(1)证明:∵由旋转的性质可得,∴.∵,∴,∴.又∵(SAS);(2)解:设,则.∵.∵