金科大联考2025届高三1月质量检测数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页金科大联考2025届高三1月质量检测数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若集合A=(x|x≤1},B={x|lnx<1}，则(∁A.(0,1) B.(1,e) C.(1,+∞) D.(e,+∞)2.已知z+2z=3−i，则z(z+i)=(

)A.1+3i B.1−3i C.−1+3i D.−1−3i3.已知椭圆x2m+y2m+1=1A.3 B.2 C.1 D.04.已知平面向量a=(1,1)，b=(3,t)，若b在a方向上的投影向量为2a，则t=A.2 B.−1 C.0 D.15.已知a=log32，b=log2aA.c>b>a B.c>a>b C.a>b>c D.b>c>a6.若函数f(x)=(x−a)2(x−1)的极小值点为12，则A.1 B.−1 C.12 D.7.已知正项数列{an}的前n项积为Tn，若TnA.4049 B.4048 C.2025 D.20248.从正十边形的各顶点中任选3个，则选中的3个点能构成直角三角形的概率为(

)A.14 B.13 C.12二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.有一组样本数据x1，x2，x3，x4，其中x1<x2<x3<A.两组样本数据的极差一定相等 B.两组样本数据的平均数一定相等

C.两组样本数据的中位数可能相等 D.两组样本数据的方差可能相等10.已知函数f(x)=asinx+bcosx(ab≠0)，且f(x)≤|f(A.a=3b B.f(π3−x)是奇函数

C.f(x)的图象关于(5π11.已知棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1，空间内的动点P满足AP=xAB+yAD+zAA1，其中xA.当z=1时，P的轨迹长度为π2

B.当x=12时，四面体CBC1P的体积为定值

C.存在点P，使得AP=π4三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知α为第一象限角，若sinα=255，则13.若实数a，b满足2a−1=4b，则a−b的最小值为14.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上位于第一象限的一点，∠F1PF2四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2+b2(1)求△ABC的面积;(2)设D在边BC上，AD平分∠BAC，若AB=22BD，求16.(本小题12分)

如图，在四棱锥S−ABCD中，底面ABCD是正方形，△SCD为等边三角形，平面SCD⊥平面SAD，CD=2．

(1)证明：平面SCD⊥平面ABCD;(2)设点E为棱SC的中点，求二面角S−BD−E的余弦值．17.(本小题12分)设函数f(x)=x(ln(1)当a=2时，求f(x)的单调区间;(2)当x∈(0,e]时，f(x)≤4e3，求a18.(本小题12分)在直角坐标系xOy中，已知动圆过定点A(0,1)，且截x轴所得的弦长为2．(1)求动圆圆心的轨迹方程C;(2)B，D为曲线C上的两个动点，过B，D中点M且与y轴平行的直线交曲线C于点N，曲线C在点N处的切线交y轴于点P．(ⅰ)证明：BD//NP;(ⅱ)若点M在直线y=x上，求△BNP面积的最大值．19.(本小题12分)设n(n≥2)为正整数，集合U={1,2,3,⋯,n}，集合A={t1,t2,⋯,tm(1)若n=2，q=3，求S(A)的取值的集合;(2)证明：S(A)的所有可能取值个数为2(3)是否存在q，使得S(A)的所有可能取值从小到大排列成等差数列，若存在，求q;若不存在，说明理由．

参考答案1.B

2.C

3.A

4.D

5.B

6.D

7.A

8.B

9.BCD

10.AC

11.ABD

12.313.1

14.315.解：(1)由条件及余弦定理得，cosC=a2+b2−c22ab=22，C∈(0,π)，故C=π4．

由条件及正弦定理得，a2b=a，故ab=1．

∴△ABC的面积为S=12absin16.(1)证明：取SD的中点M，连接CM，则

因为△SCD为等边三角形，所以CM⊥SD，

因为平面SCD⊥平面SAD，平面SCD∩平面SAD=SD，

所以CM⊥平面SAD，

因为AD⊂平面SAD，

所以CM⊥AD，

因为底面ABCD是正方形，AD⊥CD，CM，CD是平面SCD内两条相交直线，

所以AD⊥平面SCD，

又AD⊂平面平面ABCD，

所以平面SCD⊥平面ABCD;

(2)解：取CD中点O，由(1)可知平面SCD⊥平面ABCD，

则SO⊥平面ABCD，

以O为坐标原点，建立如图所示空间坐标系，

则S(0,0,3)，B(2,1,0)，D(0,−1,0)，E(0,12,32)，

则SB=(2,1,−3),BD=(−2,−2,0),DE=(0,32,32)，

设平面SBD的法向量为m=(a,b,c)，则2a+b−3c=0−2a−2b=0，取a=117.解：(1)当a=2时，f(x)=x(lnx−2)2，f′(x)=lnx(lnx−2)，

∴当x∈(0,1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，

当x∈(1,e2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，

当x∈(e2,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，

∴f(x)在区间(1,e2)上单调递减，在区间(0,1)和(e2,+∞)上单调递增;

(2) f′(x)=(lnx−a) (lnx−a+2)，

令f′(x)=0，解得x=ea−2或x=ea，

∴当x∈(0,ea−2)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，

当x∈(ea−2,ea)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，

当x∈(ea,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，

∴f(x)在x=ea−218.解：(1)设动圆圆心坐标为(x,y)，

∵动圆过定点A(0,1)，截x轴所得弦长为2，

∴x2+(y−1)2=|y|2+1，

整理得x2=2y，即动圆圆心的轨迹方程C:x2=2y;

(2)(i)不妨设B(x1,y1)，D(x2,y2)，M(m,y0)，

由题满足x12=2y1x22=2y2，两式作差得(x1+x2)(x1−x2)=2(y1−y2)，

∴x1+x22=y1−y2x1−x2，即m=kBD，

∵过点M与y轴平行的直线交曲线C于点N，∴N(m,m22)，

∵C:x2=2y，即y=x22，∴y′=x，

∴kNP=m=kBD，即BD//NP;

(ii)∵M在直线y=x上，∴M(m,m)，

∵M为B，D中点，∴M在曲线C内部，19.解：(1)当n=2时，A={1}或A={2}，A={1,2}，

∴31=3，32=9，31+32=12，S(A)的可能取值为3，9，12，

∴S(A)的取值集合为{3