【数学】乘法公式(2)平方差公式2课件 2024-2025学年北师大版数学七年级下册

第一章整式的乘除1.3乘法公式(2)---平方差公式2一、平方差公式：1.字母表达式：

；2.文字叙述：。

温故知新(a＋b)(a－b)=a2－b2两数和与这两数差的积，等于它们的平方差二、公式的结构特点：左边是两个

的乘积，并且每个二项式的第一项都

；每个二项式的第二项都互为

；等号的右边是这两数的

。二项式相同相反数平方差如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形。探一探用图形验证平方差公式(1)请表示图1中阴影部分的面积。(2)小颖将图1中的阴影部分拼成了如图2所示的长方

形，如何表示这个长方形的面积？(3)比较(1)(2)的结果，你能验证平方差公式吗？解：图1阴影部分面积为a2－b2。ba－bb所以图2中长方形的面积为(a＋b)(a－b)。因为图1和图2的阴影部分面积是相等的，所以有(a＋b)(a－b)=a2－b2。即平方差公式成立。图2长方形的长为(a＋b)，宽为(a－b)。图1图2图1图1探一探(4)对于图1阴影部分的面积，你还有其他计算方法吗？图1图1b(a－b)＋a(a－b)=ab－b2＋a2－ab=a2－b2。(a－b)2＋2b(a－b)。

。例题学习

利用平方差公式进行计算：(1)103×97；(2)118×122。例3解：(1)103×97=(100＋3)×(100－3)=1002－32=10000－9=9991；(2)118×122=(120－2)×(120＋2)=1202－22=14400－4=14396。计算：(1)704×696；(2)9.9×10.1；(3)1007×993；(4)108×112。练一练解:(1)704×696=(700＋4)×(700－4)=7002－42

=490000－16=489984；

(2)9.9×10.1=(10－0.1)×(10＋0.1)=102－0.12

=100－0.01=99.99；(3)1007×993=(1000＋7)(1000－7)=10002－72=1000000－49=999951；(4)108×112=(110－2)(110＋2)=1102－22=12100－4=12096。例题学习

计算：

(1)a2(a＋b)(a－b)＋a2b2；(2)(2x－5)(2x＋5)－2x(2x－3)。

例4解:(1)a2(a＋b)(a－b)＋a2b2；(2)(2x－5)(2x＋5)－2x(2x－3).=

a2(a2－b2)＋a2b2=

a4－a2b2＋a2b2=

a4

；=

(2x)2－52－(4x2－6x)=4x2－25－4x2＋6x=

6x－25

。1.计算：(2)(x＋2y)(x－2y)＋(x＋1)(x－1)；

(3)x(x－1)－随堂练习解:(2)(x＋2y)(x－2y)＋(x＋1)(x－1)=[x2－(2y)2]＋(x2－12)=x2－4y2＋x2－1=2x2－4y2－1.(1)计算下列各组算式:

观察·思考(2)观察上述算式及其结果，你发现了什么规律？7×9=8×8=11×13=12×12=79×81=80×80=636414314463996400(3)请用字母表示你发现的规律。相邻三个整数中，最大数与最小数的积比中间一个数的平方小1。则由平方差公式可得(n－1)(n＋1)=n2－1。设这三个整数分别为n－1，n，n＋1。1.应用平方差公式可以更方便地解决问题。2.平方差公示的结构(a＋b)(a－b)=

a2－b2

。3.应用平方差公式应注意：①先观察左边式子是否符合平方差公式的特点；②确定公式里的a和b；③套用公式，得出结果。课堂小结习题1.310.(1)(an＋b)(an－b)；(2)(a＋1)(a－1)(a2＋1)。解：(1)(an＋b)(an－b)=(an)2－b2

=a2n－b2

。(2)(a＋1)(a－1)(a2＋1)=(a2－1)(a2＋1)=(a2)2－12

=a4－1。1.计算：(1)

20002－2001×1999；(2)(3mn＋1)(3mn－1)－8m2n2；随堂检测解:(1)

20002－2001×1999=20002－(2000＋1)×(2000－1)=20002－(20002－12)=20002－20002＋1=1；(2)(3mn＋1)(3mn－1)－8m2n2

=(3mn)2－12－8m2n2

=9m2n2－1－8m2n2=m2n2－1；(4)(21+1)(

22+1)(24+1)(28+1)(216+1)。(4)(21+1)(

22+1)(24+1)(28+1)(216+1)=(21-1)(21+1)(

22+1)(24+1)(28+1)(216+1)=(22-1)(

22+1)(24+1)(28+1)(216+1)=(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)=(28-1)(28+1)(216+1)=(216-1)(216+1)=232-1。2.先化简，再求值：2(3x＋1)(1－3x)＋(x－2)(2＋x)，其中x=2。

随堂检测

解：2(3x＋1)(1－3x)＋(x－2)(2＋x)

=2(1＋3x)(1－3x)＋(x－2)(x＋2)

=2(1－9x2)＋(x2－4)

=2－18x2＋x2－4

=－17x2－2

。

当x=2时，原式=－17×22－2=－17×4－2=－70。3．已知下列算式：32－12＝8＝8×1；52－32＝16＝8×2；72－52＝24＝8×3；92－72＝32＝8×4．…………(1)