2025年沪科新版高一数学下册月考试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年沪科新版高一数学下册月考试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共8题，共16分)1、函数的零点个数是（）

A.0个。

B.1个。

C.2个。

D.3个。

2、已知函数则的值为（）A.B.4C.2D.3、【题文】若函数则等于A.B.C.D.4、对于平面α，β，γ和直线a，b，m，n，下列命题中真命题是（）A.若则B.若则C.若则D.若则5、为了解某大学的学生是否爱好体育锻炼，用简单随机抽样方法在校园内调查了120位学生，得到如下2×2列联表：。男女总计爱好ab73不爱好c25总计74则a﹣b﹣c等于（）A.6B.7C.8D.96、某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续的时间为50秒，若一行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待20秒才出现绿灯的概率为（）A.B.C.D.7、两条直线ab

满足a//bb?娄脕

则a

与平面娄脕

的关系是(

)

A.a//娄脕

B.a

与娄脕

相交C.a

与娄脕

不相交D.a?娄脕

8、在边长为1

的正鈻�ABC

中，DE

是边BC

的两个三等分点(D

靠近于点B)

则AD鈫�鈰�AE鈫�

等于(

)

A.16

B.29

C.1318

D.13

评卷人得分二、填空题(共8题，共16分)9、设a=0.33，b=30.3，c=log30.3，则a，b，c的大小关系为____．10、已知圆C过点（1,0），且圆心在x轴的正半轴上，直线被圆C所截得的弦长为为则过圆心且与直线垂直的直线的方程为____________.11、若且则函数的单调递增区间是_____________；12、函数y=2sinxcosx﹣1，x∈R的值域是____．13、等比数列{an}中，a5a14=5，则a8a9a10a11=______．14、若总体中含有1650个个体，现在要采用系统抽样，从中抽取一个容量为35的样本，分段时应从总体中随机剔除______个个体，编号后应均分为______段，每段有______个个体．15、已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是______．16、两条平行直线3x鈭�2y+1=0

与6x鈭�4y鈭�2=0

之间的距离等于______．评卷人得分三、证明题(共5题，共10分)17、如图；已知AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PC切⊙O于C，AD⊥PC于D，CE⊥AB于E，求证：

（1）AD=AE

（2）PC•CE=PA•BE．18、AB是圆O的直径，CD是圆O的一条弦，AB与CD相交于E，∠AEC=45°，圆O的半径为1，求证：EC2+ED2=2．19、已知D是锐角△ABC外接圆劣弧的中点；弦AD与边BC相交于点E，而且AB：AC=2：1，AB：EC=3：1．求：

（1）EC：CB的值；

（2）cosC的值；

（3）tan的值．20、如图；已知AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PC切⊙O于C，AD⊥PC于D，CE⊥AB于E，求证：

（1）AD=AE

（2）PC•CE=PA•BE．21、AB是圆O的直径，CD是圆O的一条弦，AB与CD相交于E，∠AEC=45°，圆O的半径为1，求证：EC2+ED2=2．评卷人得分四、解答题(共3题，共30分)22、已知四棱锥P－ABCD的三视图和直观图如下：(1)求四棱锥P－ABCD的体积；(2)若E是侧棱PC上的动点，是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论．(3)若F是侧棱PA上的动点，证明：不论点F在何位置，都不可能有BF⊥平面PAD。23、【题文】（本小题满分14分）

已知函数且对恒成立．

（1）求a、b的值；

（2）若对不等式恒成立，求实数m的取值范围．

（3）记那么当时，是否存在区间（），使得函数在区间上的值域恰好为若存在，请求出区间若不存在，请说明理由．24、已知正方形的中心为（0，-1），其中一条边所在的直线方程为3x+y-2=0．求其他三条边所在的直线方程．评卷人得分五、作图题(共3题，共27分)25、如图A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A、B两村送自来水，铺设管道费用为每千米2000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设管道的费用最省，并求出其费用．26、作出函数y=的图象．27、请画出如图几何体的三视图．

评卷人得分六、综合题(共3题，共12分)28、数学课上；老师提出：

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A点的坐标为（1，0），点B在x轴上，且在点A的右侧，AB=OA，过点A和B作x轴的垂线，分别交二次函数y=x2的图象于点C和D，直线OC交BD于点M，直线CD交y轴于点H，记点C、D的横坐标分别为xC、xD，点H的纵坐标为yH．

同学发现两个结论：

①S△CMD：S梯形ABMC=2：3②数值相等关系：xC•xD=-yH

（1）请你验证结论①和结论②成立；

（2）请你研究：如果上述框中的条件“A的坐标（1；0）”改为“A的坐标（t，0）（t＞0）”，其他条件不变，结论①是否仍成立（请说明理由）；

（3）进一步研究：如果上述框中的条件“A的坐标（1，0）”改为“A的坐标（t，0）（t＞0）”，又将条件“y=x2”改为“y=ax2（a＞0）”，其他条件不变，那么xC、xD与yH有怎样的数值关系？（写出结果并说明理由）29、已知直线l1：x-y+2=0；l2：x+y-4=0，两条直线的交点为A，点B在l1上，点C在l2上，且，当B，C变化时，求过A，B，C三点的动圆形成的区域的面积大小为____．30、如图；在平面直角坐标系中，OB⊥OA，且OB=2OA，点A的坐标是（-1，2）．

（1）求点B的坐标；

（2）求过点A、O、B的抛物线的表达式．参考答案一、选择题(共8题，共16分)1、C【分析】

f（x）=0⇔ln（x+1）=

所以f（x）的零点个数即函数y=ln（x+1）与函数y=的图象的交点的个数；

作出函数y=与函数y=ln（x+1）的图象；结合函数的图可知有2个交点；

故选C．

【解析】【答案】由于f（x）=0⇔ln（x+1）=则f（x）的零点个数即函数y=ln（x+1）与函数y=的交点的个数，作出函数y=与函数y=ln（x+1）的图象；结合函数的图判断即可．

2、A【分析】【解析】试题分析：因为那么根据自变量的取值范围，分别得到对应的函数值f()=-2，同时将这个整体作为变量，继续代入第二段函数解析式中可知故可知因此选A.考点：本题主要考查了分段函数的求值的运用。【解析】【答案】A3、B【分析】【解析】

试题分析：∵∴

考点：本题考查了对数的运算。

点评：熟练掌握对数的运算法则是解决此类问题的关键【解析】【答案】B4、B【分析】【解答】由线面垂直的判定定理知，还需与相交才能得故错；由线面平行的判定定理，还需知故错；由面面平行的判定定理知，还需与相交才能得故错.所以选B.5、D【分析】【解答】根据题意；得；

c=120﹣73﹣25=22；

a=74﹣22=52；

b=73﹣52=21；

∴a﹣b﹣c=52﹣21﹣22=9．

故选：D．

【分析】根据列联表，先求出c、a和b的值，再计算a﹣b﹣c的值。6、C【分析】【解答】解：∵红灯持续时间为50秒；至少需要等待20秒才出现绿灯；

∴一名行人前30秒来到该路口遇到红灯；

∴至少需要等待20秒才出现绿灯的概率为=．

故选：C．

【分析】求出一名行人前30秒来到该路口遇到红灯，即可求出至少需要等待20秒才出现绿灯的概率．7、C【分析】解：在正方体ABCD鈭�A1B1C1D1

中，

A1B1//ABAB?

平面ABCDA1B1//

平面ABCD

AB//CDA?

平面ABCDCD?

平面ABCD

隆脿

两条直线ab

满足a//bb?娄脕

则a

与平面娄脕

的关系是a//娄脕

或a?娄脕

隆脿a

与娄脕

不相交．

故选：C

．

以正方体ABCD鈭�A1B1C1D1

为载体；列举所有情况，由此能求出a

与平面娄脕

的关系．

本题考查线面关系的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．【解析】C

8、C【分析】解：如图；

|AB鈫�|=|AC鈫�|=1<AB鈫�,AC鈫�>=60鈭�

隆脽DE

是边BC

的两个三等分点；

隆脿AD鈫�鈰�AE鈫�=(AB鈫�+13BC鈫�)鈰�(AC鈫�+13CB鈫�)=(23AB鈫�+13AC鈫�)鈰�(13AB鈫�+23AC鈫�)

=29|AB鈫�|2+59AB鈫�鈰�AC鈫�+29|AC鈫�|2=29+59隆脕1隆脕1隆脕12+29=1318

．

故选：C

．

由题意画出图形，把AD鈫�隆垄AE鈫�

分别用AB鈫�隆垄AC鈫�

表示；展开后得答案．

本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量加法、减法的三角形法则，是中档题．【解析】C

二、填空题(共8题，共16分)9、略

【分析】

∵0＜a=0.33＜0.3=1；

b=30.3＞3=1；

c=log30.3＜log31=0；

∴b＞a＞c；

故答案为：b＞a＞c．

【解析】【答案】由0＜a=0.33＜0.3=1，b=30.3＞3=1，c=log30.3＜log31=0，能比较a，b；c的大小关系．

10、略

【分析】试题分析：【解析】

设圆心坐标为其中则由题意：解得：所以圆心坐标为所求直线方程为：即：故答案填：考点：1、圆的标准方程；2、直线与圆的位置关系.【解析】【答案】11、略

【分析】【解析】试题分析：根据二次函数的对称轴性质，可知函数值相等的两个变量关于对称轴对称同时利用说明了函数与坐标轴的交点横坐标为1和2，因此那么可知展开可知b=3,c=2，因此结合绝对值函数的性质，可知在区间上递增，故答案为考点：本试题考查了函数的单调性的运用。【解析】【答案】12、[﹣2，0]【分析】【解答】解：y=2inxcosx﹣1=sin2x﹣1∵﹣1≤sin2x≤1

∴﹣2≤sin2x﹣1≤0

故答案为[﹣2；0]

【分析】利用正弦的二倍角公式对函数解析式化简得到y=sin2x﹣1，进而根据sin2x的范围求得函数的值域．13、略

【分析】解：直接根据等比数列的性质：m+n=p+q⇒am•an=ap•aq；

可得：a8a9a10a11=（a5•a14）2=25．

故答案为：25．

直接根据等比数列的性质m+n=p+q⇒am•an=ap•aq；直接代入即可求出结论．

本题主要考查等比数列的性质m+n=p+q⇒am•an=ap•aq的应用．这也是解决本题的关键．【解析】2514、略

【分析】解：学生总数不能被容量整除；根据系统抽样的方法；

故应从总体中随机剔除个体；保证整除．

∵1650÷35=475．

那么应从总体中随机剔除个体的数目是5；

编号后应均分为35段；每段有47个个体．

故答案为：5；35；47．

从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，系统抽样的前面两个步骤是：（1）将总体中的N个个体进行编号；（2）将整个编号按k分段，当为整数时，当不是整数时；从总体中剔除一些个体，使剩下的总体中的个体的个数N′能被n整除，本题中学生总数不能被容量整除，故应从总体中随机剔除个体，保证整除即可．

本题考查系统抽样，系统抽样的步骤，得到总数不能被容量整除时，应从总体中随机剔除个体，保证整除是解题的关键．【解析】5；35；4715、略

【分析】解：∵数据4.7；4.8，5.1，5.4，5.5的平均数为：

=（4.7+4.8+5.1+5.4+5.5）=5.1；

∴该组数据的方差：

S2=[（4.7-5.1）2+（4.8-5.1）2+（5.1-5.1）2+（5.4-5.1）2+（5.5-5.1）2]=0.1．

故答案为：0.1．

先求出数据4.7；4.8，5.1，5.4，5.5的平均数，由此能求出该组数据的方差．

本题考查方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差计算公式的合理运用．【解析】0.116、略

【分析】解：6x鈭�4y鈭�2=0

化为：3x鈭�2y鈭�1=0

．

隆脿

两条平行直线3x鈭�2y+1=0

与6x鈭�4y鈭�2=0

之间的距离=|鈭�1鈭�1|32+(鈭�2)2=21313

．

故答案为：21313

．

利用平行线之间的距离公式即可得出．

本题考查了平行线之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．【解析】21313

三、证明题(共5题，共10分)17、略

【分析】【分析】（1）连AC；BC；OC，如图，根据切线的性质得到OC⊥PD，而AD⊥PC，则OC∥PD，得∠ACO=∠CAD，则∠DAC=∠CAO，根据三角形相似的判定易证得Rt△ACE≌Rt△ACD；

即可得到结论；

（2）根据三角形相似的判定易证Rt△PCE∽Rt△PAD，Rt△EBC∽Rt△DCA，得到PC：PA=CE：AD，BE：CE=CD：AD，而CD=CE，即可得到结论．【解析】【解答】证明：（1）连AC、BC，OC，如图，

∵PC是⊙O的切线；

∴OC⊥PD；

而AD⊥PC；

∴OC∥PD；

∴∠ACO=∠CAD；

而∠ACO=∠OAC；

∴∠DAC=∠CAO；

又∵CE⊥AB；

∴∠AEC=90°；

∴Rt△ACE≌Rt△ACD；

∴CD=CE；AD=AE；

（2）在Rt△PCE和Rt△PAD中；∠CPE=∠APD；

∴Rt△PCE∽Rt△PAD；

∴PC：PA=CE：AD；

又∵AB为⊙O的直径；

∴∠ACB=90°；

而∠DAC=∠CAO；

∴Rt△EBC∽Rt△DCA；

∴BE：CE=CD：AD；

而CD=CE；

∴BE：CE=CE：AD；

∴BE：CE=PC：PA；

∴PC•CE=PA•BE．18、略

【分析】【分析】首先作CD关于AB的对称直线FG，由∠AEC=45°，即可证得CD⊥FG，由勾股定理即可求得CG2=CE2+ED2，然后由△OCD≌△OGF，易证得O，C，G，E四点共圆，则可求得CG2=OC2+OG2=2．继而证得EC2+ED2=2．【解析】【解答】证明：作CD关于AB的对称直线FG；

∵∠AEC=45°；

∴∠AEF=45°；

∴CD⊥FG；

∴CG2=CE2+EG2；

即CG2=CE2+ED2；

∵△OCD≌△OGF（SSS）；

∴∠OCD=∠OGF．

∴O；C，G，E四点共圆．

∴∠COG=∠CEG=90°．

∴CG2=OC2+OG2=2．

∴EC2+ED2=2．19、略

【分析】【分析】（1）求出∠BAD=∠CAD，根据角平分线性质推出=；代入求出即可；

（2）作BF⊥AC于F；求出AB=BC，根据等腰三角形性质求出AF=CF，根据三角函数的定义求出即可；

（3）BF过圆心O，作OM⊥BC于M，求出BF，根据锐角三角函数的定义求出即可．【解析】【解答】解：（1）∵弧BD=弧DC；

∴∠BAD=∠CAD；

∴；

∴．

答：EC：CB的值是．

（2）作BF⊥AC于F；

∵=，=；

∴BA=BC；

∴F为AC中点；

∴cosC==．

答：cosC的值是．

（3）BF过圆心O；作OM⊥BC于M；

由勾股定理得：BF==CF；

∴tan．

答：tan的值是．20、略

【分析】【分析】（1）连AC；BC；OC，如图，根据切线的性质得到OC⊥PD，而AD⊥PC，则OC∥PD，得∠ACO=∠CAD，则∠DAC=∠CAO，根据三角形相似的判定易证得Rt△ACE≌Rt△ACD；

即可得到结论；

（2）根据三角形相似的判定易证Rt△PCE∽Rt△PAD，Rt△EBC∽Rt△DCA，得到PC：PA=CE：AD，BE：CE=CD：AD，而CD=CE，即可得到结论．【解析】【解答】证明：（1）连AC、BC，OC，如图，

∵PC是⊙O的切线；

∴OC⊥PD；

而AD⊥PC；

∴OC∥PD；

∴∠ACO=∠CAD；

而∠ACO=∠OAC；

∴∠DAC=∠CAO；

又∵CE⊥AB；

∴∠AEC=90°；

∴Rt△ACE≌Rt△ACD；

∴CD=CE；AD=AE；

（2）在Rt△PCE和Rt△PAD中；∠CPE=∠APD；

∴Rt△PCE∽Rt△PAD；

∴PC：PA=CE：AD；

又∵AB为⊙O的直径；

∴∠ACB=90°；

而∠DAC=∠CAO；

∴Rt△EBC∽Rt△DCA；

∴BE：CE=CD：AD；

而CD=CE；

∴BE：CE=CE：AD；

∴BE：CE=PC：PA；

∴PC•CE=PA•BE．21、略

【分析】【分析】首先作CD关于AB的对称直线FG，由∠AEC=45°，即可证得CD⊥FG，由勾股定理即可求得CG2=CE2+ED2，然后由△OCD≌△OGF，易证得O，C，G，E四点共圆，则可求得CG2=OC2+OG2=2．继而证得EC2+ED2=2．【解析】【解答】证明：作CD关于AB的对称直线FG；

∵∠AEC=45°；

∴∠AEF=45°；

∴CD⊥FG；

∴CG2=CE2+EG2；

即CG2=CE2+ED2；

∵△OCD≌△OGF（SSS）；

∴∠OCD=∠OGF．

∴O；C，G，E四点共圆．

∴∠COG=∠CEG=90°．

∴CG2=OC2+OG2=2．

∴EC2+ED2=2．四、解答题(共3题，共30分)22、略

【分析】【解析】试题分析：(1)由三视图可知，四棱锥中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，PC＝2，∴VP－ABCD＝·PC·S底＝×2×1＝3分(2)不论点E在何位置，都有BD⊥AE成立．4分连接AC，∵BD⊥AC，BD⊥PC，且∴BD⊥平面PAC，7分当E在PC上运动时，∴BD⊥AE恒成立．8分（3）用反证法：假设BF⊥平面PAD，9分又11分12分这与Rt△PAD中∠PDA为锐角矛盾．∴BE不可能垂直于平面SCD13分考点：锥体体积及线线垂直线面垂直的判定【解析】【答案】(1)(2)不论点E在何位置，都有BD⊥AE成立(3)假设BF⊥平面PAD，这与Rt△PAD中∠PDA为锐角矛盾．∴BE不可能垂直于平面SCD23、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】解．令则对有解．

记则或解得．

21．解析：（1）由得或．于是，当或时，得

∴∴此时，对恒成立，满足条件．故．

（2）∵对恒成立，∴对恒成立．

记．∵∴∴由对勾函数在上的图象知当即时，∴．

（3）∵∴∴又∵∴∴∴在上是单调增函数，∴即即∵且故：当时，当时，当时，不存在．24、略

【分析】

设出直线方程根据点到直线的距离相等；求出待定系数，从而得到其它三边所在的直线方程．

本题考查求两直线的交点的坐标，点到直线的距离公式的应用，两直线平行、垂直的性质，属于基础题．【解析】解：设其中一条边为3x+y+D=0；

则=解得D=4或-2（舍）

∴3x+y+4=0；

设另外两边为x-3y+E=0，则=

解得E=0或-6；∴x-3y=0或x-3y-6=0

∴其他三边所在直线方程分别为；

3x+y+4=0，x-3y=0，x-3y-6=0．五、作图题(共3题，共27分)25、略

【分析】【分析】作点A关于河CD的对称点A′，当水厂位置O在线段AA′上时，铺设管道的费用最省．【解析】【解答】解：作点A关于河CD的对称点A′；连接A′B，交CD与点O，则点O即为水厂位置，此时铺设的管道长度为OA+OB．

∵点A与点A′关于CD对称；

∴OA′=OA；A′C=AC=1；

∴OA+OB=OA′+OB=A′B．

过点A′作A′E⊥BE于E；则∠A′EB=90°，A′E=CD=3，BE=BD+DE=3+1=4；

∴在Rt△A′BE中，A′B==5（千米）；

∴2000×5=10000（元）．

答：铺设管道的最省费用为10000元．26、【解答】图象如图所示。

【分析】【分析】描点画图即可27、解：如图所示：

【分析】【分析】由几何体是圆柱上面放一个圆锥，从正面，左面，上面看几何体分别得到的图形分别是长方形上边加一个三角形，长方形上边加一个三角形，圆加一点．六、综合题(共3题，共12分)28、略

【分析】【分析】（1）可先根据AB=OA得出B点的坐标；然后根据抛物线的解析式和A，B的坐标得出C，D两点的坐标，再依据C点的坐标求出直线OC的解析式．进而可求出M点的坐标，然后根据C；D两点的坐标求出直线CD的解析式进而求出D点的坐标，然后可根据这些点的坐标进行求解即可；

（2）（3）的解法同（1）完全一样．【解析】【解答】解：（1）由已知可得点B的坐标为（2；0），点C坐标为（1，1），点D的坐标为（2，4）；

由点C坐标为（1；1）易得直线OC的函数解析式为y=x；

故点M的坐标为（2；2）；

所以S△CMD=1，S梯形ABMC=

所以S△CMD：S梯形ABMC=2：3；

即结论①成立．

设直线CD的函数解析式为y=kx+b；

则；

解得

所以直线CD的函数解析式为y=3x-2．

由上述可得，点H的坐标为（0，-2），yH=-2

因为xC•xD=2；

所以xC•xD=-yH；

即结论②成立；

（2）（1）的结论仍然成立．

理由：当A的坐标（t；0）（t＞0）时，点B的坐标为（2t，0），点C坐