2025年春新湘教版数学七年级下册课件 第4章 平面内的两条直线 4.5 垂线 第2课时 垂线段与点到直线的距离

垂线段与点到直线的距离湘教版·七年级数学下册④情境导入在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖掘能使渠道最短？河问题1：如图，任画一条直线l，作l的垂线.这样的垂线能画出几条？可以画无数条新课探究问题2：任画一条直线l，用三角板或量角器过任意一点P

画直线l

的垂线.(1)若直线l

经过点P

，这样的垂线能画几条？可以画一条一“靠”二“过”三“画”(2)若直线l

不经过点P

，这样的垂线能画几条？可以画一条b根据以上操作，你能得出什么结论?问题2：任画一条直线l，用三角板或量角器过任意一点P

画直线l

的垂线.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

b注意:①“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外.②“有且只有”中,“有”指存在，“只有”指唯一性.如图，设PO垂直于直线l，O为垂足，线段PO叫作点P到直线l的垂线段．经过点P的其他直线分别交直线l于A，B，C，D···，线段PA，PB，PC，PD，···都不是垂线段，称为斜线段．垂线段是垂线上的一部分，它是线段，一端是一个点，另一端是垂足.①用刻度尺量，发现垂线段PO

最短.说一说比较图中PA，PB，PO，PC，PD

五条线段的长度，哪条线段最短？②用圆规比较垂线段PO和斜线段PA，PB，PC，PD

的长度，可知线段PO最短.从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离.简单说成：垂线段最短．如图：垂线段PO的长度叫作点P到直线l的距离.特别规定：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.(1)量出图中点P

到直线AB

的距离.做一做(2)某单位要在河岸l

上建一个水泵房引水到C处，

如图，问建在哪个位置才最节省水管？为什么？如图，垂线段最短．做一做(3)由(1)(2)你会发现可以怎样求点到直线的距离？做一做求点到直线的距离可以转化为求点到点的距离.如图，在△ABC

中，∠ABC=90°，BD⊥AC，垂足为点D，AB=5，BC=12，AC=13.求：(1)点A

到直线BC的距离；解：

因为∠ABC=90°，所以AB⊥BC，点B为垂足，所以线段AB即为点A

到直线BC的垂线段.因为AB=5，所以点A到直线BC的距离为5.解：因为BD⊥AC，垂足为点D，所以线段BD

的长度即为点B

到直线AC

的距离.等面积法因为S△ABC=·BC·AB=·AC·BD,所以BD=.所以点B到直线AC的距离为.如图，在△ABC

中，∠ABC=90°，BD⊥AC，垂足为点D，AB=5，BC=12，AC=13.求：(2)点B

到直线AC

的距离.[选自教材P118练习]1.如图，在△ABC

中，∠A=90°，AB=3，AC=4，BC=5，求点A到BC

的距离，点C

到AB

的距离.解:作AD⊥BC，垂足为点D.D所以线段AD

的长度即为点A

到直线BC

的距离.因为S△ABC=·AC·AB=·BC·AD,所以AD=.因为∠BAC=90°，所以AC⊥AB，点A为垂足，所以线段AC

的长度即为点C到直线AB

的距离，则距离为4.[选自教材P118练习]提示:用直尺量出图中点P到各直线的距离,再按比例尺换算成实际距离.2.某公园的

4条纵横交错的人行道和一喷泉的示意图如图所示（比例尺为：1∶5000），其中直线a，b，c，d表示人行道，点P表示喷泉.

量出点P

到4条直线的距离，并求出其实际距离．3．如图，体育课上应该怎样测量同学们的跳远成绩？解:体育课上，测量同学们的跳远成绩的方法:先分别过落地点作起跳线的垂线，然后分别量取这些落地点到起跳线的垂线段的长度，这些长度就分别是同学们各自的跳远成绩.[选自教材P118练习]1.如图，①过点

Q

作

QD⊥AB，垂足为

D，②过点

P

作

PE⊥AB，垂足为

E，③过点

Q

作

QF⊥AC，垂足为

F，④连

P、Q

两点，⑤

P、Q

两点间的距离是线段______的长度，⑥点

Q到直线

AB

的距离是线段_______的长度，⑦点

Q

到直线

AC

的距离是线段_______的长度，⑧点P到直线AB的距离是线段________的长度.解：①②③④

作图如图所示PQQDQFPE随堂演练2.如图，∠C=90°，AB=5，AC=4，BC=3，则点

A

到直线

BC

的距离为_____，点

B

到直线

AC

的距离为______，点A、B间的距离为______.4353.如图所示，火车站、码头分别位于A，B两点，直线

a和

b分别表示河流与铁路.(1)从火车站到码头怎样走最近，画图并说明理由；(2)从码头到铁路怎样走最近，画图并说明理由；(3)从火车站到河流怎样走最近，画图并说明理由.解：如图所示:(1)沿AB走，两点之间线段最短；(2)沿

BD走，垂线段最短；(3)沿

AC走，垂线段最短.火车站码头河流铁路4.如图所示，已知∠AOB=∠COD=90°，(1)若∠BOC=45°，求∠AOC与∠BOD的度数；(2)若∠BOC=25°，求∠AOC与∠BOD的度数；(3)由(1)、(2)你能得出什么结论？说说其中的道理.解：(1)因为∠AOB=∠COD=90°，且∠BOC=45°，所以∠AOC=∠AOB-∠BOC=45°，∠BOD=∠COD-∠BOC=45°.(2)因为∠AOB=∠COD=90°，且∠BOC=25°，所以∠AOC=∠AOB-∠BOC=65°，∠BOD=∠COD-∠BOC=65°.(3)∠AOC=∠BOD，等角的余角相等.5.如图，OF

平分∠AOC，OE⊥OF，AB与

CD相交于

O，∠BOD=130°，求∠EOB的度数.解：因为∠AOC=∠BOD，∠BOD=130°，所以∠AOC=130°.因为OF平分∠AOC，所以∠AOF=∠FOC=65°.因为OE⊥OF，所以∠EOF=90°.所以∠BOE=180°-∠AOF