2025年沪科版高一数学上册阶段测试试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年沪科版高一数学上册阶段测试试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、tanx=x∈（0，π），则x=（）

A.

B.

C.

D.arttan

2、正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都是1，E，F分别为AB，A1C1的中点；则EF的长是（）

A.1

B.

C.

D.

3、如图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（）A.i>10？B.i<10？C.i>20？D.i<20？4、【题文】一个棱锥的三视图如右图所示；则它的体积为（）

A.B.C.1D.5、【题文】在正方体中，分别是的中点，则异面直线与所成角的大小是（）A.B.C.D.6、【题文】设在上存在使得则的取值范围（）

ABCD7、已知a，b为两条直线；α，β为两个平面，下列四个命题。

①a∥b，a∥α⇒b∥α；②a⊥b，a⊥α⇒b∥α；

③a∥α；β∥α⇒a∥β；④a⊥α，β⊥α⇒a∥β；

其中不正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个8、设P、Q为两个非空实数集合，定义集合M={x|x=a+b，a∈P，b∈Q}，若P={0，2，5}Q={1，2，6}，则集合M中元素的个数是（）A.9B.8C.7D.69、x=（a+3）（a-5）与y=（a+2）（a-4）的大小关系是（）A.x＞yB.x=yC.x＜yD.不能确定评卷人得分二、填空题(共9题，共18分)10、已知是定义在R上的偶函数，并满足当则__________．11、若点P（sinθcosθ，2cosθ）位于第三象限，则角θ是第____象限的角．12、观察以下各式：分析以上各式的共同特点，则具有一般规律的等式为________________．13、某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10，6，8，5，6，则该组数据的方差______.14、【题文】已知圆C的圆心在轴上，曲线在点处的切线恰与圆C在点处相切，则圆C的方程为____．15、【题文】如果函数在区间上是增函数，那么实数的取值范围是____．16、【题文】集合集合满足，则实数的范围是_______________17、【题文】已知一个三棱锥的所有棱长均相等，且表现积为则其体积为____。18、已知空间点A（x，1，2）和点B（2，3，4），且|AB|=2则点A的坐标为______．评卷人得分三、证明题(共6题，共12分)19、如图；已知AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PC切⊙O于C，AD⊥PC于D，CE⊥AB于E，求证：

（1）AD=AE

（2）PC•CE=PA•BE．20、已知D是锐角△ABC外接圆劣弧的中点；弦AD与边BC相交于点E，而且AB：AC=2：1，AB：EC=3：1．求：

（1）EC：CB的值；

（2）cosC的值；

（3）tan的值．21、如图；在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E为AD的中点，DF⊥BE，垂足为F，CF交AD于点G．

求证：（1）∠CFD=∠CAD；

（2）EG＜EF．22、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．23、已知G是△ABC的重心，过A、G的圆与BG切于G，CG的延长线交圆于D，求证：AG2=GC•GD．24、已知ABCD四点共圆，AB与DC相交于点E，AD与BC交于F，∠E的平分线EX与∠F的平分线FX交于X，M、N分别是AC与BD的中点，求证：（1）FX⊥EX；（2）FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．评卷人得分四、作图题(共1题，共4分)25、作出下列函数图象：y=评卷人得分五、解答题(共2题，共16分)26、已知函数f（x）=lg（x+1）；g（x）=lg（1-x）．

（Ⅰ）求函数f（x）+g（x）的定义域；

（Ⅱ）判断函数f（x）+g（x）的奇偶性；并说明理由；

（Ⅲ）判断函数f（x）+g（x）在区间（0，1）上的单调性，并加以证明．27、已知数列{an}满足an+1+an=4n-3，n∈N*

（1）若数列{an}是等差数列，求a1的值；

（2）当a1=-3时，求数列{an}的前n项和Sn；

（3）若对任意的n∈N*，都有≥5成立，求a1的取值范围．参考答案一、选择题(共9题，共18分)1、D【分析】

因为tanx=x∈（0，π）；

所以x=arctan．

故选D．

【解析】【答案】通过三角函数值以及角的范围；直接利用反三角函数求出角x即可．

2、C【分析】

取AC的中点O；连接OE，OF；

∵正三棱柱ABC-A1B1C1中，F为A1C1的中点。

∴FO⊥平面ABC

∵EO⊂平面ABC

∴FO⊥EO

∵正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都是1；E为AB的中点；

∴OE=

在直角三角形EOF中，FO=1，OE=

∴EF=

故选C．

【解析】【答案】取AC的中点O；连接OE，OF，分别计算OE，OF的长，再利用各勾股定理求EF的长．

3、A【分析】【解析】

根据框图，i-1表示加的项数当加到120时，总共经过了10次运算，则不能超过10次，i-1=10执行“是”所以判断框中的条件是“i＞10”故选A【解析】【答案】A4、A【分析】【解析】

试题分析：由三视图可知几何体是四棱锥，底面是直角梯形，上底为2、下底为4、高为1，一条侧棱垂直底面，长度是1，该几何体的体积是：．故选A．

考点：由三视图求面积、体积．【解析】【答案】Ａ5、D【分析】【解析】

试题分析：连接交DN于点E，由题意知所以所以即所以因为所以因为所以因为所以所以异面直线与所成角的是

考点：线面垂直的判定定理，异面直线所成角。【解析】【答案】D6、B【分析】【解析】略【解析】【答案】B7、D【分析】【解答】解：对于①、②结论中还可能b⊂α；所以①；②不正确．

对于③；④结论中还可能a⊂β；所以③、④不正确．

故选：D

【分析】根据线面平行的判定定理，利用排除法排除错误的命题，从而找出正确的选项8、B【分析】解：a=0，b=1，a+b=1；

a=0，b=2，a+b=2；

a=0，b=6，a+b=6；

a=2，b=1，a+b=3；

a=2，b=2，a+b=4；

a=2，b=6，a+b=8；

a=5，b=1，a+b=6；

a=5，b=2，a+b=7；

a=5，b=6，a+b=11；

∴集合M中元素的个数为8．

故选B．

根据已知条件写出M的所有元素即可．

考查元素与集合的关系，描述法表示集合，集合元素的互异性．【解析】【答案】B9、C【分析】解：∵x-y=（a+3）（a-5）-（a+2）（a-4）

=（a2-2a-15）-（a2-2a-8）

=-7＜0；

∴x＜y．

故选：C．

利用作差法；即可判定两个代数式的大小．

本题考查了利用作差法比较两个代数式的大小问题，基本步骤是作差、判正负、得结论，是基础题．【解析】【答案】C二、填空题(共9题，共18分)10、略

【分析】【解析】试题分析：由可得∵函数f（x）是R上的偶函数，∴∴∵∴即．考点：考查了函数性质的应用．【解析】【答案】11、略

【分析】

∵点P（sinθcosθ；2cosθ）位于第三象限；

∴sinθcosθ＜0

2cosθ＜0；

∴sinθ＞0；

cosθ＜0

∴θ是第二象限的角．

故答案为：二．

【解析】【答案】根据所给的点在第三象限；写出这个点的横标和纵标都小于0，根据这两个都小于0，得到角的正弦值大于0，余弦值小于0，得到角是第二象限的角．

12、略

【分析】试题分析：由已知得到两角差形式一样所以得到考点：归纳推理【解析】【答案】13、略

【分析】试题分析：由平均数及方差的定义可得考点：样本数据的数字特征：平均值与方差.【解析】【答案】3.214、略

【分析】【解析】

试题分析：即所以曲线在点处的切线的斜率为2，切线方程为2x－y－2=0.设圆心为（a，0），半径为r，则有解得a=6,r=故圆C的方程为

考点：本题主要考查导数的几何意义；圆的标准方程，直线与圆的位置关系。

点评：综合题，把抛物线方程看成函数，利用导数可求得切线方程，进而利用圆的性质求得圆的半径、圆心坐标。【解析】【答案】15、略

【分析】【解析】因为函数y=ax（ax-4a2-1）（a＞0且a≠1）可以看作是关于ax的二次函数；

若a＞1，则y=ax是增函数；原函数在区间[0，+∞）上是增函数，要求对称轴小于等于零，不符合舍去。

若0＜a＜1，则y=ax是减函数；原函数在区间[0，+∞）上是增函数；

则要求当t=ax（0＜t＜1）时；

y=t2-（3a2+1）t在t∈（0，1）上为减函数，要求对称轴大于等于1，可知a的范围为【解析】【答案】16、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】17、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】18、略

【分析】解：空间点A（x，1，2）和点B（2，3，4），且|AB|=2

可得=

解得x=6或-2；

A的坐标（6；1，2）或（-2，1，2）

故答案为：（6；1，2）或（-2，1，2）．

直接利用空间距离公式求解即可．

本题考查空间两点间距离公式的应用，考查计算能力．【解析】（6，1，2）或（-2，1，2）三、证明题(共6题，共12分)19、略

【分析】【分析】（1）连AC；BC；OC，如图，根据切线的性质得到OC⊥PD，而AD⊥PC，则OC∥PD，得∠ACO=∠CAD，则∠DAC=∠CAO，根据三角形相似的判定易证得Rt△ACE≌Rt△ACD；

即可得到结论；

（2）根据三角形相似的判定易证Rt△PCE∽Rt△PAD，Rt△EBC∽Rt△DCA，得到PC：PA=CE：AD，BE：CE=CD：AD，而CD=CE，即可得到结论．【解析】【解答】证明：（1）连AC、BC，OC，如图，

∵PC是⊙O的切线；

∴OC⊥PD；

而AD⊥PC；

∴OC∥PD；

∴∠ACO=∠CAD；

而∠ACO=∠OAC；

∴∠DAC=∠CAO；

又∵CE⊥AB；

∴∠AEC=90°；

∴Rt△ACE≌Rt△ACD；

∴CD=CE；AD=AE；

（2）在Rt△PCE和Rt△PAD中；∠CPE=∠APD；

∴Rt△PCE∽Rt△PAD；

∴PC：PA=CE：AD；

又∵AB为⊙O的直径；

∴∠ACB=90°；

而∠DAC=∠CAO；

∴Rt△EBC∽Rt△DCA；

∴BE：CE=CD：AD；

而CD=CE；

∴BE：CE=CE：AD；

∴BE：CE=PC：PA；

∴PC•CE=PA•BE．20、略

【分析】【分析】（1）求出∠BAD=∠CAD，根据角平分线性质推出=；代入求出即可；

（2）作BF⊥AC于F；求出AB=BC，根据等腰三角形性质求出AF=CF，根据三角函数的定义求出即可；

（3）BF过圆心O，作OM⊥BC于M，求出BF，根据锐角三角函数的定义求出即可．【解析】【解答】解：（1）∵弧BD=弧DC；

∴∠BAD=∠CAD；

∴；

∴．

答：EC：CB的值是．

（2）作BF⊥AC于F；

∵=，=；

∴BA=BC；

∴F为AC中点；

∴cosC==．

答：cosC的值是．

（3）BF过圆心O；作OM⊥BC于M；

由勾股定理得：BF==CF；

∴tan．

答：tan的值是．21、略

【分析】【分析】（1）连接AF，并延长交BC于N，根据相似三角形的判定定理证△BDF∽△DEF，推出，=；再证△CDF∽△AEF，推出∠CFD=∠AFE，证出A；F、D、C四点共圆即可；

（2）根据已知推出∠EFG=∠ABD，证F、N、D、G四点共圆，推出∠EGF=∠AND，根据三角形的外角性质推出∠EGF＞∠EFG即可．【解析】【解答】（1）证明：连接AF，并延长交BC于N，

∵AD⊥BC；DF⊥BE；

∴∠DFE=∠ADB；

∴∠BDF=∠DEF；

∵BD=DC；DE=AE；

∵∠BDF=∠DEF；∠EFD=∠BFD=90°；

∴△BDF∽△DEF；

∴=；

则=；

∵∠AEF=∠CDF；

∴△CDF∽△AEF；

∴∠CFD=∠AFE；

∴∠CFD+∠AEF=90°；

∴∠AFE+∠CFE=90°；

∴∠ADC=∠AFC=90°；

∴A；F、D、C四点共圆；

∴∠CFD=∠CAD．

（2）证明：∵∠BAD+∠ABD=90°；∠CFD+∠EFG=∠EFD=90°，∠CFD=∠CAD=∠BAD；

∴∠EFG=∠ABD；

∵CF⊥AD；AD⊥BC；

∴F；N、D、G四点共圆；

∴∠EGF=∠AND；

∵∠AND＞∠ABD；∠EFG=∠ABD；

∴∠EGF＞∠EFG；

∴DG＜EF．22、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．23、略

【分析】【分析】构造以重心G为顶点的平行四边形GBFC，并巧用A、D、F、C四点共圆巧证乘积．延长GP至F，使PF=PG，连接FB、FC、AD．因G是重心，故AG=2GP．因GBFC是平行四边形，故GF=2GP．从而AG=GF．又∠1=∠2=∠3=∠D，故A、D、F、C四点共圆，从而GA、GF=GC•GD．于是GA2=GC•GD．【解析】【解答】证明：延长GP至F；使PF=PG，连接AD，BF，CF；

∵G是△ABC的重心；

∴AG=2GP；BP=PC；

∵PF=PG；

∴四边形GBFC是平行四边形；

∴GF=2GP；

∴AG=GF；

∵BG∥CF；

∴∠1=∠2

∵过A；G的圆与BG切于G；

∴∠3=∠D；

又∠2=∠3；

∴∠1=∠2=∠3=∠D；

∴A；D、F、C四点共圆；

∴GA；GF=GC•GD；

即GA2=GC•GD．24、略

【分析】【分析】（1）在△FDC中；由三角形的外角性质知∠FDC=∠FAE+∠AED①，同理可得∠EBC=∠FAE+∠AFB②；由于四边形ABCD内接于圆，则∠FDC=∠ABC，即∠FDC+∠EBC=180°，联立①②，即可证得∠AFB+∠AED+2∠FAE=180°，而FX；EX分别是∠AFB和∠AED的角平分线，等量代换后可证得∠AFX+∠AEX+∠FAE=90°；可连接AX，此时发现∠FXE正好是∠AFX、∠AEX、∠FAE的和，由此可证得∠FXE是直角，即FX⊥EX；

（2）由已知易得∠AFX=∠BFX，欲证∠MFX=∠NFX，必须先证得∠AFM=∠BFN，可通过相似三角形来实现；首先连接FM、FN，易证得△FCA∽△FDB，可得到FA：FB=AC：BD，而AC=2AM，BD=2BN，通过等量代换，可求得FA：FB=AM：BN，再加上由圆周角定理得到的∠FAM=∠FBN，即可证得△FAM∽△FBN，由此可得到∠AFM=∠BFN，进一步可证得∠MFX=∠NFX，即FX平分∠MFN，同理可证得EX是∠MEN的角平分线．【解析】【解答】证明：（1）连接AX；

由图知：∠FDC是△ACD的一个外角；

则有：∠FDC=∠FAE+∠AED；①

同理；得：∠EBC=∠FAE+∠AFB；②

∵四边形ABCD是圆的内接四边形；

∴∠FDC=∠ABC；

又∵∠ABC+∠EBC=180°；即：∠FDC+∠EBC=180°；③

①+②；得：∠FDC+∠EBC=2∠FAE+（∠AED+∠AFB）；

由③；得：2∠FAE+（∠AED+∠AFB）=180°；

∵FX；EX分别是∠AFB、∠AED的角平分线；

∴∠AFB=2∠AFX；∠AED=2∠AEX，代入上式得：

2∠FAE+2（∠AFX+∠AEX）=180°；

即∠FAE+∠AFX+∠AEX=180°；

由三角形的外角性质知：∠FXE=∠FAE+∠FAX+∠EAX；

故FXE=90°；即FX⊥EX．

（2）连接MF；FN；ME、NE；

∵∠FAC=∠FBD；∠DFB=∠CFA；

∴△FCA∽△FDB；

∴；

∵AC=2AM；BD=2BN；

∴；

又∵∠FAM=∠FBN；

∴△FAM∽△FBNA；得∠AFM=∠BFN；

又∵∠AFX=∠BFX；

∴∠AFX-∠AFM=∠BFX-∠BFN；即∠MFX=∠NFX；

同理可证得∠NEX=∠MEX；

故FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．四、作图题(共1题，共4分)25、【解答】幂函数y={#mathml#}x32

{#/mathml#}的定义域是[0；+∞），图象在第一象限，过原点且单调递增，如图所示；

【分析】【分析】根据幂函数的图象与性质，分别画出题目中的函数图象即可．五、解答题(共2题，共16分)26、略

【分析】

（Ⅰ）由可得函数f（x）+g（x）的定义域；

（Ⅱ）根据F（-x）=F（x）；可得：函数F（x）是偶函数。

（Ⅲ）F（x）=f（x）+g（x）在区间（0；1）上是减函数，作差可证明结论．

本题考查的知识点是函数的定义域，函数的奇偶性，函数的单调性，难度中档．【解析】（Ⅰ）解：要函数有意义，则（2分）

∴-1＜x＜1；

即函数的定义域为（-1；1）（4分）

（Ⅱ）解：令F（x）=f（x）+g（x）=lg（x+1）+lg（1-x）=lg（1-x2）．

由（1）得函数定义域关于原点对称。

又F（-x）=F（x）；

∴函数F（x）是偶函数．（6分）

（Ⅲ）解：F（x）=f（x）+g（x）在区间（0；1）上是减函数；

理由如下：

设x1、x2∈（0，1），x1＜x2；

则即＞1；

∴F（x1）-F（x2）=lg（1-x12）-lg（1-x22）=lg＞0．

即F（x1）＞F（x2）

∴F（x）=f（x）+g（x）在区间（0，1）上是减函数．（12分）27、略

【分析】

（1）由an+1+an=4n-3，n∈N*，可得a2+a1=1，a3+a2=5，相减可得a3-a1=5-1=4，设等差数列{an}的公差为d；可得2d=4，解得d．

（2）由an+1+an=4