2025年湘教版高二数学上册月考试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年湘教版高二数学上册月考试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共8题，共16分)1、“”是“函数在处有极值”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2、若对所有正数x，y，不等式都成立；则a的最小值是（）

A.

B.2

C.

D.8

3、如下图所示向边长为2的正方形内随机地投飞镖；飞镖都能投入正方形内，且投到每个点的可能性相等，则飞镖落在阴影部分的概率是（）

A.

B.

C.

D.

4、已知向量=（1，2），=（x，4），若||=2||；则x的值为（）

A.2

B.4

C.±2

D.±4

5、若直线l经过点且倾斜角为30°，则直线l的方程是（）

A.

B.

C.

D.

6、下列命题中真命题是（）①②命题“”的否定是“”③“若”的逆否命题是真命题④若命题命题则命题是真命题。A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④7、设Sn为数列{an}的前n项和且Sn=则=（）A.B.C.D.308、用反证法证明命题：“a+b=1，c+d=1，且ac+bd>1，则a,b,c,d中至少有一个负数”时的假设为()A.a,b,c,d中至少有一个正数B.a,b,c,d全为正数C.a,b,c,d全都大于等于0D.a,b,c,d中至多有一个负数评卷人得分二、填空题(共6题，共12分)9、命题：∀x∈R，x＞0的否定是____．10、以正方形ABCD的相对顶点A、C为焦点的椭圆，恰好过正方形四边的中点，则该椭圆的离心率为____；设F1和F2为双曲线（a＞0，b＞0）的两个焦点，若F1，F2，P（0，2b）是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为____；经过抛物线y=的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若y1+y2=5，则线段AB的长等于____．11、如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD=OB，CD与⊙O切于C，那么∠CAB═____．

12、下列命题中，真命题的序号是．①中，②数列的前n项和则数列是等差数列．③锐角三角形的三边长分别为3，4，则的取值范围是．④等差数列前n项和为已知则m=10．13、【题文】阅读图4的程序框图；若输入m=4,n=3,则输出a=______,i=________。

（注：框图中的赋值符号“＝”，也可以写成“←”或“：＝”）14、已知复数z满足|z-3-4i|=2，则|z|的最大值为______．评卷人得分三、作图题(共6题，共12分)15、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

16、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）17、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）18、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

19、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）20、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共2题，共4分)21、已知圆心在x轴正半轴上的圆C与直线5x+12y+21=0相切；与y轴交于M，N两点，且∠MCN=120°．

（1）求圆C的标准方程；

（2）过点P（0，2）的直线l与圆C交于不同的两点A，B，若设点G为△MNG的重心，当△MNG的面积为时，求直线l的方程．22、已知a鈫�=(1,2)b鈫�=(3,1)c鈫�=b鈫�鈭�ka鈫�

且a鈫�隆脥c鈫�

．

(1)

求向量b鈫�

在向量a鈫�

的方向上的投影；

(2)

求实数k

的值及向量c鈫�

的坐标．评卷人得分五、计算题(共4题，共12分)23、已知等式在实数范围内成立，那么x的值为____．24、1.（本小题满分12分）已知函数在处取得极值.(1)求实数a的值；(2)若关于x的方程在[，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；(3)证明：(参考数据：ln2≈0.6931).25、1.（本小题满分12分）已知数列满足且（）。（1）求的值；（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明。26、解不等式组：．评卷人得分六、综合题(共1题，共4分)27、已知Sn为等差数列{an}的前n项和，S6=51，a5=13．参考答案一、选择题(共8题，共16分)1、B【分析】试题分析：时，的左右两边的导数值符号相异，即原函数在左右两边单调性相反，才是极值点，反过来，函数在处有极值，则选择考点:导数与极值；【解析】【答案】B2、A【分析】

x，y为正数，由x2+y2≥2xy；

得2（x2+y2）≥（x+y）2，所以≥x+y．

⇔≤a；

又≤=

所以a即a的最小值为．

故选A．

【解析】【答案】不等式⇔≤a，只需用不等式求的最大值即可．

3、B【分析】

观察这个图可知：阴影部分是一个小三角形；

在直线AB的方程为6x-3y-4=0中；

令x=1得A（1，）；

令y=-1得B（-1）．

∴三角形ABC的面积为s=AC×BC=×（1+）（1-）=

则飞镖落在阴影部分（三角形ABC的内部）的概率是：

P===．

故选B．

【解析】【答案】根据几何概率的求法：镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．

4、C【分析】

∵=（1，2），=（x，4），||=2||；

∴=2

∴x=±2；

故选C．

【解析】【答案】由||=2||得到=2平方后可求得x的值．

5、B【分析】

直线l的斜率等于tan30°=

由点斜式求得直线l的方程为y+3=（x-）；

故选B．

【解析】【答案】根据直线的倾斜角和斜率的关系求出直线的斜率；用点斜式求得直线l的方程．

6、A【分析】【解析】试题分析：对于①该命题中可以转化为恒成立。故成立。②命题“”的否定是“”满足特称命题的否定，成立。③“若”的逆否命题的真假，就是看原命题的真值，结合不等式的性质可知，取倒数故成立。④若命题是真命题，而对于命题是真命题，则命题是假命题，故错误，选A考点：命题的真值【解析】【答案】A7、D【分析】【解答】∵数列{an}的前n项和Sn=

∴

∴．

故选：D．

【分析】a5=S5﹣S4，由此能求出结果．8、C【分析】【解答】“至少有一个负数”包括有一个或两个或三个复数，它的反面是全不是复数，所以应假设为全都大于等于0.

【分析】应用反证法时，应该假设结论不成立或假设结论的反面成立.二、填空题(共6题，共12分)9、略

【分析】

因为命题是全称命题；根据全称命题的否定是特称命题；

所以命题的否定：∃x∈R；x≤0．

故答案为：∃x∈R；x≤0．

【解析】【答案】利用全称命题的否定是特称命题；去判断．

10、略

【分析】

设正方形边长为2；设正方形中心为原点。

则椭圆方程为

且c=

∴a2-b2=c2=2①

正方形BC边的中点坐标为（）

代入方程得到②

联立①②解得a=

∴e==

如图，∵=tan60°；

∴=

∴4b2=3c2，

∴4（c2-a2）=3c2；

∴c2=4a2；

∴e==2；

经过抛物线y=的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则|AB|=y1+y2+2

∵y1+y2=5；∴|AB|=7

故答案为：2，7．

【解析】【答案】设正方形边长为2，设正方形中心为原点，设椭圆的标准方程，则可知c，的a和b的关系式，进而求得BC的中点坐标代入椭圆方程，得到a和b的另一关系式，最后联立求得a，则椭圆的离心率可得；画出图形，可得=从而可求双曲线的离心率；利用抛物线的定义，即可确定AB的长．

11、略

【分析】

连接OC；BC．

∵CD是切线；

∴OC⊥CD．

∵BD=OB；

∴BC=OB=OC．

∴∠ABC=60°．

∵AB是直径；

∴∠ACB=90°；

∴∠CAB=30°

故答案为：30°

【解析】【答案】连接OC；BC．由切线的性质，可得则OC⊥CD，圆周角定理的推论，∠ACB=90°．由BD=OB，可证△OBC是等边三角形，进而得到答案．

12、略

【分析】试题分析：①中，②若数列的前n项和则所以数列不是等差数列．③锐角三角形的三边长分别为3，4，则或解得．④等差数列前n项和为或或（舍），解得故选①③④．考点：命题真假的判定．【解析】【答案】①③④．13、略

【分析】【解析】

试题分析：第一次循环：n不整除a，第二次循环：n不整除a，第三次循环：n整除a；此时输出，输出12,3.

考点：程序框图。

点评：程序框图中的循环结构是我们常考的，我们要熟练掌握。此题是基础题型。【解析】【答案】12、314、略

【分析】解：由|z-3-4i|=2；可知复数z在复平面内对应的点Z在以P（3，4）为圆心，以2为半径的圆周上；

如图；

∴|z|的最大值为|OP|+2=5+2=7．

故答案为：7．

由题意画出图形；数形结合得答案．

本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题．【解析】7三、作图题(共6题，共12分)15、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

16、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．17、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．18、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

19、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．20、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共2题，共4分)21、略

【分析】

（1）可设圆C的方程为（x-a）2+y2=4a2，点C到直线5x+12y+21=0的距离为求出a，即可求圆C的标准方程；

（2）利用△MNG的面积为得出|xG|=1，设A（x1，y1），B（x2，y2），则即x1+x2=3xG；直线方程与圆的方程联立，即可得出结论．

本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．【解析】解：（1）由题意知圆心C（a；0），且a＞0；

由∠MCN=120°；知Rt△MCO中，∠MCO=60°，|OC|=a，则|CM|=2a；

于是可设圆C的方程为（x-a）2+y2=4a2（2分）

又点C到直线5x+12y+21=0的距离为

所以a=1或（舍）；

故圆C的方程为（x-1）2+y2=4．（4分）

（2）△MNG的面积所以|xG|=1．

若设A（x1，y1），B（x2，y2），则即x1+x2=3xG；（6分）

当直线l斜率不存在时；△ABO不存在；

故可设直线l为y=kx+2，代入圆C的方程（x-1）2+y2=4中；

可得（1+k2）x2+（4k-2）x+1=0；（8分）

则即（10分）

得k=-1或

故满足条件的直线l的方程为y=-x+2或．（12分）22、略

【分析】

(1)

根据向量投影的定义即可求出；

(2)

根据向量的坐标运算和向量的垂直；即可求出．

本题考查向量的数量积的应用，向量的投影和向量的垂直，考查计算能力．【解析】解：(1)

因为a鈫�?b鈫�=|a鈫�|?|b鈫�|cos娄脠

所以，向量b鈫�

在向量a鈫�

的方向上的投影为|b鈫�|cos娄脠=a鈫�鈰�b鈫�|a鈫�|=3+21+22=5

．

(2)

因为c鈫�=b鈫�鈭�ka鈫�=(3鈭�k,1鈭�2k)

且a鈫�=(1,2)

因为且a鈫�隆脥c鈫�

所以，a鈫�?c鈫�=0

即1隆脕(3鈭�k)+2隆脕(1鈭�2k)=0

解得k=1

此时，c鈫�=(2,鈭�1)

五、计算题(共4题，共12分)23、略

【分析】【分析】先移项并整理得到=，然后两边进行6次方，求解即可．【解析】【解答】解：原式可化为=；

6次方得，（x-1）3=（x-1）2；

即（x-1）2（x-2）=0；

∴x-1=0；x-2=0；

解得x=1或x=2．

故答案为：1或2．24、略

【分析】【解析】

(1)f'(x)＝1＋，由题意，得f'(1)＝0Þa＝02分(2)由(1)知f(x)＝x－lnx∴f(x)＋2x＝x2＋bóx－lnx＋2x＝x2＋bóx2－3x＋lnx＋b＝0设g(x)＝x2－3x＋lnx＋b(x＞0)则g'(x)＝2x－3＋＝4分当x变化时，g'(x)，g(x)的变化情况如下表。x(0，)(，1)1(1，2)2g'(x)＋0－0＋G(x)↗极大值↘极小值↗b－2＋ln2当x＝1时，g(x)最小值＝g(1)＝b－2，g()＝b－－ln2，g(2)＝b－2＋ln2∵方程f(x)＋2x＝x2＋b在[，2]上恰有两个不相等的实数根高考+资-源-网由ÞÞ＋ln2≤b≤28分(3)∵k－f(k)＝lnk∴nk＝2ó(n∈N，n≥2)设Φ(x)＝lnx－(x2－1)则