中考二次函数复习题及答案

中考二次函数复习题及答案

一、选择题

1、（20XX年台湾）向上发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y公尺，且时间与高度关系为y=ax2bx。若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则再下列哪一个时间的高度是最高的？

(A)第8秒(B)第10秒(C)第12秒(D)第15秒。

【关键词】二次函数极值

【答案】B

2、（20XX年泸州）在平面直角坐标系中，将二次函数y2x2的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为

A．y2x22B．y2x22

C．y2(x2)2D．y2(x2)2

【关键词】二次函数图像的平移。

【答案】B

3、(20XX年四川省）

A．（2，3）B．（－2，3）C．（2，－3）D．（－2，－3）

【关键词】二次函数的顶点坐标.

【答案】A

4、（20XX年长春）如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度大小不变，则以点A为圆心，线段AP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t之间的函数图象大致为（）

（第8题）

5、（20XX年桂林市、百色市）二次函数y(x1)2的最小值是（）．

A．2B．1C．－3D．

【关键词】二次函数的极值问题

【答案】A

222236、(20XX年上海市)抛物线y2(xm)n（m，n是常数）的顶点坐标是（）

n)n)A．(m，n)B．(m，n)C．(m，D．(m，

【关键词】抛物线的顶点

【答案】B

7、(20XX年陕西省)根据下表中的二次函数yax2bxc的自变量x与函数y的对应值，可判断二次函数的图像与x轴

A．只有一个交点B．有两个交点，且它们分别在y轴两侧

C．有两个交点，且它们均在y轴同侧

D．无交点

【关键词】二次函数的图象

【答案】B

8、（2009威海）二次函数y3x6x5的图象的顶点坐标是（）

8)B．(1，8)A．(1，2)C．(1，4)D．(1，2

【关键词】抛物线顶点

【答案】A

9、（2009湖北省荆门市）函数y=ax＋1与y=ax2＋bx＋1（a≠0）的图象可能是（）

解析：本题考查函数图象与性质，当a0时，直线从左向右是上升的，抛物线开口向上，D是错的，函数

y=ax＋1与y=ax2＋bx＋1（a≠0）的图象必过（0，1），所以C是正确的，故选C．

【关键词】函数图象与性质

【答案】C

10、（20XX年贵州黔东南州）抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（）．．

A、y=x-x-2B、y=

C、y=

【关键词】二次函数yaxbxc（a≠0）与a，b，c的关系

【答案】D

211、（20XX年齐齐哈尔市）已知二次函数yaxbxc(a0)的图象如图所示，则下列结论：①ac0；22

D．122x212112x212x1D、y=xx2②方程axbxc0的两根之和大于0；③y随x的增大而增大；④abc0，其中正确的个数（）2

A．4个B．3个

2C．2个D．1个【关键词】二次函数yaxbxc（a≠0）与a，b，c的关系、二次函数的图象

【答案】C

bxc12、（20XX年深圳市）二次函数yax2

上的两点，则y1与y2的大小关系是（

A．y1y2B．y1y2

2的图象如图2所示，若点A（1，y1）、B（2，y2）是它图象）C．y1y2D．不能确定【关键词】二次函数yaxbxc（a≠0）与a，b，c的关系

【答案】C

12、（2009桂林百色）二次函数y(x1)22的最小值是（）．

A．2B．1C．－3D．2

3【关键词】二次函数、最值

【答案】A

13、（2009丽水市）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，给出以下结论：

①a＞0.

②该函数的图象关于直线x1对称.

③当x1或x3时，函数y的值都等于0.

其中正确结论的个数是（）

A．3B．2C．1D．0

【关键词】二次函数的图像

【答案】B

14、（2009烟台市）二次函数yaxbxc的图象如图所示，则一次函数ybxb4ac与反比例函数y

abcx22O在同一坐标系）xx

xx

【关键词】二次函数的图像与系数之间的关系

【答案】D

15、（20XX年甘肃庆阳）图6（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图6（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（）

A．y2xB．y2xC．yxD．yx22221212

图6（1）图6（2）

【关键词】二次函数的应用

【答案】C

216、（20XX年甘肃庆阳）将抛物线y2x向下平移1个单位，得到的抛物线是（）

A．y2(x1)B．y2(x1)

【关键词】二次函数和抛物线有关概念

【答案】D

222C．y2x12D．y2x1217、（20XX年广西南宁）已知二次函数yaxbxc（a0）的图象如图4所示，有下列四个结论：①b0②c0③b4ac0④abc0，其中正确的个数有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

2

图4

2

【关键词】二次函数yaxbxc（a≠0）与a，b，c的关系【答案】C

18、(20XX年鄂州)已知=次函数y＝ax2+bx+c的图象如图．则下列5个代数式：ac，a+b+c，4a－2b+c，2a+b，2a－b中，其值大于0的个数为（）A．2B3C、4D、

5

【关键词】二次函数yaxbxc（a≠0）与a，b，c的关系【答案】A

19、（20XX年孝感）将函数yx2x的图象向右平移a(a0)个单位，得到函数yx23x2的图象，则a的值为

A．1B．2

【关键词】二次函数图象的平移【答案】B

2

2

C．3D．4

20、（2009泰安）抛物线y2x8x1的顶点坐标为（A）（-2，7）（B）（-2，-25）（C）（2，7）（D）（2，-9）【关键词】抛物线的顶点【答案】C。

21、（20XX年烟台市）二次函数yaxbxc的图象如图所示，则一次函数ybxb4ac与反比例函数y

abc

x

2

2

在同一坐标系）

x

x

xx

x

【答案】D.

22、

（20XX年嘉兴市）已知a0，在同一直角坐标系中，函数

yax与yax2的图象有可能是（▲）

A．

【关键词】一次函数、二次函数之间的关系

【答案】C

23、（20XX年新疆）如图，直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，下列关系不正确的是（）．．．

A．hmB．knC．knD．h0，

k0

【关键词】二次函数的对称轴

【答案】B

224、（20XX年天津市）在平面直角坐标系中，先将抛物线yxx2关于x轴作轴对称变换，再将所得

的抛物线关于y轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（）

A．yxx2B．yxx2

【关键词】二次函数的解析式

【答案】C

222C．yxx2D．yxx22225、（20XX年南宁市）已知二次函数yax2bxc（a0）的图象如图所示，有下列四个结论：①b0②c0③b4ac0④abc0，其中正确的个数有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【关键词】二次函数yaxbxc（a≠0）与a，b，c的关系

【答案】C

26、（20XX年衢州）二次函数y(x1)22的图象上最低点的坐标是

A．(-1，-2)B．(1，-2)C．(-1，2)D．(1，2)

【关键词】抛物线顶点和对称轴

【答案】B

27、（20XX年舟山）二次函数y(x1)22的图象上最低点的坐标是

A．(-1，-2)B．(1，-2)C．(-1，2)D．(1，2)

【关键词】抛物线顶点和对称轴

【答案】B

28、（20XX年广州市）二次函数y(x1)2的最小值是（）

A.2（B）1（C）-1（D）-2

【关键词】二次函数

【答案】A22

29、（20XX年济宁市）小强从如图所示的二次函数yax2bxc的图象中，观察得出了下面五条信息：

（1）a0；（2）c1；（3）b0；（4）abc0；（5）abc0.你认为其中正确信息的个数有

A．2个B．3个C．4个D．5个

（第12题）【关键词】二次函数

【答案】C

30、（20XX年广西钦州）将抛物线y＝2x2向上平移3个单位得到的抛物线的解析式是（）

A．y＝2x2＋3B．y＝2x2－3

C．y＝2（x＋3）2D．y＝2（x－3）2

【关键词】二次函数的图像

【答案】A

31、(2009宁夏)二次函数yaxbxc(a0)的图象如图所示，对称轴是直线x1，则下列四个结论错误的是（）D．．

A．c0B．2ab0

2C．b4ac0D．abc0

【关键词】二次函数的图象

【答案】D

2

（8题图）

32、(20XX年南充)抛物线ya(x1)(x3)(a0)的对称轴是直线（）

A．x1B．x1C．x3D．x3

【关键词】抛物线的对称轴

【答案】A

33、(20XX年湖州)已知图中的每个小方格都是边长为1

在图中任意画一条抛物线，问所画的抛物线最多能经过81A．6B．7C．8D．9

【关键词】抛物线

【答案】C234、（20XX年兰州）在同一直角坐标系中，函数ymxm和函数ymx2x2（m是常数，且m0）的图象可能是．．

【关键词】一次函数与二次函数的图像和性质

【答案】D

35、（20XX年兰州）把抛物线yx2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析

式为

A．y(x1)23B．y(x1)23

C．y(x1)23D．y(x1)23

【关键词】二次函数的图像和性质、平移

【答案】D

36、（20XX年兰州）二次函数yax2bxc的图象如图6所示，

系式不正确的是

A．a＜0B.abc＞0

C.abc＞0D.b24ac＞0

【关键词】二次函数的图像和性质与系数a,b,c之间的关系

【答案】C

37、（20XX年遂宁）把二次函数y1x2x3用配方法化成y

4axhk2则下列关的形式A.y1x222B.y1x22444

C.y1

4x224D.11yx3

222

【关键词】二次函数的图像的解析式

【答案】D

39、（20XX年广州市）二次函数y(x1)2的最小值是（）

A.2（B）1（C）-1（D）-2

【关键词】二次函数

【答案】A

40、（20XX年济宁市）小强从如图所示的二次函数yaxbxc的图象中，观察得出了下面五条信息：

（1）a0；（2）c1；（3）b0；（4）abc0；（5）abc0.你认为其中正确信息的个数有

A．2个B．3个C．4个D．5个22

（第12题）【关键词】二次函数

【答案】C

41、（20XX年台湾）向上发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y公尺，且时间与高度关系为y=ax2bx。若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则再下列哪一个时间的高度是最高的？

(A)第8秒(B)第10秒(C)第12秒(D)第15秒。

【关键词】二次函数极值

【答案】B

42、(20XX年河北)某车的刹车距离y（m）与开始刹车时的速度x（m/s）之间满足二次函数y＞0），若该车某次的刹车距离为5m，则开始刹车时的速度为（）

A．40m/sB．20m/s

D．5m/sC．10m/s

【关键词】二次函数的运算

【答案】C120x2（x

43、（20XX年湖北荆州）抛物线y3(x1)22的对称轴是（）

A．x1B．x1

C．x2D．x2

【关键词】二次函数对称轴

【答案】

44、（20XX年新疆乌鲁木齐市）要得到二次函数yx2x2的图象，需将yx的图象（）．

A．向左平移2个单位，再向下平移2个单位

B．向右平移2个单位，再向上平移2个单位

C．向左平移1个单位，再向上平移1个单位

D．向右平移1个单位，再向下平移1个单位

【关键词】二次函数和抛物线有关概念

【答案】D

45、（20XX年黄石市）已知二次函数yax2bxc的图象如图所示，有以下结论：①abc0；②abc1；③abc0；④4a2bc0；⑤ca1其中所有正确结论的序号是（）

A．①②B．①③④

C．①②③⑤D．①②③④⑤

22

2【关键词】二次函数yaxbxc（a≠0）与a，b，c的关系

【答案】C

46、（2009黑龙江大兴安岭）二次函数yaxbxc(a0)的图象如图，下列判断错误的是（）

A．a0B．b0C．c0D．b

4ac022

【关键词】二次函数yaxbxc（a≠0）与a，b，c的关系

【答案】B

47、（20XX年枣庄市）二次函数yax2bxc的图象如图所示，则下列关系式中错误的是（）．．

A．a＜0

B．c＞0

2

C．b24ac＞0

D．abc＞0

【关键词】二次函数yax2bxc（a≠0）与a，b，c的关系

【答案】D

二、填空题

1、（20XX年北京市）若把代数式x2x3化为xmk的形式，其中m,k为常数，则mk22

.

【关键词】配方法

【答案】-3

2、（20XX年安徽）已知二次函数的图象经过原点及点（1

2，1

4），且图象与x轴的另一交点到原

点的距离为1，则该二次函数的解析式为

【关键词】二次函数和抛物线有关概念，待定系数法

【答案】yx2x，y1

3x21

3

1

23、已知二次函数的图象经过原点及点（，1

4），且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，则该二

次函数的解析式为．

【关键词】待定系数法

【答案】yx2x，y1

3x21

3

24、（20XX年郴州市）抛物线y=-3(x-1)+5的顶点坐标为__________．

【关键词】二次函数的顶点坐标

5)【答案】(1，

5、(20XX年上海市)12．将抛物线yx2向上平移一个单位后，得以新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是．

【关键词】抛物线的平移

【答案】yx1

0)、6、（20XX年内蒙古包头）已知二次函数yaxbxc的图象与x轴交于点(2，且1x12，(x1，0)，

2)的下方．下列结论：①4a2bc0；②ab0；③2ac0；④与y轴的正半轴的交点在(0，

2ab10．其中正确结论的个数是

【答案】4

【解析】本题考查二次函数图象的画法、识别理解，方程根与系数的关系筀等知识和数形结合能力。根据

2题意画大致图象如图所示，由yaxbxc与X轴的交点坐标为(-2,0)得a2b2c0，2222

即4a2bc0所以①正确；

由图象开口向下知a0，由yaxbxc与X轴的另一个交点坐标为x1,0且1x12，则该抛物2

线的对称轴为xb

2a2x1

21

2由a<0得b>a,所以结论②正确，c

a2，结合a<0得2ac0，所以③结论正确，由一元二次方程根与系数的关系知x1.x2

由4a2bc0得2ab

④正确。c2，而0<c<2,，∴1c20∴-1<2a-b<0∴2a-b+1>0,所以结论

点拨：4a2bc0是否成立，也就是判断当x2时，yax2bxc的函数值是否为0；判断yax2bxc中a符号利用抛物线的开口方向来判断，开口向上a>0,开口向下a<0;判断a、b的小关系时，可利用对称轴x

数的关系x1.x2cab2a的值的情况来判断；判断a、c的关系时，可利用由一元二次方程根与系的值的范围来判断；2a-b+1的值情况可用4a2bc0来判断。

7、（2009襄樊市）抛物线yx2bxc的图象如图6所示，则此抛物线的解析式为

图6解析：本题考查二次函数的有关知识，由图象知该抛物线的对称轴是x1，且过点（3，0），所以b12

93bc0

2，解得b2c3，所以抛物线的解析式为yx2x3，2故填yx2x3。

【关键词】函数解析式

【答案】yx2x3

8、（2009湖北省荆门市）函数y(x2)(3x)取得最大值时，x______．

解析：本题考查二次函数的最值问题，可以用配方法或二次函数顶点坐标公式求出当x为何值时二次函数取得最大值，下面用配方法，

549y(x2)(3x)x5x6x24222，所以当x52时，函数y(x2)(3x)取得最大值，故填52

【关键词】二次函数最值【答案】52

9、（20XX年淄博市）请写出符合以下三个条件的一个函数的解析式．①过点(3，1)；

②当x0时，y随x的增大而减小；

③当自变量的值为2时，函数值小于2．答案：如y1

3x2，y3

x，y1

6x25

2

210、（20XX年贵州省黔东南州）二次函数yx2x3的图象关于原点O（0,0）对称的图象的解析式

是_________________。

【关键词】待定系数法

【答案】y

x2x32

11、（20XX年齐齐哈尔市）当xyx22x2有最小值．

【关键词】二次函数的极值问题

【答案】1

12、（20XX年娄底）如图7，⊙O的半径为2，C1是函数y=

影部分的面积是.

12x2的图象，C2是函数y=-12x2的图象，则阴

【关键词】对称性、圆的面积

【答案】2π

13、（20XX年甘肃庆阳）图12为二次函数yax2bxc的图象，给出下列说法：

①ab0；②方程axbxc0的根为x11，x23；③abc0；④当x1时，y随x值的

增大而增大；⑤当y0时，1x3．

其中，正确的说法有．（请写出所有正确说法的序号）

2

2【关键词】二次函数yaxbxc（a≠0）与a，b，c的关系

【答案】①②④

14、(20XX年鄂州)把抛物线y＝ax+bx+c的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是y＝x2－3x+5，则a+b+c=__________

【关键词】二次函数图象的平移

【答案】11

15、（2009白银市）抛物线yxbxc的部分图象如图8所示，请写出与其关系式、图象相关的2个正确结论：，．（对称轴方程，图象与x正半轴、y轴交点坐标例外）

22

【关键词】二次函数yaxbxc（a≠0）与a，b，c的关系、二次函数与一元二次方程根之间的内在联系、二次函数与一元二次不等式的关系

【答案】答案不唯一．如：①c=3；②b+c=1；③c-3b=9；④b=-2；⑤抛物线的顶点为（-1，4），或二次函数的最大值为4；⑥方程-x2+bx+c=0的两个根为-3，1；⑦y>0时，-3<x<1；或y<0时，x<-3或x>1；⑧当x>-1时，y随x的增大而减小；或当x<-1时，y随x的增大而增大．等等

16、(20XX年甘肃定西)抛物线yxbxc的部分图象如图8所示，请写出与其关系式、图象相关的222

个正确结论：，．（对称轴方程，图象与x正半轴、y轴交点坐标例外）

【关键词】二次函数的图像【答案】答案不唯一.17、（20XX年包头）将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是cm2．

【关键词】面积、最小值答案：

252

或12.5

0)、(x1，18、（20XX年包头）已知二次函数yax2bxc的图象与x轴交于点(2，0)，且1x12，与

2)的下方．下列结论：①4a2bc0；②ab0；③2ac0；④y轴的正半轴的交点在(0，

2ab10．其中正确结论的个数是

【关键词】二次函数答案：4

19、（20XX年莆田）出售某种文具盒，若每个获利x元，一天可售出6x个，则当x元时，一天出售该种文具盒的总利润y最大．【关键词】二次函数、最大值答案：3

0)和B(2，0)，20、(20XX年本溪)如图所示，抛物线yaxbxc（a0）与x轴的两个交点分别为A(1，

当y0时，x的取值范围是．【关键词】二次函数【答案】x1或x2

2

21．(20XX年湖州)已知抛物线yaxbxc（a＞0）的对称轴为直线x1，且经过点1，y1，2，y2，试比较y1和y2的大小：

2

，“<”或“=”）y1y2（填“>”【关键词】二次函数的性质

【答案】＞

22、（20XX年兰州）二次函数y

23

x的图象如图12所示，点A0位

2

于坐标原

点，点A1，A2，A3，„，A2008在y轴的正半轴上，点B1，B2，

B3，„，B2008在二次函数y

23

x位于第一象限的图象上，

2

若△A0B1A1,△A1B2A2，△A2B3A3，„，△A2007B2008A2008都为等边三角形，则△A2007B2008A2008的边长＝

【关键词】二次函数的图像和性质与三角形面积

【答案】2008

23、（20XX年北京市）若把代数式x2x3化为xmk的形式，其中m,k为常数，则mk.

【关键词】配方法

【答案】-3

24．(20XX年咸宁市)已知A、B是抛物线yx24x3上位置不同的两点，且关于抛物线的对称轴对称，则点A、B的坐标可能是_____________．（写出一对即可）

【关键词】二次函数的对称轴

【答案】(1,0),(3,0)

25、（20XX年安徽）已知二次函数的图象经过原点及点（1

222，1

4），且图象与x轴的另一交点到原

点的距离为1，则该二次函数的解析式为．

【关键词】二次函数解析式

【答案】yx2x，y1

3x21

3

2226、（20XX年黄石市）若抛物线yaxbx3与yx3x2的两交点关于原点对称，则a、b分别

为．

【关键词】待定系数法；二元一次方程组的解法【答案】3,32

227、（2009黑龙江大兴安岭）当x时，二次函数yx2x2有最小值．

【关键词】抛物线顶点和对称轴

【答案】-1

三、解答题

1、（20XX年株洲市）如图1，RtABC中，A90，tanB3

4，点P在线段AB上运动，点Q、R

分别在线段BC、AC上，且使得四边形APQR是矩形．设AP的长为x，矩形APQR的面积为y，已知y是x的函数，其图象是过点（12，36）的抛物线的一部分（如图2所示）．

（1）求AB的长；

（2）当AP为何值时，矩形APQR的面积最大，并求出最大值．

为了解决这个问题，孔明和研究性学习小组的同学作了如下讨论：

张明：图2中的抛物线过点（12，36）在图1中表示什么呢？

李明：因为抛物线上的点(x,y)是表示图1中AP的长与矩形APQR面积的对应关系，那么，（12，36）表示当AP12时，AP的长与矩形APQR面积的对应关系.

赵明：对，我知道纵坐标36是什么意思了！

孔明：哦，这样就可以算出AB，这个问题就可以解决了.请根据上述对话，帮他们解答这个问题.

图1

C

R

Q

PQ3，

【答案】（1）当36∴

A

又在RtBPQ中，tanBAB16，

34

P

，∴

P

QPB

B

34

PB4

∴∴

（2）解法一：若APx，则PB16x，PQ

y

34

2

34

(16x)，∴y

34

(16x)x，整理得

(x8)48，∴当x8时，y最大值＝48.

解法二：由AB16，结合图象可知抛物线经过点（0，0）、（16，0）、（12，36），可设抛物线解析式为

yax(x16)，将（12，36）代入求得a

34

，∴y

34

x(x16)，整理得y

34

(x8)48，

2

∴当x8时，y最大值＝48.

解法三：由AB16，结合图象可知抛物线经过点（0，0）、（16，0），知抛物线对称轴为x8，∴抛物线顶点的横坐标为8.∴当AP8时，矩形APQR的面积最大，此时，PB8，∴PQ8大面积为48.

2、（20XX年株洲市）已知ABC为直角三角形，ACB90，ACBC,点A、C在x轴上，点B坐标为（3，m）（m0），线段AB与y轴相交于点D，以P（1，0）为顶点的抛物线过点B、D．（1）求点A的坐标（用m表示）；（2）求抛物线的解析式；

（3）设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点，连结PQ并延长交BC于点E，连结BQ并延长交AC于点F，试证明：FC(ACEC)为定值．

34

6，∴最

【关键词】二次函数的综合题

【答案】（1）由B(3,m)可知OC3，BCm，又△ABC为等腰直角三角形，∴ACBCm，OAm3，所以点A的坐标是（3m,0）.

（2）∵ODAOAD45∴ODOAm3，则点D的坐标是（0,m3）.又抛物线顶点为P(1,0)，且过点B、D，所以可设抛物线的解析式为：ya(x1)2，得：

2a1a(31)m

解得∴抛物线的解析式为yx22x1，2

m4a(01)m3

（3）过点Q作QMAC于点M，过点Q作QNBC于点N，设点Q的坐标是(x,x22x1)，则

QMCN(x1)，MCQN3x.

2

∵QM//CE∴PQM∽PEC∴

QMEC

PMPC

即

(x1)EC

2

x12

，得EC2(x1)

2

∵QN//FC∴BQN∽BFC∴又∵AC4∴FC(ACEC)

4x1

QNFC

BNBC

即

3xFC

4(x1)

4

，得FC

4x1

[42(x1)]

4x1

(2x2)

4x1

2(x1)8

即FC(ACEC)为定值8.

3、（20XX年重庆市江津区）某商场在销售旺季临近时，某品牌的童装销售价格呈上升趋势，假如这种童装开始时的售价为每件20元，并且每周（7天）涨价2元，从第6周开始，保持每件30元的稳定价格销售，直到11周结束，该童装不再销售。

（1）请建立销售价格y（元）与周次x之间的函数关系；

（2）若该品牌童装于进货当周售完，且这种童装每件进价z（元）与周次x之间的关系为

z

18

(x8)12，1≤x≤11，且x为整数，那么该品牌童装在第几周售出后，每件获得利润最大？

2

并求最大利润为多少？

【关键词】二次函数极值【答案】【答案】（1）y（2）设利润为w

1122

yz202(x1)(x8)12x14(1x6)88

x为整数w

11yz30(x8)212(x8)218(6x11)

88

(x为整数)

202(x1)2x18(1x6)(x为整数)30

(6x11)(x为整数)

w

w1

818x14当x5时，w最大172218(元)(x8)18当x11时，w最大1891811

81819

1

818(元)综上知：在第11周进货并售出后，所获利润最大且为每件19元.

4、（20XX年重庆市江津区）如图，抛物线yx2bxc与x轴交与A(1,0),B(-3，0)两点，

（1）求该抛物线的解析式；

（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.

（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值.若没有，请说明理由.

【关键词】与二次函数有关的面积问题

第26题图

21bc0b2【答案】解：（1）将A（1，0）B（-3，0）代入yxbxc中得，∴93bc0c3

∴抛物线解析式为：yx2x3

（2）存在

理由如下：由题意知A、B两点关于抛物线的对称轴x1对称，∴直线BC与x1的交点即为Q点，

2此时△AQC周长最小，∵yx2x3，∴C的坐标为：（0，3），直线BC解析式为yx3

Q点坐标即为x1

yx32的解，∴x1

y2，∴Q（-1，2）

5、（20XX年滨州）某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：

（1）若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y元，请写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；

（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？

（3）请画出上述函数的大致图象．

【关键词】二次函数的实际应用.

【答案】（1）y=(60-x-40)(300+20x)=(20-x)(300+20x)=-20x100x6000,0≤x≤20；

（2）y=-20(x2.5)6135,∴当x==2.5元,每星期的利润最大，最大利润是6135元；（3）图像略.

6、（20XX年滨州）如图①，某产品标志的截面图形由一个等腰梯形和抛物线的一部分组成，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB20cm，DC30cm，ADC45°．对于抛物线部分，其顶点为CD的中点O，且过A、B两点，开口终端的连线MN平行且等于DC．22

0)，（1）如图①所示，在以点O为原点，直线OC为x轴的坐标系[-(x-

1

212)2+]928∴当x=时，h的最大值为

28、（2009仙桃）如图，已知抛物线y＝x＋bx＋c经过矩形ABCD的两个顶点A、B，AB平行于x轴，对角

线BD与抛物线交于点P，点A的坐标为(0，2)，AB＝4．

(1)求抛物线的解析式；

(2)若S△APO＝3

2，求矩形ABCD的面积．

【关键词】二次函数，矩形.

【答案】解：（1）∵A（0，2），AB=4，∴B（4，2）

∵抛物线yxbxc过A、B两点

c2,b4,∴，解得164bc2c2

2

∴抛物线的解析式为yx24x2.（2）过P点作PE⊥y轴于点E，∵SAPO∵OA=2，∴PE

32

32

，

12

OAPE

32

32

.∵点P在抛物线yx24x2上，∴当x

时，y

74

.∴P点坐标为.(,

2

374

)

设直线BD的解析式为ykxb∵直线BD过P、B两点，

34kb2,k,

∴3解得27kbb424

3

∴直线BD的解析式为yx4.

2

当x0时，y4，∴D（0，－4），∴AD=2+4=6.∴S矩形ABCD4624.

（3）答：存在

2

理由如下：设P点(x,x2x3)(3x0)，∵SBPCS四边形BPCOSBOC=S四边形BPCO

92

若S四边形BPCO有最大值，则SBPC就最大，过P点作PE⊥x轴于E，∴S四边形BPCOSRtBPES直角梯形PEOC

12

BEPE32(x

32

2

12

OE(PEOC)92278

1232

(x3)(x2x3)

2

12

(x)(x2x33)27

2

∴SBPC

8

9279273153152

最大=，当x时，x2x3，∴点P坐标为(,).

28282424

)，当x

时，S四边形BPCO最大=

92

9、（20XX年长春）如图，直线y点，直线y

54

34

x6分别与x轴、y轴交于A、B两

x与AB交于点C，与过点A且平行于y轴的直线交于点D．点

E从点A出发，以每秒1个单位的速度沿x轴向左运动．过点E作x轴的垂

线，分别交直线AB、OD于P、Q两点，以PQ为边向右作正方形PQMN，

设正方形PQMN与△ACD重叠部分（阴影部分）的面积为S（平方单位）．

点

E的运动时间为t（秒）．

（1）求点C的坐标．（1分）

（2）当0t5时，求S与t之间的函数关系式．（4分）

（3）求（2）中S的最大值．（2分）

（4）当t0时，直接写出点4在正方形PQMN(8-t)-3

4t=10-2t.

10

3当MN在AD上时，10-2t=t，∴t=

当0<t≤

当10

3103.时，S=t(10-2t)，即S=-2t2+10t.≤t<5时，S=(10-2t)2，即S=4t2-40t+100.

10

3（3）当0<t≤

当10

3时，S=-2（t-52）2+252，∴t=52时，S最大值=252.≤t<5时，S=4(t-5)2，∵t<5时，S随t的增大而减小，

时，S最大值=

100

91009∴t=∵103.252252>，∴S的最大值为.

（4）4<t<22

5或t>6.

10、（20XX年郴州市）如图11，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M（－2，-1），且P（-1，－2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B．（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）如图12，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值．

【关键词】二次函数的极值问题

【答案】（1）设正比例函数解析式为ykx，将点M（2，1）坐标代入得k=析式为y=1

2x2分2

x12，所以正比例函数解同样可得，反比例函数解析式为y=

（2）当点Q在直线DO上运动时，

设点Q的坐标为Q(mm)，21

于是S△OBQ=

而S△OAP=

所以有，1

412212OB?BQ11创m22m=14m，2(-1)?(2)=1，m=1，解得m2

所以点Q的坐标为Q1(2，1)和Q2(-2，-1)

（3）因为四边形OPCQ是平行四边形，所以OP＝CQ，OQ＝PC，而点P（1，2）是定点，所以OP的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值

因为点Q在第一象限中双曲线上，所以可设点Q的坐标为Q(n)，n2由勾股定理可得OQ=n+

所以当(n-2

n)=0即n-2224n2=(n-2n)+4，222

n=0时，OQ有最小值4，

2又因为OQ为正值，所以OQ与OQ同时取得最小值，

所以OQ有最小值2．

由勾股定理得OP

OPCQ周长的最小值是

2(OP+OQ)=2)=4．

10、（20XX年常德市）已知二次函数过点A（0，2），B（1，0），C（）．4859

（1）求此二次函数的解析式；

（2）判断点M（1，

（3）过点M（1，1

212）是否在直线AC上？）作一条直线l与二次函数的图象交于E、F两点（不同于A，B，C三点），请自

已给出E点的坐标，并证明△BEF是直角三角形．

【关键词】二次函数

2【答案】（1）设二次函数的解析式为yaxbxc（a0），

把A（0，2），B（1，0），C（）代入得48

c2解得a=2，b=0，c=－2，0abc

9255abc4816图

859

∴y2x2

（2）设直线AC的解析式为ykxb(k0)，把A（0，－2），C（）代入得

48592

b255，解得k，b2，∴yx25922kb48

当x=1时，y5

212

1123

2∴M（1，）在直线AC上21（3）设E点坐标为（，2），则直线EM的解析式为y4

3x5

6

45yx3617472由化简得，即(x)(2x)0，2xx0y2x222336

∴F点的坐标为（）．

618713

过E点作EH⊥x轴于H，则H的坐标为（，．0）

21

∴EH3

2，BH1

2∴BE2()2()223110，图

8类似地可得BF2(13

18)213

6)221690324，4845162

EF2(40

18)(210

6

∴BE2BF23241621084512502EF，∴△BEF是直角三角形．

4162162)225001250，

11、(20XX年陕西省)如图，在平面直角坐标系中，OB⊥OA，且OB＝2OA，点A的坐标是(－1，2)．

（1）求点B的坐标；

（2）求过点A、O、B的抛物线的表达式；

（3）连接AB，在（2）中的抛物线上求出点P，使得S△ABP＝S△ABO．

【关键词】用相似求线段平面内点的坐标的意义三点法确定抛物线存在性探究题

【答案】解：（1）过点A作AF⊥x轴，垂足为点F，过点B作BE⊥x轴，垂足为点E，

则AF＝2，OF＝1．

∵OA⊥OB，

∴∠AOF+∠BOE＝90°．

又∵∠BOE+∠OBE＝90°，

∴∠AOF＝∠OBE．

∴Rt△AFO∽Rt△OEB．∴BE

OFOE

AFOB

OA2．

∴BE＝2，OE＝4．

∴B(4，2)．

2（2）设过点A(－1，2)，B(4，2)，O(0，0)的抛物线为y=ax+bx+c．

1

a2,

abc2,3∴16a4bc2,解之，得b,2c0.c0.

∴所求抛物线的表达式为y1

2x23

2x．

（3）由题意，知AB∥x轴．

设抛物线上符合条件的点P到AB的距离为d，

则S△ABP＝1

2ABd1

2ABAF．

∴d＝2．

∴点P的纵坐标只能是0或4．

令y＝0，得1

2x23

2x0，解之，得x＝0，或x＝3．

∴符合条件的点P1(0，0)，P2(3，0)．

令y＝4，得1

2x23

2x4

3

2，解之，得x413241241．∴符合条件的点P3(，4)，P4(3，4)．

∴综上，符合题意的点有四个：

P1(0，0)，P2(3，0)，P3(3

241，4)，P4(3

241，4)．

（评卷时，无P1(0，0)不扣分）

12、(20XX年黄冈市)新星电子科技公司积极应对20XX年世界金融危机，及时调整投资方向，瞄准光伏产业，建成了太阳能光伏电池生产线．由于新产品开发初期成本高，且市场占有率不高等因素的影响，产品投产上市一年来，公司经历了由初期的亏损到后来逐步盈利的过程（公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次）．公司累积获得的利润y（万元）与销售时间第x（月）之间的函数关系式（即前x个月的利润总和y与x之间的关系）对应的点都在如图所示的图象上．该图象从左至右，依次是线段OA、曲线AB和曲线BC，其中曲线AB为抛物线的一部分，点A为该抛物线的顶点，曲线BC为另一抛物线y5x205x1230的一部分，且点A，B，C的横坐标分别为4，10，

122

（1）求该公司累积获得的利润y（万元）与时间第x（月）之间的函数关系式；

（2）直接写出第x个月所获得S（万元）与时间x（月）之间的函数关系式（不需要写出计算过程）；

（3）前12个月中，第几个月该公司所获得的利润最多？最多利润是多少万元？

【关键词】待定系数法函数的极值问题

【答案】（1）当0x4时，线段OA的函数关系式为y10x;

当4x10时，

由于曲线AB所在抛物线的顶点为A（4，－40），设其解析式为yax4402

2在y5x205x1230中，令x=10，得y320；∴B（10，320）

∵B（10，320）在该抛物线上

∴320a104402

解得a10

∴当4x10时，y10x440=10x80x12022

10x

2综上可知，y10x80x120

25x205x1230

(2)当0x4时,S10

当5x10时,S20x90

当11x12时,S10x210(x1,2,3,4)，(x5,6,7,8,9，10)(x10，11,12).，

(3)10月份该公司所获得的利润最多,最多利润是110万元.

13、(2009武汉)某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．

（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；

（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？

（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？

【关键词】二次函数的应用二次函数的极值问题

【答案】解：（1）y(21010x)(50x40)10x2110x2100（0x≤15且x为整数）；

（2）y10(x5.5)22402.5．

a100，当x5.5时，y有最大值2402.5．

0x≤15，且x为整数，

当x5时，50x55，y2400（元），当x6时，50x56，y2400（元）

当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元．

（3）当y2200时，10x110x21002200，解得：x11，x210．

当x1时，50x51，当x10时，50x60．

当售价定为每件51或60元，每个月的利润为2200元．2

当售价不低于51或60元，每个月的利润为2200元．

当售价不低于51元且不高于60元且为整数时，每个月的利润不低于2200元（或当售价分别为51，52，53，54，55，56，57，58，59，60元时，每个月的利润不低于2200元）．

0)、C(0，4)两点，与x轴交于另一点B．14、(2009武汉)如图，抛物线yaxbx4a经过A(1，

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知点D(m，m1)在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标；2

（3）在（2）的条件下，连接BD，点P为抛物线上一点，且DBP45°，求点P的坐标．

0)，C(0，4)两点，【答案】解：（1）抛物线yaxbx4a经过A(1，2

ab4a0，4a4.

解得a1，

b3.

2抛物线的解析式为yx3x4．

（2）点D(m，m1)在抛物线上，m1m3m4，

即m2m30，m1或m3．

点D在第一象限，点D的坐标为(3，4)．22

45°．设点D关于直线

BC的对称点为点E．C(0，4)，CD∥AB，且CD3，ECBDCB45°，E点在y轴上，且CECD3．

1)．OE1，E(0，

即点D关于直线BC对称的点的坐标为（0，1）．

（3）方法一：作PF⊥AB于F，DE⊥BC于E．

OBOC4，OBC45°，DBP45°，CBDPBA．C(0，4)，D(3，4)，CD∥OB且CD3．DCECBO45°，DECE2．

2OBOC4，BC，BEBCCE

tanPBFtanCBDDE3，

BE5

设PF3t，则BF5t，OF5t4，P(5t4，3t)．

P点在抛物线上，

3t(5t4)3(5t4)4，2．

t0（舍去）或t22

25，P

266．525

方法二：过点D作BD的垂线交直线PB于点Q，过点D作DH⊥x轴于H．过Q点作QG⊥DH于G．

．

QDGBDH90°，

又DQGQDG90°，DQGBDH．

△QDG≌△DBH，QGDH4，DGBH1．

4)，Q(1，3)．由（2）知D(3，

B(4，0)，直线BP的解析式为y3

5x12

5．

2yx23x4，x，2x14，5解方程组得312y0；66，1yxy.55225

266点P的坐标为．

525

15、(20XX年安顺)如图，已知抛物线与x交于A(－1，0)、E(3，0)两点，与y轴交于点B(0，3)。

（1）求抛物线的解析式；

（2）设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积；

（3）△AOB与△DBE是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。

【关键词】待定系数法，相似三角形判定和性质

【答案】（1）∵抛物线与y轴交于点（0，3），

∴设抛物线解析式为yax2bx3(a0)

根据题意，得ab30

9a3b30a1b2，解得

∴抛物线的解析式为yx22x3(5′)

(2)(5′)由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4）

设对称轴与x轴的交点为F

∴四边形ABDE的面积=SABOS梯形BOFDSDFE

=1

2AOBO1

2(BODF)OF1

2EFDF

=

12

13

12

(34)1

12

24=9

（3）似

如图，

∴

2

2

∴BDBE20,DE20

即：BD2BE2DE2,所以BDE是直角三角形

2

∴AOBDBE90,

且

∴AOB∽DBE

AOBD

BOBE

2

,

16、（2009重庆綦江）如图，

已知抛物线ya(x1)2a0)经过点A(2，0)，抛物线的顶点为D，过O作射线OM∥AD．过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C，B在x轴正半轴上，连结BC．（1）求该抛物线的解析式；

（2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为t(s)．问当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？

（3）若OCOB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t(s)，连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长．【关键词】抛物线

0)，

【答案】（1）

抛物线ya(x1)a0)经过点A(2，

2

09aa

3

3x

2

3

3

二次函数的解析式为：yx

过D作DNOB于N

（2）

D为抛物线的顶点D(1AN3，AD6DAO60°

OM∥AD

①当ADOP时，四边形DAOP是平行四边形OP6t6(s)

②当DPOM时，四边形DAOP是直角梯形过O作OHAD于H，AO2，则AH1

（如果没求出DAO60°可由Rt△OHA∽Rt△DNA求OPDH5t5(s)③当PDOA时，四边形DAOP是等腰梯形OPAD2AH624t4(s)

综上所述：当t6、5、4时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形．（3）由（2）及已知，COB60°，OCOB，△OCB是等边三角形

OQ62t(0t3)则OBOCAD6，OPt，BQ2t，过P作PEOQ于E，则PE

SBCPQ

12

62

2

2t

12

(62t)

3t22

当t3

2时，S

BCPQ3

2，

OE3

4

此时OQ3，OP=QE33494PE4

PQ217、（2009威海）如图，在直角坐标系中，点A,B,C的坐标分别为（-1，0），（3，0）。（0，3），过A,B,C三点的抛物线的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；（3）以点A为圆心，以AD为半径作⊙A．①证明：当AD+CD最小时，直线BD与⊙A相切．

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：___________．

【关键词】待定系数法，直线与圆的位置关系

【答案】（1）设抛物线的解析式为ya(x1)(x3)．3)代入上式，得3a(01)(03)．将(0，

解，得a1．

抛物线的解析式为y(x1)(x3)．

即yx22x3．

（2）连接BC，交直线l于点D．

点B与点A关于直线l对称，

ADBD．

ADCDBDCDBC．

由“两点之间，线段最短”的原理可知：

此时ADCD最小，点D的位置即为所求．

设直线BC的解析式为ykxb，

03kb，0)，(0，3)，得由直线BC过点(3，3b.b3.

直线BC的解析式为yx3．解这个方程组，得k1，

由（1）知：对称轴l为x2

2(1)1，即x1．

将x1代入yx3，得y132．

点D的坐标为（1，2）．

说明：用相似三角形或三角函数求点D的坐标也可，答案正确给2分．

（3）①连接AD．设直线l与x轴的交点记为点E．

由（1）知：当ADCD最小时，点D的坐标为（1，2）．

DEAEBE2．

DABDBA45°．

ADB90°．

AD⊥BD．

BD与⊙A相切．

2)．②(1，

20)，B(2，0)，18、（20XX年内蒙古包头）已知二次函数yaxbxc（a0）的图象经过点A(1，

C(0，2)，直线xm（m2）与x轴交于点D．

（1）求二次函数的解析式；

（2）在直线xm（m2）上有一点E（点E在第四象限），使得E、D、B为顶点的三角形与以

；A、O、C为顶点的三角形相似，求E点坐标（用含m的代数式表示）

（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形？若存在，请求出m的值及四边形ABEF的面积；若不存在，请说明理由．

似的条件和判定四边形为平行四边形的条件，涉及到一元二次方程的解法等综合性较强，稍有疏忽就容易失分。

abc0a1

2【答案】(1)根据题意，得4a2bc0，解得b3∴yx3x2。

c2c2

(2)当ΔEDB∽ΔAOC时，得

∵AO=1，CO=2，BD=m-2，当

∴EDm2

2AOEDAOEDCOBDCOBD或AOBDCOED。2m2时，得1ED，。

AOCO122m，当时，得，∴ED2m4，∵点E在BDEDm2ED2∵点E在第四象限，∴E1m,

第四象限，∴E1m,42m。

(3)假设抛物线上存在一点这P，使得四边形ABEF为平行四边形，则EF=AB=1，点F的横坐标为m-1,当

2m2mm1,时，点的坐标为F1，22

2m2m13m12，∵点F1在抛物线的图象上，∴2

72∴2m11m140，∴2m7m20∴m,m2(舍去)2点E1的坐标为m,

∴F15

2,333S1，∴。ABEF444

2当点E2的坐标为m,42m时，点F2的坐标为m1,42m，∵点F2在抛物线的图象上，∴42mm13m12,

∴m7m100,∴m2m50∴m2(舍去)，m52

∴F14,6,∴S平行四边形ABEF166

点拨：（2）中讨论ΔEDB与ΔAOC相似的条件时，题目中未用相似符号连接应按不同的对应关系分情况讨论，否则易漏解。在由线段的长度求E点坐标时要注意点的坐标的符号。

（3）中在求是否存在点E问题，应先假设存在，列得关系式如果有解，并且符合题意就存在；如果无解或解得的结果不符合题意，就不存在。

19、（2009山西省太原市）已知，二次函数的表达式为y4x8x．写出这个函数图象的对称轴和顶点坐标，并求图象与x轴的交点的坐标．2

【关键词】二次函数最值、与坐标轴交点坐标

【答案】

4acb4408解：在y4x8x中，a4，b8，c0．∴14．2a244a442b822

∴这个函数图象的对称轴是x1，顶点坐标是：1，4．

评分说明：直接写出正确结果也得2分．令y＝０，则4x8x0．解得x0，x22．∴函数图象与x12

轴的交点的坐标为0，0，0．2，

20、（2009湖北省荆门市）一开口向上的抛物线与x轴交于A（m2，0），B（m＋2，0）两点，记抛物线顶点为C，且AC⊥BC．

（1）若m为常数，求抛物线的解析式；

（2）若m为小于0的常数，那么（1）中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点？

（3）设抛物线交y轴正半轴于D点，问是否存在实数m，使得△BCD为等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

第25题图

解：（1）设抛物线的解析式为：y＝a（x－m＋2）（x－m－2）＝a（x－m）2－4a．∵AC⊥BC，由抛物线的对称性可知：△ACB为等腰直角三角形，又AB＝4，∴C（m，2）代入得a＝1．∴解析式为：y＝1（x22－m）2．（亦可求C点，设顶点式）

（2）∵m为小于零的常数，∴只需将抛物线向右平移－m个单位，再向上平移2个单位，可以使抛物线y＝1（x－m）22顶点在坐标原点．22

（3）由（1）得D（0，1m22），设存在实数m，使得△BOD为等腰三角形．∵△BOD为直角三角形，2

∴只能OD＝OB．∴1m2－2＝|m＋2|，当m＋2＞0时，解得m＝4或m＝2（舍）．当m＋2＜0时，解2

得m＝0（舍）或m＝2（舍）；当m＋2＝0时，即m＝2时，B、O、D三点重合（不合题意，舍），综上所述：存在实数m＝4，使得△BOD为等腰三角形．

20、（20XX年淄博市）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长是2．O为坐标原点，点A在x的正半轴上，点C在y的正半轴上．一条抛物线经过A点，顶点D是OC的中点．

（1）求抛物线的表达式；

（2）正方形OABC的对角线OB与抛物线交于E点，线段FG过点E与x轴垂直，分别交x轴和线段BC于F，G点，试比较线段OE与EG的长度；

（3）点H是抛物线上在正方形内部的任意一点，线段IJ过点H与x轴垂直，分别交x轴和线段BC于I、J点，点K在y轴的正半轴上，且OK=OH，请证明△OHI≌△JKC．

解：（1）由题意，设抛物线的解析式为：yax2b．

将点D的坐标（0，1），点A的坐标（2，0）代入，得

a=1

4，b=1．1

4x1．2所求抛物线的解析式为y

1（2）由于点E在正方形的对角线OB上，又在抛物线上，设点E的坐标为（m，m）（0m2），则mm21．解得

m12,m224

（舍去）．所以OE

4

所以EGGFEF2m22)4．所以OE=EG．

（3）设点H的坐标为（p，q）（0p2，0q2），

由于点H在抛物线y

OH214x12上，所以q214p12，即p244q．因为OI2HI22p4q42OH=2–q．所以OK=OH=2–q．所以q(2q，)所以q

CK=2－（2－q）=q=IH．因为CJ=OI，∠OIH=∠JCK=90º，所以△OHI≌△JKC．

21、（20XX年贵州省黔东南州）凯里市某大型酒店有包房100间，在每天晚餐营业时间，每间包房收包房费100元时，包房便可全部租出；若每间包房收费提高20元，则减少10间包房租出，若每间包房收费再提高20元，则再减少10间包房租出，以每次提高20元的这种方法变化下去。

（1）设每间包房收费提高x（元），则每间包房的收入为y1（元），但会减少y2间包房租出，请分别写出y1、y2与x之间的函数关系式。

（2）为了投资少而利润大，每间包房提高x（元）后，设酒店老板每天晚餐包房总收入为y（元），请写出y与x之间的函数关系式，求出每间包房每天晚餐应提高多少元可获得最大包房费收入，并说明理由。

【关键词】二次函数的应用

【答案】解：（1）y1100x，y2

（2）y(100x)(1001

212x12(x50)112502x)，即：y

因为提价前包房费总收入为100×100=10000。

当x=50时，可获最大包房收入11250元，因为11250>10000。又因为每次提价为20元，所以每间包房晚餐应提高40元或60元。

22、（20XX年贵州省黔东南州）已知二次函数yxaxa2。

（1）求证：不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点。

（2）设a<0，当此函数图象与x轴的两个交点的距离为时，求出此二次函数的解析式。

（3）若此二次函数图象与x轴交于A、B两点，在函数图象上是否存在点P，使得△PAB的面积为若存在求出P点坐标，若不存在请说明理由。322，

【关键词】二次函数的综合应用

【答案】解（1）因为△=a24(a2)(a2)240

所以不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点。

（2）设x1、x2是yx2axa20的两个根，则x1x2a，x1x2a2，因两交点的距离是，所以|x1x2|

即：(x1x2)213

变形为：(x1x2)24x1x213

所以：(a)24(a2)13

整理得：(a5)(a1)0

解方程得：a5或1

又因为：a<0

所以：a=－1

所以：此二次函数的解析式为yxx3

（3）设点P的坐标为(xo,y0)，因为函数图象与x轴的两个交点间的距离等于，所以：AB=

所以：S△PAB=

所以：12AB|y0|2222(x1x2)。|y0|2

2即：|y0|3，则y03y03时，x0xo33，即(x03)(xo2)0

解此方程得：x0=－2或3

当y03时，x0xo33，即x0(xo1)0

解此方程得：x0=0或1

综上所述，所以存在这样的P点，P点坐标是(－2,3),(3,3),(0,－3)或(1,－3)。

23、（20XX年江苏省）如图，已知二次函数yx2x1的图象的顶点为A．二次函数yaxbx的图象与x轴交于原点O及另一点C，它的顶点B在函数yx2x1的图象的对称轴上．

（1）求点A与点C的坐标；

（2）当四边形AOBC为菱形时，求函数yaxbx的关系式．

22222

【关键词】待定系数法

2

22)．（3分）【答案】解：（1）yx2x1(x1)2，所以顶点A的坐标为(1，2因为二次函数yaxbx的图象经过原点，且它的顶点在二次函数yx2x1图象的对称轴l上，所

0)．以点C和点O关于直线l对称，所以点C的坐标为(2，2

2)．（2）因为四边形AOBC是菱形，所以点B和点A关于直线OC对称，因此，点B的坐标为(1，

20)，所以2)，C(2，因为二次函数yaxbx的图象经过点B(1，ab2，

4a2b0.

a2，解得b4．

所以二次函数yax2bx的关系式为y2x24x．

24、（20XX年浙江省绍兴市）定义一种变换：平移抛物线F1得到抛物线F2，使F2经过F1的顶点A．设F2的对称轴分别交F1，F2于点D，B，点C是点A关于直线BD的对称点．

0)，则①b的值等（1）如图1，若F1：yx，经过变换后，得到F2：yxbx，点C的坐标为(2，22

于______________；

②四边形ABCD为（）

A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形

（2）如图2，若F1：yaxc，经过变换后，点B的坐标为(2，c1)，求△ABD的面积；

（3）如图3，若F1：y1333

到点D的距离和到直线AD的距离之和的最小值．

x222x

7，经过变换后，ACP是直线AC上的动点，求点P

【关键词】二次函数应用

【答案】

25、（20XX年吉林省）某数学研究所门前有一个边长为4米的正方形花坛，花坛内部要用红、黄、紫三种颜色的花草种植成如图所示的图案，图案中AEMN．准备在形如Rt△AEH的四个全等三角形内种植红色花草，在形如Rt△AEH的四个全等三角形内种植黄色花草，在正方形MNPQ内种植紫色花草，每

（1）S与x之间的函数关系式为S；

（2）求W与x之间的函数关系式，并求所需的最低费用是多少元；

（3）当买花草所需的费用最低时，求EM的长．

EHF

G【关键词】二次函数的极值问题、与二次函数有关的面积问题

【答案】解：（1）x2(4x)2或2x28x16.

（2）W604S△AEB80(S正方形EFGN-S正方形MNPQ)+120S正方形MNPQ=604

212x(4x)80[x(4x)x]120x.2222=80x160x1280.

配方，得

W80(x1)1200.

当x1时，W最小值1200元．2

（3）设EMa米，则MH(a1)米.

在Rt△EMH中，

a(a1)13,

2222

解得a

a0,

a21.2

EM2米．

26、（20XX年深圳市）已知：Rt△ABC的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB与x轴重合（其中OA<OB），直角顶点C落在y轴正半轴上。

（1）求线段OA、OB的长和经过点A、B、C的抛物线的关系式。（4分）

（2）如图，点D的坐标为（2，0），点P（m，n）是该抛物线上的一个动点（其中m>0，n>0），连接DP交BC于点E。

①当△BDE是等腰三角形时，直接写出此时点E的坐标。．．．．图11②又连接CD、CP，△CDP是否有最大面积？若有，求出△CDP

的最大面的最大面积和此时点P的坐标；若没有，请说明理由。

【关键词】【答案】（1）由Rt△AOC∽Rt△COB易知，CO2=OA.OB=OA(AB-OA),可求OA=1,OB=4∴A(-1,0)B(4,0)C(0,2)可设解析式为y=a(x+1)(x-4),将点C(0,2)代入，可求a=

12

32

12

∴yx

2

x2为所求1

48

提示：直线BC的解析式为y

12

x2设E(x,y)，

（2）E1(3,)；E2(,)E3(4

2

55

1

yx2

利用勾股定理和点E(x,y)在直线BC上，可得两个方程组2

(2x)2y2221yx2

2

(4x)2y222

2n4m

分别可求E2和E3

（3）过D作X轴的垂线，交PC于M，易求PC的解析式为y故

SCDPSCDMSDMP12

xPyM

12

12

2

n2m

x2，且M(2,2)，

12

(xPxC)(yMyD)

m(32

2n4m

2)mn2

m(

12

2

m52

52

m2)2

mm

故，当m

时，SCDP最大值

258

，P(,

2

521

812

)

x1交坐标轴于A，B两点，以线段AB为边向上作正方形

27、（20XX年台州市）如图，已知直线y

ABCD，过点A，D，C的抛物线与直线另一个交点为E．

（1）请直接写出点C,D的坐标；（2）求抛物线的解析式；

（3）若正方形以每秒5个单位长度的速度沿射线AB下滑，直至顶点D落在x轴上时停止．设正方形落在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围；

（4）在（3）的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时停止，求抛物线上C,E两点间的抛物线弧所扫过的面积．

1

2x1

【关键词】与二次函数有关的面积问题

【答案】（1）C(3,2),D(1,3)；

（2）设抛物线为yax2bxc，抛物线过(0,1),(3,2),(1,3)，

5a,6c1,17,abc3,解得b69a3bc2.c1.

5217∴yxx1．66

（3）①当点A运动到点F时，t1,当0t1时，如图1，

∵OFAGFB’，tanOFA∴tanGFB’∴SFB’G12OAOF12,GB’FB’GB’5t1212,∴GB’5t254522t,FB’GB’5tt；②当点C图1运动到x轴上时，t2，当1t2时，如图2，

A’B’AB

5t

25∴A’F

∵B’H5t5,∴A’G，5t

2，

1图2

∴S梯形A’B’HG（A’GB’H)A’B’2

5

2t5

412(5t255t2)5；

③当点D运动到x轴上时，t3，当2t3时，如图3，

∵A’G

∴GD’

∵SAOF5t2515，53525t5t2，2

AOF∽GD’H图3121,OA1，

∴SGD’H

SAOF(GD’OA)，2

∴SGD’H(3525t)，

222∴S五边形GA’B’C’H2

=5

4t215

2t25

4．

（解法不同的按踩分点给分）

（4）∵t3,BB’AA’35,

∴S阴影S矩形BB’C’CS矩形AA’D’D

=ADAA’

=53515

图4

4)．28、（20XX年宁波市）如图，抛物线yax25ax4a与x轴相交于点A、B，且过点C(5，

（1）求a的值和该抛物线顶点P的坐标；

（2）请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的解析式．【关键词】平移，二次函数

25,4）4)代入抛物线yax5ax4a【答案】解：（1）把点C(5，

25a25a4a4，

解得a1．

该二次函数的解析式为yx5x4．2592yx5x4x24

95顶点坐标为P，42．

2（第23题）

（2）（答案不唯一，合理即正确）

如先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，

得到的二次函数解析式为

5917yx34x，242422

即yxx2．

29、(20XX年义乌)如图，抛物线yaxbxc与x轴的一个交点A在点（-2，0）和（-1，0）之间（包括这两点），顶点C是矩形DEFG上（包括边界和#.0(填“”或“”)；

(1)a的取值范围是#.22

2【关键词】抛物线yaxbxc系数的取值范围

【答案】（1）（2）30、（2009河池）

34

≤a≤

225

如图12，已知抛物线yx24x3交x轴于A、B两点，交

点B的坐标为（1，0）．

（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；（2）在平面直角坐标系xoy中是否存在点P，

与A、B、C三点构成一个平行四边形？若存在，请写出点P的坐标；若不