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文档简介
福建省福州市闽侯八中2023届4月高三学业水平考试数学试题试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知随机变量服从正态分布,,()A. B. C. D.2.已知,,由程序框图输出的为()A.1 B.0 C. D.3.给出下列三个命题:①“”的否定;②在中,“”是“”的充要条件;③将函数的图象向左平移个单位长度,得到函数的图象.其中假命题的个数是()A.0 B.1 C.2 D.34.已知数列是以1为首项,2为公差的等差数列,是以1为首项,2为公比的等比数列,设,,则当时,的最大值是()A.8 B.9 C.10 D.115.在菱形中,,,,分别为,的中点,则()A. B. C.5 D.6.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A. B.C. D.7.已知复数z满足,则在复平面上对应的点在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限8.如图,圆是边长为的等边三角形的内切圆,其与边相切于点,点为圆上任意一点,,则的最大值为()A. B. C.2 D.9.正项等比数列中的、是函数的极值点,则()A. B.1 C. D.210.已知函数是定义在R上的奇函数,且满足,当时,(其中e是自然对数的底数),若,则实数a的值为()A. B.3 C. D.11.已知符号函数sgnxf(x)是定义在R上的减函数,g(x)=f(x)﹣f(ax)(a>1),则()A.sgn[g(x)]=sgnx B.sgn[g(x)]=﹣sgnxC.sgn[g(x)]=sgn[f(x)] D.sgn[g(x)]=﹣sgn[f(x)]12.若实数满足的约束条件,则的取值范围是()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.函数在区间内有且仅有两个零点,则实数的取值范围是_____.14.已知函数,曲线与直线相交,若存在相邻两个交点间的距离为,则可取到的最大值为__________.15.某部门全部员工参加一项社会公益活动,按年龄分为三组,其人数之比为,现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本,若组中甲、乙二人均被抽到的概率是,则该部门员工总人数为__________.16.在中,,点是边的中点,则__________,________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)己知,,.(1)求证:;(2)若,求证:.18.(12分)为贯彻十九大报告中“要提供更多优质生态产品以满足人民日益增长的优美生态环境需要”的要求,某生物小组通过抽样检测植物高度的方法来监测培育的某种植物的生长情况.现分别从、、三块试验田中各随机抽取株植物测量高度,数据如下表(单位:厘米):组组组假设所有植株的生长情况相互独立.从、、三组各随机选株,组选出的植株记为甲,组选出的植株记为乙,组选出的植株记为丙.(1)求丙的高度小于厘米的概率;(2)求甲的高度大于乙的高度的概率;(3)表格中所有数据的平均数记为.从、、三块试验田中分别再随机抽取株该种植物,它们的高度依次是、、(单位:厘米).这个新数据与表格中的所有数据构成的新样本的平均数记为,试比较和的大小.(结论不要求证明)19.(12分)已知函数.(1)讨论的单调性并指出相应单调区间;(2)若,设是函数的两个极值点,若,且恒成立,求实数k的取值范围.20.(12分)已知函数.(Ⅰ)解不等式;(Ⅱ)设其中为常数.若方程在上恰有两个不相等的实数根,求实数的取值范围.21.(12分)某调查机构对某校学生做了一个是否同意生“二孩”抽样调查,该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生,调查统计他们是同意父母生“二孩”还是反对父母生“二孩”,现已得知100人中同意父母生“二孩”占60%,统计情况如下表:同意不同意合计男生a5女生40d合计100(1)求a,d的值,根据以上数据,能否有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与性别有关?请说明理由;(2)将上述调查所得的频率视为概率,现在从所有学生中,采用随机抽样的方法抽取4位学生进行长期跟踪调查,记被抽取的4位学生中持“同意”态度的人数为X,求X的分布列及数学期望.附:0.150.1000.0500.0250.0102.0722.7063.8415.0246.63522.(10分)在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),将曲线上每一点的横坐标变为原来的倍,纵坐标不变,得到曲线,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,射线与曲线交于点,将射线绕极点逆时针方向旋转交曲线于点.(1)求曲线的参数方程;(2)求面积的最大值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】
利用正态分布密度曲线的对称性可得出,进而可得出结果.【详解】,所以,.故选:B.【点睛】本题考查利用正态分布密度曲线的对称性求概率,属于基础题.2.D【解析】试题分析:,,所以,所以由程序框图输出的为.故选D.考点:1、程序框图;2、定积分.3.C【解析】
结合不等式、三角函数的性质,对三个命题逐个分析并判断其真假,即可选出答案.【详解】对于命题①,因为,所以“”是真命题,故其否定是假命题,即①是假命题;对于命题②,充分性:中,若,则,由余弦函数的单调性可知,,即,即可得到,即充分性成立;必要性:中,,若,结合余弦函数的单调性可知,,即,可得到,即必要性成立.故命题②正确;对于命题③,将函数的图象向左平移个单位长度,可得到的图象,即命题③是假命题.故假命题有①③.故选:C【点睛】本题考查了命题真假的判断,考查了余弦函数单调性的应用,考查了三角函数图象的平移变换,考查了学生的逻辑推理能力,属于基础题.4.B【解析】
根据题意计算,,,解不等式得到答案.【详解】∵是以1为首项,2为公差的等差数列,∴.∵是以1为首项,2为公比的等比数列,∴.∴.∵,∴,解得.则当时,的最大值是9.故选:.【点睛】本题考查了等差数列,等比数列,f分组求和,意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.5.B【解析】
据题意以菱形对角线交点为坐标原点建立平面直角坐标系,用坐标表示出,再根据坐标形式下向量的数量积运算计算出结果.【详解】设与交于点,以为原点,的方向为轴,的方向为轴,建立直角坐标系,则,,,,,所以.故选:B.【点睛】本题考查建立平面直角坐标系解决向量的数量积问题,难度一般.长方形、正方形、菱形中的向量数量积问题,如果直接计算较麻烦可考虑用建系的方法求解.6.A【解析】
根据题意,可得几何体,利用体积计算即可.【详解】由题意,该几何体如图所示:该几何体的体积.故选:A.【点睛】本题考查了常见几何体的三视图和体积计算,属于基础题.7.A【解析】
设,由得:,由复数相等可得的值,进而求出,即可得解.【详解】设,由得:,即,由复数相等可得:,解之得:,则,所以,在复平面对应的点的坐标为,在第一象限.故选:A.【点睛】本题考查共轭复数的求法,考查对复数相等的理解,考查复数在复平面对应的点,考查运算能力,属于常考题.8.C【解析】
建立坐标系,写出相应的点坐标,得到的表达式,进而得到最大值.【详解】以D点为原点,BC所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立坐标系,设内切圆的半径为1,以(0,1)为圆心,1为半径的圆;根据三角形面积公式得到,可得到内切圆的半径为可得到点的坐标为:故得到故得到,故最大值为:2.故答案为C.【点睛】这个题目考查了向量标化的应用,以及参数方程的应用,以向量为载体求相关变量的取值范围,是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算,将问题转化为解不等式或求函数值域,是解决这类问题的一般方法.9.B【解析】
根据可导函数在极值点处的导数值为,得出,再由等比数列的性质可得.【详解】解:依题意、是函数的极值点,也就是的两个根∴又是正项等比数列,所以∴.故选:B【点睛】本题主要考查了等比数列下标和性质以应用,属于中档题.10.B【解析】
根据题意,求得函数周期,利用周期性和函数值,即可求得.【详解】由已知可知,,所以函数是一个以4为周期的周期函数,所以,解得,故选:B.【点睛】本题考查函数周期的求解,涉及对数运算,属综合基础题.11.A【解析】
根据符号函数的解析式,结合f(x)的单调性分析即可得解.【详解】根据题意,g(x)=f(x)﹣f(ax),而f(x)是R上的减函数,当x>0时,x<ax,则有f(x)>f(ax),则g(x)=f(x)﹣f(ax)>0,此时sgn[g(x)]=1,当x=0时,x=ax,则有f(x)=f(ax),则g(x)=f(x)﹣f(ax)=0,此时sgn[g(x)]=0,当x<0时,x>ax,则有f(x)<f(ax),则g(x)=f(x)﹣f(ax)<0,此时sgn[g(x)]=﹣1,综合有:sgn[g(x)]=sgn(x);故选:A.【点睛】此题考查函数新定义问题,涉及函数单调性辨析,关键在于读懂定义,根据自变量的取值范围分类讨论.12.B【解析】
根据所给不等式组,画出不等式表示的可行域,将目标函数化为直线方程,平移后即可确定取值范围.【详解】实数满足的约束条件,画出可行域如下图所示:将线性目标函数化为,则将平移,平移后结合图像可知,当经过原点时截距最小,;当经过时,截距最大值,,所以线性目标函数的取值范围为,故选:B.【点睛】本题考查了线性规划的简单应用,线性目标函数取值范围的求法,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
对函数零点问题等价转化,分离参数讨论交点个数,数形结合求解.【详解】由题:函数在区间内有且仅有两个零点,,等价于函数恰有两个公共点,作出大致图象:要有两个交点,即,所以.故答案为:【点睛】此题考查函数零点问题,根据函数零点个数求参数的取值范围,关键在于对函数零点问题恰当变形,等价转化,数形结合求解.14.4【解析】
由于曲线与直线相交,存在相邻两个交点间的距离为,所以函数的周期,可得到的取值范围,再由解出的两类不同的值,然后列方程求出,再结合的取值范围可得的最大值.【详解】,可得,由,则或,即或,由题意得,所以,则或,所以可取到的最大值为4.故答案为:4【点睛】此题考查正弦函数的图像和性质的应用及三角方程的求解,熟练应用三角函数的图像和性质是解题的关键,考查了推理能力和计算能力,属于中档题.15.60【解析】
根据样本容量及各组人数比,可求得C组中的人数;由组中甲、乙二人均被抽到的概率是可求得C组的总人数,即可由各组人数比求得总人数.【详解】三组人数之比为,现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本,则三组抽取人数分别.设组有人,则组中甲、乙二人均被抽到的概率,∴解得.∴该部门员工总共有人.故答案为:60.【点睛】本题考查了分层抽样的定义与简单应用,古典概型概率的简单应用,由各层人数求总人数的应用,属于基础题.16.2【解析】
根据正弦定理直接求出,利用三角形的边表示向量,然后利用向量的数量积求解即可.【详解】中,,,可得因为点是边的中点,所以故答案为:;.【点睛】本题主要考查了三角形的解法,向量的数量积的应用,考查计算能力,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】
(1)采用分析法论证,要证,分式化整式为,再利用立方和公式转化为,再作差提取公因式论证.(2)由基本不等式得,再用不等式的基本性质论证.【详解】(1)要证,即证,即证,即证,即证,即证,该式显然成立,当且仅当时等号成立,故.(2)由基本不等式得,,当且仅当时等号成立.将上面四式相加,可得,即.【点睛】本题考查证明不等式的方法、基本不等式,还考查推理论证能力以及化归与转化思想,属于中档题..18.(1);(2);(3).【解析】
设事件为“甲是组的第株植物”,事件为“乙是组的第株植物”,事件为“丙是组的第株植物”,、、、,可得出.(1)设事件为“丙的高度小于厘米”,可得,且、互斥,利用互斥事件的概率公式可求得结果;(2)设事件为“甲的高度大于乙的高度”,列举出符合题意的基本事件,利用互斥事件的概率加法公式可求得所求事件的概率;(3)根据题意直接判断和的大小即可.【详解】设事件为“甲是组的第株植物”,事件为“乙是组的第株植物”,事件为“丙是组的第株植物”,、、、.由题意可知,、、、.(1)设事件为“丙的高度小于厘米”,由题意知,又与互斥,所以事件的概率;(2)设事件为“甲的高度大于乙的高度”.由题意知.所以事件的概率;(3).【点睛】本题考查概率的求法,考查互斥事件加法公式、相互独立事件概率乘法公式等基础知识,考查运算求解能力,是中等题.19.(1)答案见解析(2)【解析】
(1)先对函数进行求导得,对分成和两种情况讨论,从而得到相应的单调区间;(2)对函数求导得,从而有,,,三个方程中利用得到.将不等式的左边转化成关于的函数,再构造新函数利用导数研究函数的最小值,从而得到的取值范围.【详解】解:(1)由,,则,当时,则,故在上单调递减;当时,令,所以在上单调递减,在上单调递增.综上所述:当时,在上单调递减;当时,在上单调递减,在上单调递增.(2)∵,,由得,∴,,∴∵∴解得.∴.设,则,∴在上单调递减;当时,.∴,即所求的取值范围为.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、最值,考查分类讨论思想和数形结合思想,求解双元问题的常用思路是:通过换元或消元,将双元问题转化为单元问题,然后利用导数研究单变量函数的性质.20.(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】
(I)零点分段法,分,,讨论即可;(II),分,,三种情况讨论.【详解】原不等式即.当时,化简得.解得;当时,化简得.此时无解;当时,化简得.解得.综上,原不等式的解集为由题意,设方程两根为.当时,方程等价于方程.易知当,方程在上有两个不相等的实数根.此时方程在上无解.满足条件.当时,方程等价于方程,此时方程在上显然没有两个不相等的实数根.当时,易知当,方程在上有且只有一个实数根.此时方程在上也有一个实数根.满足条件.综上,实数的取值范围为.【点睛】本题考查解绝对值不等式以及方程根的个数求参数范围,考查学生的运算能力,是一道中档题.21.(1),有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与“性别”有关;(2)详
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