2023年新高考数学大一轮复习专题06 函数的概念（解析版）

专题06函数的概念

【考点预测】

1.函数的概念

⑴一般地，给定非空数集A,B,按照某个对应法则于,使得A中任意元素％,都有B中唯一确定的y

与之对应，那么从集合A到集合8的这个对应，叫做从集合A到集合B的一个函数.记作：xf)，=/(x),

xtA.集合A叫做函数的定义域，记为。，集合｛小=/(工)，/€川叫做值域，记为C.

(2)函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射.

(3)函数表示法：函数书写方式为y=f(x),x^D

(4)函数三要素：定义域、值域、对应法则.

(5)同一函数：两个函数只有在定义域和对应法则都相等时，两个函数才相同.

2,基本的函数定义域限制

求解函数的定义域应注意：

(1)分式的分母不为零；

(2)偶次方根的被开方数大于或等于零：

(3)对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；

(4)零次幕或负指数次易的底数不为零；

(5)三角函数中的正切y=tanx的定义域是R,且xw区+/,kwz｝；

(6)已知/(x)的定义域求解/［g(x)］的定义域，或已知/［晨切的定义域求f(x)的定义域，遵

循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则J下，括号内式子的范围相同；

(7)对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域.

3.基本初等函数的值域

(1))，=履+6(4工0)的值域是/?.

(2)丫=於2+队+。3=0)的值域是：当a>0时，值域为｛乂；当avO时，值域为

4ac-b2

｛乂”).

4a

(3)y=1(AH0)的值域是｛加0｝.

(4)y=优3>0且a工1)的值域是(0,+8).

(5)丫=1。801(4>0且。工1)的值域是员.

4.分段函数的应用

分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决,

即分段函数问题，分段解决.

【题型归纳目录】

题型一：函数的概念

题型二：同一函数的判断

题型三：给出函数解析式求解定义域

题型四：抽象函数定义域

题型五：函数定义域的应用

题型六：函数解析式的求法

L待定系数法（函数类型确定）

2.换元法或配凑法（适用于了丹g（刈型）

3,方程组法

4.求分段函数的解析式

5.抽象函数解析式

题型七：函数值域的求解

L观察法

2.配方法

3.图像法（数形结合）

4.基本不等式法

5,换元法（代数换元与三角换元）

6,分离常数法

7.判别式法

8,单调性法

9.有界性法

1。・导数法

题型八：分段函数的应用

【典例例题】

题型一：函数的概念

例I.（2022・全国•高三专题练习）函数）弓5）的图象与直线工=1的交点个数（）

A.至少1个B.至多1个C.仅有1个D.有0个、1个或多个

【答案】B

【解析】

【分析】

利用函数的定义判断.

【详解】

若1不在函数;（x）的定义域内，），可5）的图象与直线X=1没有交点,

若1在函数K6的定义域内，）〒/（x）的图象与直线1=1有1个交点,

故选：B.

例2.（2022・全国•高三专题练习）下列四个图像中，是函数图像的是（）

B.(1)(2)(3)C.(1)(3)(4)D.(1)：2)(3)(4)

【答案】C

【解析】

【分析】

根据函数的定义即可得到答案.

【详解】

根据函数的定义，•个自变量值对应唯••个函数值，或者多个自变量值对应唯•一个函数值，显然只有

（2）不满足.

故选：C.

（多选题）例3.（2022・全国•高三专题练习）下列对应关系f能构成从集合M到集合N的函数的是（）

A.N={-6,T1},=/(1)=-3,=l

B.M=N={x|x>-l},/(x)=2x+l

C./W=TV={1,2,3},f(x)=2x+\

-Lx为奇数,

D.M=Z,N={-l,l},/(x)=

l,x为偶数.

【答案】ABD

【解析】

根据函数的定义，结合函数的定义，逐项判定，即可求解.

【详解】

对于A中，集合M中的任意一个元素，按某种对应法则，在集合N中存在唯一的元素相对应，所以能构成

从集合M到集合N的函数；

对于B中，集合"={x|xN-l}中的任意一个元素，按某种对应法则，在集合N={x|xZT）中存在唯一的

元素相对应，所以能构成从集合M到集合N的函数；

对于C中，集合M={1,2,3},当x=3时，可得"3）=5史N,所以不能构成从集合M到集合N的函数；

对于D中，集合“二Z中的任一元素，按〃制=।'.网物'，在集合N={T」}有唯一的元素与之对应,

［Lx为偶数.

所以能构成从集合M到集合N的函数.

故选：ABD

【点睛】

本题主要考查了函数的基本概念及判定，其中解答中熟记函数的基本概念，结合函数的定义逐项判定是解

答的关键，着重考查推理与判定能力，属于基础题.

例4.（2022・浙江・高三专题练习）将函数），=2§访］［£0,5］）的图像绕着原点逆时针旋转角a得到曲线了，

当。«0,到时都能使丁成为某个函数的图像，则6的最大值是（）

A.mB.—C.—JrD.■^兀

6443

【答案】B

【解析】

【分析】

根据函数的概念，一个力只能对应一个y,所以找到在原点处的切线，使图像旋转过程中切线不能超过y轴

即可.

【详解】

解：y=cos楙在原点处的切线斜率为A=1,切线方程为y=x

当y=2sin］绕着原点逆时针方向旋转时，若旋转角。大于（，则旋转所成的图像与丁轴就会有两个交点,

则曲线不再是函数的图像.

所以。的最大值为：.

4

故选：B.

【点睛】

思路点睛：函数的关键点：每一个工都有唯一的一个确定的数y和它对应，所以考虑函数的切线，当函数的

切线超过y轴时，一个工会有2个y和它对应，则不满足情况，所以旋转角度即为切线的旋转角.

例5.(2022・全国•高三专题练习)存在函数/(力，对于任意xeR都成立的下列等式的序号是.

®/(sin3x)=sinx；(2)/(sin3x)=x3+x2-i-x；®/(x2+2)=|x+2|；@f^x2+4x)=|x+2|.

【答案】④

【解析】

【分析】

根据函数定义逐项判断①②③，采用换元的方法求解④中/(力的解析式并进行判断.

【详解】

①当％=0时，/(0)=0；当x=?时，/(0)=立，与函数定义矛盾，不符合；

②当入=0时，/(o)=o；当x=?时，"°)=(?]+(qJ+f，与函数定义矛盾，不符合；

③当/=-2时，/(6)=0；当％=2时，"6)=4,与函数定义矛盾，不符合；

④令4+2=7,所以4)=’|,令/一4=〃2£[-4,y),所以i=±Jm+4,

所以/(6)=KJ旅+可=，m+4(,ne[-4,”)),所以/(*)=Jx+4(xe[-4,+co)),符合，

故答案为：④.

【点睛】

关键点点睛：解答本题的关键在于对于函数定义的理解以及换元法求解函数解析式的运用，通过说明一个

自变量X的值对应两个不同的/(力的值，判断出不符合函数定义；同时在使用换元法求解函数解析式时，

新元取值范围的分析不能遗漏.

【方法技巧与总结】

利用函数概念判断

题型二：同一函数的判断

例6.(2022•全国•高三专题练习)下列各组函数是同一函数的是()

@/(X)=V-2X3g(X)=Xyp2x.®/(A)=xJgg(x)=7?.③/(x)=X。与g(x)=+.®/(X)=X2-2X-1

与g⑺=*—2r-l.

A.①②B.&@C.③④D.①④

【答案】C

【解析】

【分析】

根据函数的概念可知同一函数需满足定义域和对应关系均相同，因此结合题H逐个分析即可得到结果.

【详解】

对于①=的定义域为(-oo,0),g(x)=xQ的定义域为(-00,0),所以==-小可，

则〃力与g(x)的定义域相同，但对应关系不同，则不是同一函数；

对于②g(x)=J7=W，所以/(%)=x与g(x)=J7的对应关系不同，则不是同一函数；

对于③〃X)=X°的定义域为{布工0},网力=3的定义域为{斗k0},且〃力=1，g(x)=l，因此函数

/(力=/与g(x)=%的定义域和对应关系均相同，则是同一函数；

对于④=f-筋一1的定义域为R,gS=/—2/T的定义域为R,因此函数/(x)=f一"7与

g(r)="-2r-l的定义域和对应关系均相同，则是同一函数；

故选：C.

例7.(2022・全国•高三专题练习)下列各组函数中，表示同一函数的是()

A.f(x)=etnx,gM=x

2-

B.f(x)=---,g(x)=x-2

x+2

C./(x)=x°,g(x)=l

D./(X)=|A|,xe{-\,0,1},g(x)=W,XG{-1,0,1}

【答案】D

【解析】

【分析】

根据函数的定义域和同一函数的定义逐一判断可得选项.

【详解】

解：对于A：/(幻的定义域是(0,y),或")的定义域是R,两个函数的定义域不相同，不是同一函数，

对于B：/a)=x-2,(XW-2),g(x)的定义域是R,两个函数的定义域不相同，不是同一函数，

对于C：〃幻的定义域为{xlxwO},g(x)的定义域是/?,两个函数的定义域不相同，不是同一函数，

对于D：/'J)对应点的坐标为{(TD,(0,0),(1,1)),g(x)对应点的坐标为{(T1),(0,0),(1,1)},两个函数

对应坐标相同，是同一函数，

故选：D.

(多选题)例8.(2022・全国•高三专题练习)下列各组函数中表示同一个函数的是()

〃..[2x,x>0,、

A./(X)=|2A-|,g(x)={B./(x)=x2,g(t)=t~

I-ZX,X<v

Q2[(

C.f(x)=x+^-,g(x)=x+[D.f(x)=x+4,^(X)=----

33x-4

【答案】AB

【解析】

【分析】

确定函数的定义域与对应法则是否相同即可判断.

【详解】

A中两个函数定义域都是R,对应法则都是乘以2后取绝对值，是同一函数：

B中两个函数定义域都是R,对应法则都是取平方，是同一函数；

C中/⑶定义域是{X|XHO},g(x)的定义域是R,不是同•函数；

D中/(x)的定义域是R,g(x)的定义域是“1)工4},不是同一函数.

故选：AB.

(多选题)例9.(2022・全国•高三专题练习)在下列四组函数中，/(X)与g。)不表示同一函数的是()

r*—1+1

A.f(x)=x-1,g(x)=---B./(x)=|x+l|,g(x)=<

X+\

C.f[x)=\tg(x)=a+l)°D.fW=xtg(x)=(4)2

【答案】ACD

【解析】

【分析】

根据同一函数的要求，两个函数的定义域和对应法则应相同，对四个选项中的两个函数分别进行判断，得

到答案.

【详解】

A选项，〃力定义域为R,g(x)的定义域为(fo,-l)U(T”)，所以二者不是同一函数，故A符合题意；

,一:，与g(')定义域相同，对应法则也相同，所以二者是同■函数，故B

不符合题意；

C选项，/(力定义域为R,g")的定义域为(F,T)U(T,E)，所以二者不是同一函数，故C符合题意；

D选项，/(x)定义域为R，g(x)的定义域为口内)，所以二者不是同一函数，故D符合题意；

故选：ACD.

【点睛】

方法点睛：函数的三要素是定义域，对应关系(解析式)，值域，而定义域和对应关系决定值域，所以判断

两个函数是否相同只需要判断两个要素：定义域，对应法则是否相同即可.

【方法技巧与总结】

当且仅当给定两个函数的定义域和对应法则完全相同时，才表示同一函数，否则表示不同的函数.

题型三：给出函数解析式求解定义域

例10.（2022・全国•高三专题练习）已知等腰三角形的周长为40cm,底边长是腰长耳切?）的函数，则

函数的定义域为（）

A.（10,20）B.（OJO）C.（5J0）D.[5,10）

【答案】A

【解析】

【分析】

利用两边之和大于第三边及边长为正数可得函数的定义域.

【详解】

由题设有y=40—2x,

f40-2x>0

由｛仆r得10<x<20,故选A.

xix>402x

【点睛】

本题考查应用题中函数的定义域，注意根据实际意义和几何图形的性质得到自变量的取值范围.

例11.（2022•全国•河源市河源中学模拟预测）函数“力二心氏（2dLx+14）-2的定义域为-

【答案】（一8,2）u（|,

【解析】

【分析】

根据偶次根号下的被开方数大于等于零，分母不为0,根据真数列出不等式，进行求解再用集合或区间的形

式表示出来.

【详解】

由题意可知log2（2f-9x+14）-2>0,而以2为底的对数函数是单调递增的，

因此2--9/+14>4,求解可得x<2或

故答案为：S2Ml收）.

例12.（2022.北京.模拟预测）函数"x）=ViUT+lg（2-x）的定义域是.

【答案】弓2）

【解析】

【分析】

依据题意列出不等式组，解之即可得到函数的定义域

【详解】

,[2x+l>01

由题意可得，〈八，解之得一7«x<2

[2-x>02

则函数/（"=在订+怆（2-力的定义域是[-g,2）

故答案为：[-；,2）

例13.（2022•上海市奉贤中学高三阶段练习）函数/（力=的定义域为.

【答案】（-co,0]

【解析】

【分析】

根据具体函数的定义域求法，结合指数函数的单调性求解.

【详解】

解：由（g）一120,

所以」40,

所以函数的定义域为（-8,01，

故答案为：（70，。]

【方法技巧与总结】

对求函数定义域问题的思路是：

（1）先列出使式子/（X）有意义的不等式或不等式组；

（2）解不等式组；

13）将解集写成集合或区间的形式.

题型四：抽象函数定义域

例14.（2022・北京•高三专题练习）已知函数y=/（x）的定义域为（0,1）,则函数尸（同二川2r-力的定义域

为（）

A.（-oo,l）B.（YO,0）D（0,1）C.（0*）D.[0,1）

【答案】B

【解析】

【分析】

抽象函数的定义域求解，要注意两点，一是定义域是x的取值范围；二是同一对应法则下，取值范围一致.

【详解】

•.•y=f(x)的定义域为(0,1),2rT<1,即2']，

解得：xvl且工工0,

.•1(力=)(|2"/的定义域为(-co,0)50,1).

故选：B.

例15.(2022・全国•高三专题练习)已知函数尸/(炉-4)的定义域是卜1,5],则函数尸〃2x+l)的定义域

为.

【答案】-|jo

【解析】

【分析】

由函数y=/(f-4)的定义域是[-1,5],可求炉―4的值域，即函数/(力的定义域，再由Zv+iq-4,21],

即可求得y=/(2x+l)的定义域.

【详解】

y=/(X2-4)的定义域是[-L5],则x2-4目-4,21],

即函数『(4)的定义域为[Y,21],

令2x+l解得X《一|[O].

则函数)，=/(2x+l)的定义域为卜米10.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了抽象函数定义域的求法，注意理解函数/(力的定义域与函数/|>(力]定义域的区别.

例16.(2022・全国•高三专题练习)己知函数y=/(x-1)的定义域为[1,3],则函数卜=/(1%切的定义域为

()

A.[0,1]B.[1,9]C.[0,2]D.[0,9]

【答案】B

【解析】

【分析】

根据“一1与10g3”的取值范围一致，从而得到183%目0,2],进而求得函数的定义域.

【详解】

由“叩,3],得x—l«0,2],

所以logixe[0,2],所以xw[l,9].

故选：B.

例17.(2022・全国•高三专题练习)若函数/(力的定义域为[-1,2],则函数8(”=半学的定义域是()

Vx-1

A.[1,4]B.(U4]C.[L2]D.(1,2]

【答案】B

【解析】

根据题意可得出关于x的不等式组，由此可解得函数g(x)的定义域.

【详解】

由于函数/⑺的定义域为[—1,2],对于函数g(力=令子，有[_1工0，解得I。".

因此，函数g(x)=，产")的定义域是(L4].

\Jx-l

故选：B.

、，一心)

例18.(2022.全国•高三专题练习)已知函数/(*)的定义域为[3,6],则函数,(,iogl(2-x)的定义域为(

,,+oo?2

【答案】B

【解析】

【分析】

由函数的定义域得到2%的范围，根据分母不为。及被开方数非负得到关于x的不等式，求出不等式的解集.

【详解】

解：由函数/⑶的定义域是[3,6],得到3融x6,

3地“65瓢3

2-x>0gp-2>x

logi(2-x)>0l<x<2

2

解得：

所以原函数的定义域是：g,2).

故选：B.

【点睛】

本题考查学生掌握复合函数的定义域，考查了对数不等式的解法，属于基础题.

例19.(2022.全国•高三专题练习)已知函数/(X)是定义在［2,内)的单调递增函数，若

/(2£-5〃+4)</(/+〃+4),则实数。的取值范围是().

A.^-JU(2,+oo)B.［2,6)

C.“2,6)D.(0,6)

【答案】C

【解析】

2a2-5a+4>2

根据函数的定义域以及单调性可得上2+。+422,解不等式组即可.

2a2-5a+4<a2+a+4

【详解】

因为函数/(力是定义在［2,位)的单调递增函数，且/(2片一5a+4)</(/+a+4),

a<—或〃>2

2<z2-5t?+4>22

所以《a2+a+4>2=>•aeR

2a2-5a+4<a2+a+40<a<6

解得或2Wav6.

故选：C.

例20.(2022.全国•高三专题练习)求下列函数的定义域：

⑴已知函数/(力的定义域为12,2］,求函数的定义域.

⑵已知函数y=/(2x+4)的定义域为［0,1］,求函数“力的定义域.

(3)已知函数f(x)的定义域为［T2］,求函数y=/*+l)-“？一1)的定义域.

【答案】⑴『石,石］:

(2)［4,6］：

⑶

【解析】

【分析】

抽象函数定义域求解，需注意两点：

①定义域是函数解析式中自变量“X”的范围；

②对于同一个对应关系‘7，'了后括号里面式子整体范围相同.

(l)y=/(x2-l)'Px2-l的范围和“X)中X范围相同，/(%)中1范围是[-2,2]：

⑵/卜)中X的范围和y=/(2%+4)中2x+4范围相同，y=/(2x+4)中X范围是[05；

⑶、=/*+1)-/，-1)中彳+1与均与/⑺中x范围相同，“X)中x的范围是[一1,2].

(1)

令一2工大2一1拉得一号炉与，即叱/与，从而一

・•・函数y=/*2-i)的定义域为[-6,6].

(2)

・・・y=/(2x+4)的定义域为。1],即在y=f(2x+4)中“£[0,1],令A2什4,xe[0,1],则/£[4,6],即在

%)中,/e[4,6],

・•・/«)的定义域为[4,6].

(3)

f-l<x-|-l<2广

由题得<：.-43<X<\，

-1<x2-1<2

・•・函数y=/(X+1)-/(X2-1)的定义域为[-73,1].

【方法技巧与总结】

1.抽象函数的定义域求法：此类型题目最关键的就是法则下的定义域不变，若/3)的定义域为(人为，

求/Ig(x)]中〃<g(x)vb的解X的范围，即为)[g(x)]的定义域，口诀：定义域指的是X的范围，括号范围相

同.已知的定义域，求四则运算型函数的定义域

2.若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求

出各个函数的定义域，再求交集.

题型五：函数定义域的应用

，/、2/+,+a

例21.(2022・全国•高三专题练习)若函数f(x)=77^―V的定义域为R，WJ实数。的取值范围是()

InI2+aI

A.(-2,2)B.(-1,-K»)C.(-2,-1)D.(-2,-1)<J(-1,-KO)

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意得到之2+a恒成立，根据定义域为R得到2+a>0恒成立，且满足

+,

In（2川+可工0n2•儿+。=1,2^制-a,解出。得范围，二者取交集即可.

【详解】

因为2山+422+4，"X）的定义域为火，

所以首先满足2+a>0恒成立，

再者满足ln（2*"+a）/0=2?+,+〃工1,变形得到2,、工1一《丁2"«2,4oo）」.l-a<2

:.a>-\,最终得到a>-l.

故选：B.

例22.（2022•全国•高三专题练习）已知函数/（x）=J（m+l）f+；的定义域为R,则优的取值范

围是［）

A.-\<m<2B.-l</w<2C.-\<m<2D.—1<w<2

【答案】C

【解析】

【分析】

3

由（阳+1一（加+］）%+^20在R上恒成立，分〃2+1=0和〃?+1H0结合二次函数性质求解即可..

【详解】

由题意得：（小+1）/-（m+1）%+^20在N上恒成立.

帆+1=0即加=-1时，/（%）=3恒成立,符合题意，

"7+1>0

m+1/0时,只需（

A=(/??+1)2-3(6+1)<0

解得:

综上：mtEi,2］,

故选：C.

（多选题）例23.（2022・全国•高三专题练习）（多选）若函数），=上有意义,则实数。

可能的取值是（）

A.-1B.1C.3D.5

【答案】AB

【解析】

【分析】

该题可等价于2+1N0在区间［-2,-I］上恒成立，分离参数即可求得.

【详解】

函数），=

等价于£+120在区间上恒成立，

由x<0得在区间［-2,-1］上恒成立，所以,

故选：AB.

例24.（2022•全国•高三专题练习）函数y=----^的定义域是R,则。的取值范围是.

【答案】［0,4）

【解析】

根据函数的解析式，可知当定义域为R时，说明公2+公+1>。在及上恒成立，则对。进行分类讨论，确定

满足条件的。的范围.

【详解】

由题意可得如2+or+1>0在R上恒成立.

①当6=0时，则1>0恒成立，

.•.。=0符合题意；

②当日/0时，

（a>0

则，/n*解得。<"4.

［a--4a<0

综上可得0〈。<4,

，实数〃的取值范围为［0,4）.

故答案为：［0,4）.

【点睛】

a>0

不等式底+法+c>o的解是全体实数（或恒成立）的条件是：当。=0时，5=0,c>0;当。工0时，L八；不

A<0

a<0

等式法2+bx+cvO的解是全体实数（或恒成立）的条件是当归0时，Q0,c<0：当"0时，｛A八.

A<0

例25.（2022•上海•高三专题练习）已知函数/（4）=lg（F?l+奴）的定义域为R,则实数。的取值范围是

【答案】［7,1］

【解析】

【分析】

根据对数函数的真数大于0,得出庐门+奴>0恒成立，利用构造函数法结合图象求出不等式恒成立时〃

的取值范围.

【详解】

解：函数f(x)=lg(J7，T+ai)的定义域为R，

:.Vx2+1+城>。恒成立,

+E>-然恒成立,

设y=V?W，x£R，V-/=l，y>h它表示焦点在y轴上的双曲线的一支，且渐近线方程为)，=七；

令y=-or,xGR；它表示过原点的直线：

由题意知，直线)，=-”的图象应在,，=正71的下方，画出图形如图所示;

：.0<-a<\或-IW-OVO,

解得-:

・♦・实数。的取值范围是L1,1].

故答案为[-1,1].

【点睛】

本题考查了不等式恒成立问题，考查数形结合思想与转化思想，是中档题.

【方法技巧与总结】对函数定义域的应用，是逆向思维问题，常常转化为恒成立问遨求解，必要时对

参数进行分类讨论.

题型六：函数解析式的求法

【方法技巧与总结】求函数解析式的常用方法如下：

(1)当已知函数的类型时，可用待定系数法求解.

(2)当已知表达式为/[g(x)]时，可考虑配凑法或换元法，若易将含x的式子配成g(x),用配凑法.

若易换元后求出x,用换元法.

[3)若求抽象函数的解析式，通常采用方程组法.

14)求分段函数的解析式时，要注意符合变量的要求.

(5)当出现大基团换元转换繁琐时，可考虑配凑法求解.

：6)若已知成对出现/(x),yd)或f(x),/(-X),类型的抽象函数表达式，则常用解方程组法构造

X

另一个方程，消元的方法求出了。).

L待定系数法(函数类型确定)

(多选题)例26.(2022・全国•高三专题练习)已知函数/(x)是一次函数，满足/(/(%))=9x+8,则

的解析式可能为()

A./(%)=3x4-2B.f(x)=3x-2

C./(x)=-3x+4D./(x)=-3x-4

【答案】AD

【解析】

【分析】

设f3=履+6,代入/(/(力)=9/8列方程组求解即可.

【详解】

设/(》)=去+匕，

由题意可知/(/(%))=&(八+b)+b=/x+妨+b=9%+8,

公=9

所以《

kb+b=8

所以〃制=3x+2或〃x)=-31.

故选：AD.

例27.(2022・全国•高三专题练习)设。=欢)是一次函数,若«0)=1,且/(DJ(4)J(13)成等比数列,则

/(2)+/(4)+…+/(2〃)等于()

A.〃(2〃+3)B.〃(〃+4)

C.2M2〃+3)D.2〃(〃+4)

【答案】A

【解析】

由已知可以假设一次函数为y=h+l,在根据/(1),/(4)J(13)成等比数列，得出％=3,利用等差数列的求

和公式求解即可.

【详解】

由已知，假设/3)=右+以伏工0)

••,/(0)=I=AX0+6,；.b=\.

・・・f(DJ(4)J(13)成等比数列,

且f(1)=k+1,f(4)=4k+1J(13)=13k+1.

.»+l,4&+1,134+1成等比数列,即(纵+1)2=(攵+1)(13A+1),

16S+1+8Z=I3X+14Z+1,从而解得4=0（舍去），k=2,

/（2）+/（4）+...+/（2n）

=（2x2+l）+（4x2+l）+...+（2nx2+l）

=（2+4+…+2n）x2+〃

.小"+1）「/八

=4x-----+n=2/7（M+1）+n

2

=3M+2n2=n（2n+3）.

故选：A.

【点睛】

本题考查了等比数列、等差数列和函数的综合应用，考查了学生的计算能力，解题时要认真审题，仔细解

答，避免错误，属于中档题.

例28.（2022・全国•高三专题练习）已知〃力为二次函数，/（O）=O,/（2x+l）-/（x）=x2+3x+2,求/（x）

的解析式.

【答案】/（%）=#+3

【解析】

【分析】

设〃%）二奴2+笈+。，由已知建立关系求出。，尻C即可.

【详解】

解：因为“X）为二次函数，所以设f（力=加+bx+c,因为"0）=0,所以c=0,

所以〃力=加+区,

所以/（2x+l）=a（2x+l）"+/?（2x+l）=4tu2+（4a+2/?）x+（a+b）,

因为f（2x+l）-f（x）=x2+3x+2,所以30¥2+（4^+。）]+（。+8）=工2+3%+2,

所以%=1,痴+6=3,a+b=2,所以a=g,b=g，所以f（力=：/+gx.

2.换元法或配凑法（适用于了/[g（£”型）

例29.（2022.陕西西安.高三阶段练习（文））已知/（工+1）=1/，则/（力=•）

A.ln（x+l）2B.21n（x+l）

C.21n|x-l|D.In'-l）

【答案】C

【解析】

【分析】

根据给定条件，利用换元法求出/(X)即可作答.

【详解】

因〃x+l)=ln¥2,则设x+l=r,有x=[-l,而工工0,则有1工1,

于是得了⑺=ln(♦1)2=2In|-11,

所以/(x)=21n|x-l|,xwl,

故选：C

例30.(2022・全国•高三专题练习)已知函数/(公)=f，则的解析式为()

A.〃力=71^(4~1)B.=

C〃力=舟■IT)D./(司=一e"(工工-1)

【答案】A

【解析】

【分析】

令’=^，则％=三，代入已知解析式可得FW的表达式，再将，换成“即可求解.

【详解】

AI—X|1一1

号t=:—,m则|”=;—,

l+x1+r

2T

所以“力=击(1工一1)，

故选：A.

例31.(2022・全国•高三专题练习)已知函数“力满足〃8SX-1)=8S2X-1,则〃力的解析式为()

A./(x)=2x2+4x(-2<x<0)B.f(x)=2x2+4X(XER)

C./(x)=2x-\(-2<x<0)D./(x)=2x-l(xe7?)

【答案】A

【解析】

利用换元法，Scosx-l=re[-2,0],将原函数转化成关于，的关系式，进行整理即得了(力的解析式.

【详解】

函数J(%)满足/(cosx-l)=cos2x-l=2cos2x-i-i=2cos2x-2,

设cosx-l=r,则cosx=f+l,由8sxe|-l』]知fw|-2,0],

故原函数可转化为〃f)=2(f+l)2-2=2/+4z.re[-2.0].

即/(X)的解析式为f(力=2X2+4x(-2<J<0).

故选：A.

例32.(2022•全国•高三专题练习)已知函数/(&+2)=x+46+5,则/(*的解析式为

【答案】/(X)=X2+1(X>2)

【解析】

【分析】

令y+2=t,则fN2,且x=("2『，将已知条件转化为关于/的表达式，再将/换成%即可求解.

【详解】

令4+2=，，贝i」fN2,且x=(r—2)2,

所以『(f)=«-2『+4"-2)+5=r+1,(f>2)

所以〃x)=%2+1(x22),

故答案为：/(X)=X2+1(X>2).

<|A]

例33.(2022・全国•高三专题练习)已知/x——=/+则函数外尸_______,/(3)=_______

VX)x

【答案】丁+211

【解析】

【分析】

利用换元法可求出/(X)，进一步可得〃3).

【详解】

令工一1=1,则/+3=*—4)2+2=/+2,

XXX

所以『。)=『+2,所以/。)=/+2,

所以『(3)=32+2=11.

故答案为：X2+2；11.

例34.(2022•全国•高三专题练习)己知=f—2X+3,则/(3)=(>

A.6B.3C.11D.10

【答案】C

【解析】

利用拼凑法求出f(x)解析式，即可得出所求.

【详解】

•.•/(|X-1|)=X2-2X+3=(X-1)2+2=|A:-1|2+2,

•/(A)=X2+2,

.J⑶=32+2=11.

故选：C.

例35.(2022・全国•高三专题练习)已知/(f)=1理24，贝iJ/(8)=()

A.gB.-C.-D.—

【答案】A

【解析】

先利用换元法求函数解析式，再代入自变量计算函数值即可.

【详解】

6

由题设可知：/(x)=log2x,令_?=’，(>0,则x=6，则/"xiog?"=5og?，，

故〃8)=士I1呜8=3?=丞I

oo2

故选：A.

3,方程组法

例36.(2022•全国•高三专题练习)已知函数/⑴的定义域为R,且f(x)+2/(r)=/7,则/(x)=()

.x:+2x八2x2-2x2+2x_JT

A.-----B.——+xC.-------D.一+x

3333

【答窠】D

【解析】

【分析】

令％为T,则f(—x)+2f(x)=f+x,然后与fCv)+2f(r)=f_x联立可求出了(X)

【详解】

令x为r,则f(—x)+2/(x)=/+x,

与f(x)+2f(-X)=V联立可解得，/(x)=y+x.

故选：D.

例37.(2022・全国•高三专题练习)设函数/(X)对户0的一切实数均有/("-2„)=3%，则/(2018)

等于

A.2016B.-2016C.-2017D.2017

【答案】B

【解析】

【分析】

将x换成型曳再构造一个等式，然后消去了(竺竺)，得到/(%)的解析式，最后可求得了(2018).

【详解】

.・小)+2八拳f①

”型)+2f(x)=^5②

XX

•••①-②x2得-3/(x)=3x-3x2x2018

2x2018

/(x)=-x+

/(2018)=-2018+2=-2016

故选：B.

【点睛】

本题考查求解析式的一种特殊方法：方程组法.如已知如(x)+"(L)=g(x),求/(*),则由已知得

X

af(L)+bf(x)=g(L)t把/⑶和八3作为未知数，列出方程组可解出〃”).如已知叭%)+"(-x)=g(x)也

XXX

可以用这种方法求解析式.

例38.(2022・全国•高三专题练习)若函数f(x),g。)满足/。)-2/(目=21-%且f(x)+g(x)=x+6,

则/(D+g(-l)=.

【答案】9

【解析】

根据方程组法求解函数/(“)的解析式，代入求出/⑴，/(-I),再利用/(-I)代入求出g(-D.

【详解】

由/⑶-2/6)=2尸：可知-2〃X)=：-4X,联立可得/(X)=2X,所以〃1)=2,”-1)=-2又因

为/(—D+g(—l)=-1+6=5,所以g(—l)=5+2=7,所以f(l)+g(_l)=9.

故答窠为：9

例39.(2022・全国•高三专题练习)已知3f(力+5/(£]=；+1,则函数4工)的解析式为.

35I

【答案]/W=-—

OAOO

【解析】

以T代替X得出3/(：)+5/(x)=2x+l,与已知等式联立，解出函数人))的解析式.

【详解】

V3/(x)+5/^=|+l,①

3/(—)+5/(x)=2x+l,②

①x3-②x5,得:

-16/(x)=--10x-2,

x

.\351

..f(x)=-----+-x+-

''8x88

3S1

故答案为：/(^)=-—+-^+~

OAOO

4.求分段函数的解析式

x,-l<x<0

例40.（2022・全国•高三专题练习）设函数/（力=<

J+10<x<r若函数y=/(H-力在区间(TI)内

J(i)，

有且仅有两个零点，则实数，的取值范围是（）

A.B.（-<»,0）C.（一（，°

【答案】C

【解析】

【分析】

先求出分段函数在（-11）上得解析式，进而根据解析式做出函数图象，由于函数y=/（x）-2r在区间（-“）内

有且仅有两个零点等价于函数/